Statistica complementi

Statistica (complementi)

Concetti importanti (cap. 1)

La statistica è la disciplina che elabora i principi e le metodologie che presiedono al processo di rilevazione e raccolta dei dati (→campionamento che permette di fare inferenza statistica), alla rappresentazione sintetica e alla interpretazione dei dati stessi e (→ statistica descrittiva), laddove ve ne siano le condizioni, alla generalizzazione delle evidenze osservate (→ inferenza statistica).

Questa definizione fa vedere 3 aspetti in cui è coinvolta la statistica e fa vedere qual è la differenza tra statistica descrittiva (rappresentazione sintetica e interpretazione dei dati – diagramma a torte) e statistica inferenziale (tutto ciò che ci permette di generalizzare le evidenze dei dati).

Come viene pensata l’indagine che porta alla raccolta dei dati è un punto fondamentale perché creare i presupposti per fare inferenza statistica. Sapere come sono raccolti i dati ed elaborare una strategia di dati permette di fare inferenza statistica.

La statistica è una scienza la cui finalità è estrarre conoscenza a partire dai dati, in una maniera più oggettiva/scientifica possibile.

Per fare inferenza dobbiamo avere un problema (eventualmente sotto forma di ipotesi di ricerca) da risolvere o qualcuno ci può commissionare di dare una risposta a un quesito di ricerca esempio stima l’altezza media degli studenti bicocca. Fare inferenza vuol dire dare una risposta a questa domanda esempio un valore che verosimilmente da l’altezza. Vuol dire quindi raccogliere dati necessari che permettono di rispondere alla domanda. Quindi bisogna arrivare a dare un risultato valido dal punto di vista scientifico.

La statistica nelle scienze empiriche

• Formulazione del problema, eventualmente sotto forma di ipotesi di ricerca; ci sono vari modi di formulare le ipotesi di ricerca.
• Individuazione dei dati pertinenti.
• Programmazione della rilevazione dei dati (punto uno della definizione). Un esempio di raccolta dati con fondamento scientifico: prendere l’altezza prendendo individui a caso (sempre della Bicocca per rispondere al quesito). PUNTO IMPORTANTE.
• Analisi dei dati usando le tecniche più opportune.
• Interpretazione dei risultati, ossia trasformazione delle evidenze tratte dai dati in risposte alle domande da cui la ricerca ha preso avvio. RIENTRA L’INFERENZA STATISTICA che ci permette di dare una risposta che ha un fondamento scientifico.

Questo è il processo che viene fatto per fare inferenza statistica. Se facessimo solo la descrizione dei dati sarebbero solo i primi 4 punti o contempleremmo anche il 5 ma servirebbe solo per dare una descrizione di quello che c’è nei dati.

Terminologia essenziale

• Si chiama unità statistica il caso individuale componente del collettivo statistico (= popolazione di riferimento o universo). Per definire un’unità statistica la cosa migliore è avere in mente la popolazione di riferimento. Nell’esempio delle altezze la popolazione di riferimento sono gli studenti della Bicocca. L’unità statistica è il singolo studente dell’università Bicocca. Un altro esempio di unità statistica pensando alla popolazione di imprese in Italia nel 2019 l’unità statistica è la singola impresa, infatti l’unità statistica non deve coincidere per forza con una persona fisica.
• Si chiama carattere o variabile ogni aspetto elementare oggetto di rilevazione nelle unità statistiche del collettivo. Dopo aver individuato le unità statistiche si individua il carattere o variabile, ossia ogni elemento che andiamo a rilevare delle nostre unità statistiche. Esempio: altezza, età, colore dei capelli ecc.
• Si chiamano modalità di un carattere i diversi modi con cui questo si presenta nelle unità statistiche del collettivo. È un attributo del carattere o variabile che stiamo rilevando. Quindi sono i valori che un carattere può assumere. Esempio: nell’esempio dell’altezza è un intervallo continuo di numeri reali che va da 0 a 300 cm, età numeri naturali che va da 0 a 130, colore dei capelli questa è una variabile che può assumere un certo numero di valori e ci sono varie possibilità per le modalità che può assumere la variabile capelli e possono essere castano, biondo, rosso.

