Quadratiche

Richiamo

fue aff.ne f(x) = <b, x>+c _{x ∈ Rⁿ} b ∈ Rⁿ c ∈ R

fue quadratica f(x) = <Ax, x> A ∈ M_n(R), simmetrica <0 ⟺ λ ∈ (A), λ < 0 f.q. <0 ⟺ λ < 0

uncico se ∃ λ₁, λ₂ ∈ (A) di segno opposto ≠ alle f.q. ogniue fue aff.ne esso recono una costrocicia parr tessa le cune al livelo delle fue

x²-2y²+2xy = <A[], []> A = ^{[4 -1]} ____ [-1 -2]

Determinare il segno degli autovalori

determinimo il segno degli autocaloli di A. matrice di autovaloli utilizziamo gli inquinioni determinante B = Π λ_i matrice non conti > 0 ṣeq. cambio seg.

dett ⃝ determin. detP = detP. detA. detP^-1

matrice ipagionaletracciatr(B) = tr(A) = Σ_i a_ii

detA = λ₁, λ₂, ... λ_n

mi nuc nutrice 2x2 eunea miunde A

tr(A) = λ₁ + λ₂

detA = λ₁λ₂

tr(A) = λ₁ + λ₂ >0 se cunocchiadet(A) = -3 = λ₁λ₂ ⇒ λ₁ e λ₂ sonu discoculti ⇒ conc di une unale furina quadratica è untetitita e le cunie au livellosono delle febod au centro di' simmetria nel doppio

Riepilogo

f.ve lineare f(x)=<b,x>+c b∈Rⁿ c∈R

f.ve quadratica f(x)=<Ax,x> A∈M_n(R), simmetrica ⟺ λ∈ζ(A), λ≥0.

f.q. ⟺ λ₀ < 0 ↥ max ⟺ ∃ λ₁, λ₂ ∈ ζ(A), ai segno opposto

fissare le fisse coniche fissetraccia le curve al livello dello fuve

x²z²y²z+ zy = <A[Y],[Z]> A = | -1 -1 | | λ₁ - 2 |

determinando il segno degli autovalori di A. moltiplicare gli autovalori matrice di autovalori

determinante B = T π. π.tmoltiplicarsi il solito determinante

traccia al solito diagonale

tr(B) = tr(A) = Σ_i a_ii

det A= λ₁ · λ₂ ... λₙ

in una matrice 2x2 viene la matrice A.

tr(A) = λ₁λ₂

det(A) = -3 = λ₁λ₂ ⇒ λ₁ e λ₂ sono discordi ⇒ forma di une sellela forma quadrate e' indefinite e le curve di livello sono delle “iprobli” coi centro di simmetria dell’asgio

Forme quadratiche

In questa lezione si parlerà delle forme quadratiche.

Q_(x) = x^t * A * x, A (simmetrica) si esegua il K di A --> Q diversa da 0 vettore x diverso da 0

Alternativa senza fare operazioni su matrice a forma quadrica

Q_(x sup) Rⁿ, x diverso da 0 (considerare tutti possibili (x))

definita negativa se Q(x) < 0/_{(x) ... 0}/ % ... x D

Q(x) = x^t x ... 0

concava (anche se f (x) = ()0f_: x (sup) R

monotona neg ... / gro / (intervalli) ... il ... concava

(x_n > 1947 se monotonia positiva <superato)

monotonia ne -> 1 se x ... x di x / conv a (2x)(s)(TH si definita positiva -> gli autovalori di A sono positivi (lambda_i > 0)

Q (e definita negativa s ... gli autovalori di A sono negativi (lambda < 0)

Q e semidefinita positiva lambda > 0 i_0 != n

Q e semidefinita negativa lambda < 0 % i_1++, n

Q e indefinito implicare diversamente che autovalori diversi

• Dim 1-

Cambiamento di base diagonale

Riprendiamo i passaggi fatti nel precedente, ma tra la matriceattaguata del cambiamento di base diagonale

Q(x) = x^(T)A * x = x^(T)Dx = _i=1ⁿ (lambda_i)(x_i^t)²

x=T*x con V°x ... ||...

