Risoluzione equazioni non lineari

Relazione

Obiettivo

Lo scopo dell’esperienza è quello di realizzare un software che permetta di calcolare, tramite il metodo delle secanti (o metodo delle corde) e il metodo delle tangenti (o metodo di Newton), in maniera approssimata un’equazione presentata nella forma: f

(x)=0

Strumenti utilizzati

• Microsoft Visual Basic 6.0;
• Microsoft Word Office 2007;

Parte teorica

In questa parte teorica della relazione andiamo ad analizzare i due metodi di risoluzione dell’equazione utilizzati nel software. Cominciamo illustrando il metodo delle secanti detto anche metodo delle corde.

Metodo delle corde

Il problema della valutazione dello zero della funzione si pone quando non è un quadrato perfetto (o un cubo perfetto, …).

Le considerazioni che seguono riguardano solo la funzione, , ma si procederà analogamente per tutte le funzioni del tipo, , .

Si voglia calcolare. Ciò equivale a trovare lo zero della funzione. Il ragazzo sa già che, poiché, in ottemperanza ai programmi d’insegnamento, ha imparato i quadrati perfetti di “piccoli numeri” naturali (fino a) e la nozione di disuguaglianza. Può allora disegnare la funzione, nell’intervallo [7;8], come indicato nella figura 4.

Tracciata la corda AB, egli noterà che essa interseca l’asse in un punto, la cui ascissa può essere scelta come una prima approssimazione di.

Per valutare si considera l’equazione della retta AB, A e B:

e si pone in essa e, si ottiene così.

Per ottenere un’ulteriore approssimazione, si ripete nell’intervallo, la procedura ora illustrata per ottenere.

La corda A’B interseca l’asse nel punto Q.

Per valutare si considera l’equazione della retta A’B, A’ e B e in essa si pone e, ottenendo:

Si ripete questo procedimento negli intervalli, , …, fino ad ottenere la precisione voluta.

Il procedimento illustrato fornisce sempre valutazioni approssimate per difetto di.

Il metodo delle corde, inoltre, per le considerazioni già esposte, si presta bene al calcolo della, , …, .

Metodo di Newton-Raphson

Il metodo di Newton-Raphson è la tecnica più usata per la risoluzione di sistemi non lineari. Operando secondo tale metodo si suddividono le azioni esterne in incrementi di carico.

Come mostrato nel metodo precedente, l’equazione di equilibrio nell’

i-

esimo incremento di carico ha la forma seguente:

essendo la matrice di rigidezza tangente corrispondente alla configurazione deformata determinata alla fine del passo precedente i-