Tipi di caratteri

• Quantitativi: quelli che si classificano con un numero e si distinguono in:
  • Discreto: numeri interi (numero di figli ma se si prende l’età si dice per comodità che è discreto ma in realtà è una variabile di tipo continuo).
  • Continuo: numeri che assumono tutti i valori di un intervallo (esempio l’altezza).
• Qualitativi: variabili le cui modalità sono espressioni verbali (colore dei capelli/occhi)
  • Sconnesse: modalità non ordinabili.
  • Rettolinee: modalità ordinabili (classifica e corribicocca, voti delle elementari).

Misurazione dei caratteri qualitativi

• Misurare un carattere qualitativo consiste nell’osservare e registrare le modalità che si presentano nelle singole unità statistiche.
• Le modalità possono essere predefinite a priori e inserite come tali nel questionario o nella scheda di rilevazione.
• In altri casi le modalità vengono desunte a posteriori dalla descrizione dettagliata che il rilevatore fa dello stato della singola unità relativamente al carattere in questione.

Misurazione dei caratteri quantitativi

• → Discreto: modalità espresse in numeri esempio numero figli e consentono di classificare le unità in gruppi omogenei; di graduare i gruppi secondo il valore, di misurare le differenze tra i numeri. Se viene codificato il colore degli occhi come numeri NON SI PUÒ CALCOLARE LA MEDIA.
• → Continui: l’età, ad esempio, è continua ma che viene resa discreta per comodità. L’approssimazione è dovuta al troncamento dei numeri.

Riassunto: Genesi dei dati statistici

I dati statistici traggono origine da un’attività intenzionale rivolta all’acquisizione di informazioni sul fenomeno o sui fenomeni di interesse. Esistono 3 processi che danno origine hai dati.

• Indagine statistica: solitamente si definisce la popolazione di riferimento. L’indagine statistica ci permette di raccogliere dati per fare inferenza statistica. Queste sono costituite da unità statistiche. La caratteristica principale è che l’indagine è pianificata e l’indagine si fa presso la popolazione (universo è definito). Noi ci occuperemo di questo!
• L’esperimento: l’obiettivo è somministrare un trattamento a delle unità e vedere la risposta che danno a questo trattamento. Esempio: test per verificare efficacia del vaccino. Qui si prendono le adesioni di chi vuole prendere parte all’esperimento in quanto per ragioni di tipo etico non si può prendere tutta la popolazione.
• Studio di osservazione sul campo: simile all’esperimento in quanto si osserva una popolazione e si individuano delle caratteristiche che interessano, ma qui non c’è un intervento da parte di chi fa l’indagine ma c’è solo l’osservazione. Un esempio sono gli studi che vogliono valutare l’impatto che ha il fumo sul cancro ai polmoni, qui non c’è una popolazione definita e non si può far fumare persone per una vita per vedere cosa succede, quindi, si prendono dei soggetti che hanno già avuto un trascorso e si valutano le differenze di chi non fuma. I due gruppi devono avere caratteristiche simili per fare confronti.

Modalità di raccolta dei dati

• Censimento (censuarie): raccolta delle variabili presso l’intera popolazione. È molto oneroso dal punto di vista economico e organizzativo sia per raccoglierle che processarle.
• Campionarie: vengono fatte su un campione, ossia un piccolo insieme RAPPRESENTATIVO dell’intera popolazione. Ad esempio, se ho un campione di solo donne o solo uomini per gli studenti bicocca non è rappresentativo. È molto più snella dal punto di vista organizzativo e meno onerosa dal punto di vista economico. È possibile avere dati rilevanti partendo da campioni con unità statistiche ridotte. Permette di fare indagini su poche unità statistiche e si riesce ad avere risultati validi dal punto di vista scientifico con un piccolo scarto di errore.

Campionamento casuale o probabilistico

È possibile fare inferenza (fare affermazioni che si possono estendere a tutta la popolazione) se lo schema di campionamento ha basi scientifiche e se il campione è probabilistico.

• → Campionamento casuale/probabilistico: metodologia che fornisce le regole per la formazione del campione assegnando alle unità della popolazione probabilità non nulle di far parte del campione. Ogni unità statistica del collettivo ha la stessa probabilità di far parte del campione. In questo caso il campione è rappresentativo.