Q >= 0 lambda_i > 0 ... i

Q < 0 Q_i < 0, ... i.

λ₁, λ₂ autovalori

(0,0) è ell. mink > 0 λ₁,λ₂ > 0

Elisse

k > 0 λ₁ × λ₂ < 0

VUOTO

k < 0 λ₁,λ₂ > 0

VUOTO

se non c'è la curva al nulla

se ρ(Q)=ρ(A) è tutto riempito

k < 0 λ₁, λ₂ < 0

Elisse

ρ(0) è ell. max ↑

autovalori negativi → grafico col arco ⊕

k = 0 C_r ≅ {0,01}

λ₁, λ₂ > 0

Paraboloide ellittico

λ₁, λ₂ autovalori

k > 0

Iperbole

k < 0

Iperbole

k = 0

(λ₁|x|) = (x₂|y|)

2 RETTE PASSANTI PER L'ORIGINE (ASIINTOTI DELLE IPERBOLE)

IPERBOLOIDE

forma semplice eda sella

(0,0) non è né maxné minimo ma

PUNTO DI SELLA

0...minimo se da "coda a cavallo"

0 ... massimo se da un lato all'altro testacoda

Equazioni coniche chiuse

Consideriamo le equazioni coniche chiuse che vengono passare per O.

Dato un numero k ∈ ℝ:

C_k = {(x, y) ∈ ℝ² / Q(x, y) = k }

ax² + 2bxy + cy² = k, m coniche

< A [_x] [_y] > = k emendo A simmetrica la possiamodiagonalizzare ovvero possiamo sostituire sim foluisceav autovalori.

A = T D T^-1, D = [^{λ₁ 0}/_{0 λ2}], T = [^v₁/_v2]

autovettori di A

importiamo tale rappresentazione al posto di A:

< T D T [_y] [_x] > = k

(T D T [_y])^T [_x] = k

[^x/_y]^T T DT [_x] = k

[^x/_y]^T D [_x/_y]-k → λ₁(x')² + λ₂(y')² = k

iperbole o ellipse

essere nel nuovosistema di softemme!!

NB il termine xy migliora la canadione

Posizioni tra autovalori e k

Vediamo ora le posizioni tra λ₁, λ₂ e k

k > 0, λ₁, λ₂ > 0 oppure k < 0, λ₁ λ₂ < 0

(^x)/(√(k/λ₁))² + (^y)/(√(k/λ₂))² = 1

Ellisse

centro (0,0)

semiassi √^k/λ₁ √^k/λ₂

Se la matrice A ha autovalori di fegno coniQucodanno una elline

Polinomi di grado 1 e 2

Vediamo cosa rappresentano graficamente già il polinomio di grado 1, già quello omogeneo di grado 2.

A = 0, il polinomio si riduce alla f.ne AFFINE

p(x) = b,x + t nel piano è una retta

p(x) = b,x + c sul grafico è un pipercìano

presumiamo cui esempio n = 2, x₂ = x₁ = x = x, y

[x₂] = [ 0 ]

∂P(x,y) = b_yx + ay + c_amm.conties tratto dell’equione cartesiana

di un piano∏ ai vertice

NB: le A = I invece (ritetto in Rⁿ) → Q(x) = = ||x||₂²

Ogni forma quadra conice al mio distanza

Preniamo per primo n = 2 → Q(x,y) = ax² + 2bxy + ay^{2 atom ql}

Q(x) = con A numerica e n x n, NB: si visualizare graficamente sono quando nn N SRoesiamo al polionoio di grado 2

A = [ a b ]    [ b c ] ⇒ A’[ x ] = [ ax+by ]     [ y ]    [ bx+cy ]