Quaderno di appunti di Metodi matematici II con esempi e esercizi

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Author: lucaguida22

Revisionato il 24/07/2026

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Appunti presi seguendo tutte le lezioni in aula completi di spiegazioni teoriche, esempi e esercitazioni di calcolo finanziario, algebra lineare e ottimizzazione basati su appunti personali del …

Esame Metodi matematici 1

Facoltà Economia

Dal corso del Prof. Fusai Gianluca

Università Piemonte Orientale Amedeo Avogadro - Unipmn

A.A. 2021-2022

104 pagine

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Estratto del documento

Metodi matematici II

Prof: Gianluca Fusai

Operazione finanziaria

Operazione finanziaria = consiste in uno scambio di importi monetari noti a date prefissate, esistono di due tipi.

Capitalizzazione

Capitalizzazione

C (oggi) ---- t (scadenza) ----> M > C

Si rinuncia a un certo capitale oggi (C) per ricevere un certo capitale alla scadenza (M=montante/valore finale).

È lo scambio tra una disponibilità immediata (capitale) con una disponibilità futura (montante)

Prospetto flussi di cassa

Date ......... T ................. t ............. +M

Importi .. -C ................. +M .......... -C .................

T-t=durata operazione (di solito espresso in anni) = τ (tau)

C,M > 0 (espressi in euro)

Interesse operazione = M-C = I(t,T)/I(τe) _{(rilevante durata)}

I(τe)=M-C → M-C+I(τe)

Fattore di montante: indica quanto rende ogni euro che è stato investito

f(τe)=M/C → M=C f(τe)

Esempio

Es:

O° .................... τe ......................... F_0,1,2

1 ........................ 1,2 .......................... F=1,2

-70 ................... 70,1,2 .................... I= 70,1,2

Possiamo dire che I = C (f(τe)-1)

Struttura per scadenza dei fattori di montante

Struttura per scadenza dei fattori di montante

Durata (τe) ... 0 .... 1 .... 2 .... 3 .... τe

f(τe) ............... 1 .... 1,1 ... 1,2 ... 1,3 ...

f(0)=1

Metodi matematici II

Prof: Gianluca Fusai

Operazione finanziaria

Operazione finanziaria: consiste in uno scambio di importi monetari noti a date prefissate, esistono di due tipi.

Capitalizzazione

Capitalizzazione: M > C

Si rinuncia a un certo capitale oggi (C) per ricevere un certo capitale alla scadenza (M=montante/valore finale).

È lo scambio tra una disponibilità immediata (capitale) con una disponibilità futura (montante).

Prospetto flussi di cassa

Date: t T t

Importi: -C +M -C

T-t=Durata operazione (di solito espresso in anni) = τ (tau)

C, M > 0 (espressi in euro)

Interesse operazione = M - C = I(t,T) / I(t) Rilevante durata

I(τe)=M-C → M=C+I(τe)

Fattore di montante: indica quanto rende ogni euro che è stato investito

f(τe)= M / C → M=C·f(τe)

Esempio

Es:

0 τe

1 1.2 F=1,2

70 70·1.2 I=70·0.2 70

Possiamo dire che I=C·(f(τe)-1)

Struttura per scadenza dei fattori di montante

Durata (τe): 0 1 2 3 τe

f(τe): 1 1,1 1,2 1,3

f(0)=1

Attualizzazione

Attualizzazione - si rinuncia a un importo futuro (N: valore nominale) per avere una disponibilità subito (A: valore attuale)

Tabella flussi di cassa/scadenziario

Durata: 0 - t^e

Importi: +A - -N

A,N > 0 (espressi in euro)

Sconto (D) = N - A → A = N - D(t^e)

Fattore di sconto - indica quanto si ottiene oggi per ogni euro cui si rinuncia in t^e

φ = A/N → A = N.φ

Possiamo dire che D(t^e) = N.(1 - φ(t^e))

Struttura per scadenza dei fattori di sconto

Durata (t^e) 0 1 2 3 t^e

φ 1 0.9 0.8 0.75 φ(t^e)

φ(0) = 1

Arbitraggio

Arbitraggio - È un'operazione economica che consiste nell'acquistare un bene su un mercato rivendendolo su un altro. Al fine di ottenere profitto, l'operazione è possibile solo se il ricavo che si ottiene supera i costi di trasferimento da un mercato all'altro.

L'operazione è possibile molto solo se i produttori non si accorgono di ciò e non adottano un prezzo di equilibrio.

Ci sono poi 3 casi:

F(e)_t φ(e)_t > 1 -> Non regge nel lungo periodo (profitto)
F(e)_t φ(e)_t < 1 -> Non regge nel lungo periodo (perdita)
F(e)_t φ(e)_t = 1 -> Fattori di sconto e montante coniugati

Ne sussegue una condizione di non arbitraggio, ossia in nessun caso si ha guadagno o perdita certa

Esempio

Costruire arbitraggio, sapendo che f = 1.2 e φ = 0.8

C₀ = 100

F(e)_t φ(e)_t = 1.2 · 0.8 = 0.96 ≠ 1

Cap.ne 0 1000 -120 100 · 1.2

Att.ne -120 · 0.8 · 96 110 120

Profitto di arbitraggio

Scindibilità

Scindibilità: Tassi forward, e un ulteriore condizione su quanto velocemente può ridursi il fattore di sconto o può aumentare il fattore di montante.

Per evidenziare il tempo si usa la notazione (t, T)

Se sposto il denaro con una capitalizzazione al tempo t₂ il mio denaro sarà C · F(t, t₂)

Potrei anche scindere l’investimento in 2 periodi così che al tempo t io avrò c·f(t, t₁), al tempo t₂ potrò avere c·f(t, t₁)·f(t₁, t₂).

Vale la condizione che f(t, t₂) = f(t, t₁)·f(t₁, t₂) se questa condizione non è soddisfatta

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