Vantaggi

• Oggettività nella selezione delle unità statistiche
• Possibilità di utilizzare le apposite tecniche statistiche per il cosiddetto riporto all’universo, ossia per l’estensione all’intera popolazione delle elaborazioni effettuate (secondo certi procedimenti) sui dati osservati nel campione.

Alcuni piani di campionamento

• Campionamento casuale semplice: alle unità della popolazione si assegnano uguali probabilità di essere inserite nel campione.
• Campionamento stratificato: in cui si effettua il campionamento casuale semplice su singole sottopopolazioni derivanti dalla suddivisione della popolazione in sottoinsiemi più omogenei. Ciò vuol dire che se ho una popolazione di riferimento posso individuare sottopopolazioni secondo un certo criterio, il quale è strumentale alla mia analisi. Con l’esempio delle altezze, sottopopolazioni possono essere maschi e femmine e dai quali estraggo i campioni “femminili” e i campioni “maschili”, quindi, si stratifica secondo il genere.
• Campionamento a due stadi: in cui nel primo stadio viene estratta un’unità composita, costituita da un insieme di unità finali, e nel secondo stadio viene estratto un campione casuale di unità finali. In sostanza, se faccio indagini sulle scuole prima campiono le scuole e poi campiono gli studenti delle scuole. Oppure di una scuola campiono le classi poi campiono gli studenti di una classe. Non esiste solo a due stadi ma dipende da com’è strutturata l’indagine.

Approfondimento

Differenze relative: TUTTO DEVE ESSERE ESPRESSO NELLA STESSA UNITÀ DI MISURA

• Se a e b sono i “livelli” di uno stesso fenomeno, espressi nella stessa unità di misura, ma riferiti a situazioni diverse, il confronto tra le quantità a e b può essere effettuato tramite la differenza assoluta = b - a.
• Dividendo per a o per b la differenza assoluta si ottiene la differenza relativa = (b – a)/a.
• Moltiplicando la differenza relativa per 100, si ottiene la differenza percentuale.

Rapporti statistici

• Il confronto tra le grandezze a e b può essere effettuato anche tramite uno dei rapporti: a/b e b/a per rendere più agevole il confronto, il rapporto tra le due quantità viene moltiplicato per 100. Con questa operazione, nel rapporto a/b, a è espressa come percentuale di b.
• I rapporti di composizione, trasformano le quantità a₁, a₂, …, a_k in percentuali del totale A. La somma di tali rapporti è uguale a 100.
• Se le grandezze a₁, a₂, …, a_k vengono messe a confronto tra di loro, si ottengono i cosiddetti rapporti di coesistenza.
• I rapporti di derivazione si istituiscono tra le misure di fenomeni connessi da specifici vincoli.

Probabilità e statistica

• L’inferenza statistica ha per oggetto l’analisi di dati ottenuti da un campione casuale e si pone come obiettivo quello di dare “validità generale” alle informazioni desunte dal campione.
• Ha come base necessaria la teoria della probabilità.

L’obiettivo dell’inferenza statistica è quello di analizzare i dati ottenuti su base campionaria, facciamo le analisi che riteniamo necessarie e quello che vogliamo fare è quello di essere in grado di estendere i risultati che abbiamo ottenuto su base campionaria all’intera popolazione. Ovviamente, c’è dell’errore perché si sta lavorando su base campionaria e non sulla popolazione siccome paghiamo il prezzo sul fatto che non conosciamo l’intera popolazione. Per fare questo è necessario il calcolo delle probabilità.

Collegamento tra inferenza statistica e teoria delle probabilità

Esempio: consideriamo di avere una moneta con 2 facce: testa e croce. Le monete sono bilanciate, ossia si suppone che non sia truccata, ovvero la probabilità che esca testa è uguale alla probabilità che esca croce. (la probabilità che esca testa (0.5) = probabilità che esca croce (0.5)), per questo si dice che la moneta è bilanciata.

