Guida pratica ai principi di Kirchhoff e alla risoluzione dei circuiti

Principi di Kirchhoff

Il primo principio di Kirchhoff afferma che la somma algebrica delle correnti in un nodo è uguale a 0, vale a dire che la somma delle correnti entranti in un nodo è uguale alla somma di quelle uscenti.

Il secondo principio di Kirchhoff afferma che la somma algebrica delle tensioni in una In base a questi due principi si ricavano delle equazioni da unire in un unico sistema di n equazioni in n incognite. (Ricordo che lo scopo della risoluzione di un circuito elettrico è determinare il valore delle correnti.)

Equazioni e definizioni

Le equazioni ai nodi (quelle del primo principio) si calcolano N - 1 volte, dove N indica appunto il numero di nodi, e quelle alle maglie (secondo principio) L - N + 1 volte, dove L è il numero di lati/ rami6.

Prima di entrare nel vivo del sistema, queste sono le definizioni delle parole in 1. la somma algebrica è semplicemente somma e differenza di più numeri unite in un’unica espressione (esempio: 1-5+3=-1);

2. il nodo è l’incrocio fra 2 o più rami;

3. la maglia/ rete attraversa più rami partendo da un punto e tornando allo stesso;

4. le f.e.m. non sono altro che le forze elettro-motrici, la tensione data dal generatore;

5. le c.d.t. sono le cadute di tensione: ogni volta che una corrente entra in una resistenza, questa “rallenta” e si ha una caduta di tensione (con verso opposto a quello della corrente!) pari al prodotto tra la resistenza in questione e la corrente che scorre in quel dato ramo;

6. i rami/ lati sono quelle parti di circuito comprese tra 2 nodi e contenenti almeno un resistore, se questo non c’è allora quello non è un lato ed il nodo in realtà è un punto (ricorda che un ramo può essere anche attraversato da un generatore e quello è uno solo, e non due!).

Ultima prima di partire: con R si indicano le resistenze, con I le correnti e con E/V/U le tensioni.

Creazione del sistema

Iniziamo adesso a creare il sistema, che poi sarà risolvibile come un solito sistema di equazioni di primo grado in tre incognite.

Fissiamo innanzituto il verso delle correnti, facendo attenzione a quello dei generatori per non rischiare di porli in modo sbagliato.

Fissiamo poi quello delle tensioni e delle c.d.t., ricordando per queste ultime di porlo opposto a quello delle correnti.

Fissiamo a piacere il verso di percorrenza della maglia, di solito si usa come consuetudine porlo in senso orario, ma non è un errore deciderlo antiorario, basta che sia uguale per tutte le maglie!

Adesso osserviamo il nostro circuito e scriviamo quindi le equazioni:

- calcoliamo quante volte dobbiamo scrivere l’equazione ai nodi e scriviamole osservando il primo principio di Kirchhoff;

- seguiamo la stessa procedura per le equazioni alle maglie osservando però il secondo principio di Kirchhoff;

Esempio pratico

Supponiamo di avere un circuito costituito da due nodi, tre maglie e tre rami, aventi ognuno di questi ultimi una resistenza e, i primi due, un generatore.

Si ha quindi come dati

_R1,R2 ed R3 che, ipotizziamo, valgono 10 Ω ognuna;

_E1 ed E2 che valgono rispettivamente 100 e 50 V;

_I1, I2 ed I3 che vanno calcolate.

- Ora che abbiamo ricavato delle equazioni, sostituiamo i valori che conosciamo (quindi E1 con 100, E2 con 50 e le resistenze con 10);

- per effettuare il punto precedente ricorda che le cadute di tensione sono il prodotto tra la resistenza presa in considerazione e la corrente del ramo (ad esempio VR1=R1*I1=10*I1);

- solitamente, a meno che non serva per semplificare i calcoli, si tende a tenere invariata la prima equazione nei passaggi iniziali, o almeno fino a quando non si riesce a ricavare dalla risoluzione delle altre una delle correnti;

- quindi bisogna semplicemente risolvere il sistema, e qua entrano in gioco le capacità matematiche del singolo individuo.

Suggerimenti finali

Ultima cosa prima di chiudere questi appunti, ecco dei suggerimenti e dei promemoria che potrebbero tornarvi utili:

- in ogni ramo circola una sola corrente;

- ricordate che il valore della caduta di tensione o quello della corrente presente in un ramo non potrà mai essere maggiore rispetto alla tensione/ corrente totale;

- quando si scrive e risolve il sistema non si considerano le unità di misura;

- per renderti la soluzione del sistema più facile prova a risolvere un’equazione alla volta;

- se non riuscite a continuare a risolvere il sistema perché siete bloccati in un punto, nConsiglio però di non cancellare anche i due primi passaggi (quello senza ed il primo con i valori sostituiti) per risparmiare tempo.