Temperatura e calore - Soluzione di un problema

Anthrax606
di Anthrax606
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Analizziamo un problema di fisica sulla temperatura e il calore del mercurio in un termometro. Esploriamo la dilatazione termica, confrontando i risultati ottenuti con diverse formule e calcolando l'errore percentuale per valutare l'affidabilità dei metodi utilizzati.

Concetti Chiave

  • Il problema analizza la dilatazione del mercurio in un termometro tra 0°C e 30°C, con un coefficiente di dilatazione lineare specifico.
  • Per calcolare la nuova lunghezza della colonnina di mercurio, si utilizza la formula che lega la lunghezza iniziale e finale con il coefficiente di dilatazione.
  • La lunghezza finale della colonnina di mercurio a 24°C è stata calcolata come 20,0718 mm, sostituendo i valori nella formula.
  • È stata confrontata la formula rigorosa con una meno accurata, evidenziando un errore percentuale molto basso di 0,001% nell'approccio meno rigoroso.
  • Nonostante l'errore, l'approccio della dilatazione termica diretta può essere considerato valido anche per intervalli di temperatura che non partono da 0°C.
TEMPERATURA E CALORE ESERCIZIO N°2

Oggi parleremo di temperatura e calore, ed in particolare risolveremo un problema riguardante il mercurio del termometro. Il problema è il seguente:

Il mercurio nell'intervallo di temperatura

[math]0°C÷30°C[/math]
ha un coefficiente di dilatazione lineare
[math]λ=1,8*10^{-4}°C^{-1}[/math]
. Una colonnina di mercurio di un termometro è lunga
[math]l_{1}=20mm[/math]
a temperatura
[math]t_{1}=4°C[/math]
. Calcolarne la nuova lunghezza
[math]l_{2}[/math]
alla temperatura
[math]t_{2}=24°C[/math]
.

Per la risoluzione dell'esercizio, chiamiamo con

[math]l_{0}[/math]
la lunghezza della colonnina a
[math]0°C[/math]
. possiamo quindi scrivere che:

[math]
\begin{cases} l_{1}=l_{0}(1+λt_{1}) \\
l_{2}=l_{0}(1+λt_{2}) \end{cases}
[/math]

Ora, da queste due relazioni, ricaviamo per entrambe

[math]l_{0}[/math]
ed otteniamo:

[math]\begin{cases} l_{1}=l_{0}(1+λt_{1})\ =>\ l_{0}=\frac{l_{1}}{(1+λt_{1})} \\
l_{2}=l_{0}(1+λt_{2})\ =>\ l_{0}=\frac{l_{2}}{(1+λt_{2})} \end{cases} [/math]

Ora uguagliamo queste due relazioni, per cui, dalla loro uguaglianza possiamo esprimere direttamente:

[math]=>\ l_{2}=l_{1}\frac{1+λt_{2}}{1+λt_{1}}[/math]

Avendo esplicitando

[math]l_{2}[/math]
in funzione con
[math]l_{1}[/math]
. ora sostituiamo i valori numerici e abbiamo:

[math]=>\ l_{2}=l_{1}\frac{1+λt_{2}}{1+λt_{1}}= 20*\frac{1+0,00432}{1+0,00072}=20,0718mm[/math]

Che è il valore della colonnina di mercurio

[math]l_{2}[/math]
assunto alla temperatura di
[math]24°C[/math]
. Avremmo anche potuto calcolare la lunghezza della colonnina
[math]l_{2}[/math]
applicando direttamente questa formula, cioè la formula della dilatazione. Chiamiamo con
[math]l'[/math]
la lunghezza che avremmo ottenuto adoperando la legge di dilatazione in questo modo:

[math]l'_{2}=l_{1}(1+λΔt)[/math]

C'è da dire che a rigore, questa legge non può essere applicata quando la dilatazione del corpo avviene da una temperatura

[math]t_{1} \neq 0[/math]
a una temperatura
[math]t_{2}[/math]
com'è nel nostro caso.

Vediamo comunque che valore avremmo ottenuto e qual è l'errore percentuale che abbiamo se calcoliamo

[math]l_{2}[/math]
con questa formula con quella precedente:

[math]l'_{2}=l_{1}(1+λΔt)=l_{1}(1+λ(t_{2}-t_{1}))=20(1+0,0036)=20,0720mm[/math]

Vediamo effettivamente che il risultato è diverso rispetto al caso precedente, è meno rigoroso. Vediamo l'errore percentuale che avremmo commesso se avessimo usato questa formula che a rigore non va utilizzata. L'errore percentuale sarà dato:

[math]Errore\ \ percentuale=\frac{l'_{2}-l_{2}}{l_{2}}*100=\frac{20,0720-20,0718}{20,0718}*100=\\
\\
=\ 0,001\%[/math]

Un'errore percentuale basso che consente di utilizzare questa formula, la formula della dilatazione termica, anche nel caso in cui la dilatazione avviene da una temperatura

[math]t_{1} \neq 0[/math]
a una temperatura
[math]t_{2}[/math]
Studia con la mappa concettuale

Domande da interrogazione

  1. Qual è il coefficiente di dilatazione lineare del mercurio nel termometro?

    2. Il coefficiente di dilatazione lineare del mercurio nell'intervallo di temperatura da 0°C a 30°C è λ = 1,8 * 10^{-4}°C^{-1}.

  2. Come si calcola la nuova lunghezza della colonnina di mercurio a una temperatura diversa?

    3. La nuova lunghezza della colonnina di mercurio, l₂, può essere calcolata utilizzando la formula l₂ = l₁ * (1 + λt₂) / (1 + λt₁), dove l₁ è la lunghezza iniziale e t₁ e t₂ sono le temperature iniziali e finali rispettivamente.

  3. Qual è l'errore percentuale se si utilizza la formula della dilatazione termica in modo non rigoroso?

    4. L'errore percentuale calcolato utilizzando la formula della dilatazione termica in modo non rigoroso è di 0,001%, un valore molto basso che giustifica l'uso di questa formula anche quando la dilatazione avviene da una temperatura diversa da zero.

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