Quindi cosa riesco a fare col calcolo delle probabilità. Con il calcolo delle probabilità si può calcolare la probabilità che esca una determinata sequenza di testa e croce in un numero definito di lanci: su 10 lanci, registrando i risultati dei lanci, è possibile verificare quante probabilità ci sono che esca una sequenza del tipo T,C,T,T,C,T,T,C,C,C.

Cosa riesco a fare con l’inferenza statistica? Supponiamo che qualcuno ci chieda di verificare che la moneta sia bilanciata.

Inferenza statistica

Problema: La moneta è bilanciata?

• Si deve verificare se la probabilità che esca Testa è uguale alla probabilità che esca Croce che è uguale = ½

Traduzione in ipotesi di ricerca del problema che è stato posto.

Soluzione: eseguire un numero elevato di lanci e calcolare la proporzione di volte in cui si è verificata testa e la proporzione di volte in cui è uscita croce.

Questo problema che ci è stato posto si può risolvere con l’inferenza statistica, se c’è il dubbio che la moneta non sia bilanciata devo verificare che la relazione testa= 0.5=croce sia verificata (questa è la traduzione in ipotesi di ricerca).

Quindi, la differenza è che con il calcolo delle probabilità si pone vero il fatto che Testa = Croce = 1/2, mentre, con l’inferenza, si possono risolvere problemi come quello posto sopra (Verificare che la moneta sia bilanciata oppure no).

Esperimenti casuali

Esperimento casuale: Ogni atto o processo la cui singola esecuzione, detta prova, dà luogo a un risultato NON prevedibile. La nozione di singola esecuzione implica che l’esperimento sia ripetibile sotto le stesse condizioni, o almeno sia concepibile come tale.

• I possibili esiti della prova sono definibili in anticipo.
• I possibili esiti della prova sono catalogabili in modo preciso.

NON si sa l’esito dell’esperimento. Il fatto che l’esperimento causale possa essere messo in atto una volta vuol dire che l’esperimento possa essere ripetibile nelle stesse condizioni in un numero indefinito di volte. La nozione di singola esecuzione implica che l’esperimento sia ripetibile, o almeno sia concepibile come tale in un numero indefinito di volte. I possibili esiti della prova sono definibili (noti a priori) in anticipo e sono catalogabili in modo preciso. Quello che non sappiamo è l’esito esatto a priori ma il possibile esito sono un certo numero di risultati.

Spazio campionario ed eventi

• Evento elementare: Singolo risultato dell’esperimento casuale; Esempio: Nell’esperimento del lancio di una moneta, l’evento elementare sono “Testa” e “Croce”.
• Ω Spazio dei risultati o Spazio campionario: L’insieme degli eventi elementari; testa e croce.
• Evento: Un qualsiasi insieme di eventi elementari, ossia un qualsiasi sottoinsieme dello spazio campionario Ω. Esempio: Nell’esperimento del lancio di una moneta l’evento sono le sequenze di risultati dei lanci. L’evento elementare è il singolo evento collegato all’esperimento mentre l’evento è l’insieme degli eventi elementari.

L’evento può essere tutta la sequenza dei lanci nell’esperimento della moneta. Oppure è anche evento un sottoinsieme dei 10 lanci non deve per forza corrispondere all’intera sequenza (ad esempio, solo 2-3 lanci dei 10).

Esempio 1: spazio campionario ed eventi

Esperimento che consiste nel lanciare un dado (6 facce numerate da 1 a 6) e osservare le facce che si presentano.

• Eventi elementari: possibili esiti del lancio (ogni evento elementare corrisponde a una faccia del dado). In questo caso sono 1-2-3-4-5-6.
• Spazio campionario: insieme di tutti gli eventi elementari o esiti che posso avere nel lancio di un dado Ω = 1,2,3,4,5,6.
• Evento: “uscita di un numero pari” A= {2,4,6}: comprende 3 eventi elementari; oppure evento “numero minore di 4” B= {1,2,3}. Gli eventi A e B sono dei sottoinsiemi dello spazio campionario.

Un altro evento che si può avere: evento con numero minore di 4, evento B, quindi sarà composto da 1-2-3. L’evento A è un sottoinsieme dello spazio campionario, infatti, comprende degli eventi elementari che sono inclusi nello spazio campionario Ω, stessa cosa vale per l’evento B.