Comprendere la regola decisionale e gli errori statistici

Facendo riferimento a un test su una singola proporzione abbiamo definito quella che in statistica prende il nome di regola decisionale, un approccio attraverso il quale stabiliamo se un’evidenza campionaria è compatibile o meno con l’ipotesi nulla (l’ipotesi nulla è una delle due che definisce il sistema di ipotesi: H0, l’ipotesi nulla e H1, l’ipotesi alternativa). Per quello che abbiamo detto la regola decisionale la costruiamo a partire dall’ipotesi nulla perché è il punto di partenza da cui ci muoviamo per poter poi eventualmente approdare al vero obiettivo che è l’ipotesi alternativa, visto che ciò che intendiamo dimostrare nel momento in cui realizziamo uno studio è generalmente riportato nell’ipotesi alternativa. Tuttavia in omaggio a quel principio di falsificazionismo che un po’ caratterizza tutta la ricerca scientifica e che noi abbiamo ritrovato nel ragionamento per assurdo che si utilizza nella dimostrazione di molti problemi matematici, se vogliamo dimostrare che nella realtà ad essere vera è H1, dobbiamo per forza di cose partire dal negare H1 e dal considerare vera H0. Considerare vera H0 vuol dire inevitabilmente osservare e studiare quella che è la variabilità delle stime che assumendo vera l’ipotesi nulla noi potremmo osservare nel momento in cui andassimo a selezionare infiniti campioni da una popolazione.

Qual è un esempio pratico di un'azienda farmaceutica?

Facciamo l’esempio di un’azienda farmaceutica che vuole sapere se un nuovo farmaco è più efficace del precedente. Se commetto un errore di primo tipo dimostro che il farmaco è migliore del precedente quando in realtà non è vero; magari è vero in un piccolo campione, ma nella popolazione questo farmaco è peggiore del precedente. Questo porta l’azienda ad investire soldi e tempo in questo farmaco inutilmente. Se invece si commette un errore di secondo tipo l’azienda rinuncia a studiare il farmaco perché lo studio aveva dimostrato l’inefficacia del farmaco ma in realtà il farmaco era efficace, solo che nel campione la maggiore efficacia non è stata dimostrata. L’azienda ha nel primo caso delle spese inutili, nel secondo un guadagno mancato.

Analisi di potenza e regola decisionale

Nell’analisi di potenza riusciremo a descrivere sia α sia β, ma cominciamo col costruire una regola decisionale che si concentra solo su α, a prescindere da β, ovvero una regola decisionale con una probabilità di commettere l’errore di primo tipo stabilita a priori da noi, quindi una regola non perfetta ma tale da controllare α ossia la probabilità di commettere l’errore di primo tipo. In seguito, vedremo come costruire una regola decisionale che controlli sia α sia β.

Il nostro obiettivo fondamentale è stabilire una regola decisionale che ci dica se preferire H0 o preferire H1 a seconda di quanto ognuna delle due ipotesi coerente con l’osservazione campionaria.

Sappiamo che l’evidenza campionaria è coerente sia con H0 sia con H1 e che perciò siamo a rischio di commettere un errore. Gli errori possibili sono due: errore di primo tipo ed errore di secondo tipo. In questa prima fase ci concentriamo sull’errore di primo tipo per costruire una regola decisionale, mentre più avanti attraverso il calcolo della potenza riusciremo a gestire non solo α (la probabilità di commettere un errore di primo tipo) ma anche β (la probabilità di commettere un errore di secondo tipo). Per ora dunque dimentichiamoci di β e concentriamoci su α. Ricordiamo il sistema di ipotesi dell’esempio su cui stavamo ragionando:

H0: π = 0,15

H1: π = 0,25