Economia Politica a.a. 2015-2016 - Prof. Andrea Imperia
Nota didattica 1: l'operatore di sommatoria
Consideriamo una generica matrice quadrata n x n (composta cioè da n righe ed n
colonne): x x x x
1 1 1 2 1 1
i n
... ... ...
x x x x
2 1 2 2 2 2
i n
... ... ...
... ...... ...... ... ...... ...
x x x x
1 2
i i i i i n
... ... ...
... ...... ...... ... ...... ...
x x x x
1 2
n n n i n n
... ... ...
Il generico elemento di tale matrice, appartenente alla riga i-esima e alla colonna j-esima
si indica con il simbolo: . Il primo dei due pedici indica la riga cui appartiene
x i j
l'elemento, mentre il secondo ne indica la colonna.
Supponiamo di voler sommare gli elementi della riga i-esima e di voler esprimere tale
somma in forma compatta attraverso l'operatore di sommatoria.
Osserviamo che gli elementi da sommare sono in numero n; essi hanno in comune il
primo dei due pedici, che indica appunto l'appartenenza alla riga i-esima, mentre il
secondo pedice assume tutti i valori interi tra 1 ed n (un numero naturale maggiore di 1),
ad indicare le diverse colonne della matrice cui appartengono gli elementi della riga i-
esima:
x x x x
1 2
i i i i i n
... ... ...
Scriviamo ora
n
∑ x i j
j=1
Tale simbolo si legge ''sommatoria per j che va da 1 ad n degli '' .
x i j
Verifichiamo che esso esprima effettivamente la somma di tutti gli elementi della riga i-
esima. Come abbiamo detto, il pedice j deve assumere tutti i valori interi compresi tra 1 ed
n. Quando j assume il valore 1 diventa , quando j assume il valore 2
x x x
1
i j i i j
diventa e così via. Quando j assume l'ultimo valore, pari ad n, diventa .
x x x
2
i i j i n
Dunque possiamo scrivere:
n
∑ =x + +...+
x x x
1 2
i j i i i n
j=1
Le operazioni di sommatoria
Gli appunti del professore di economia politica, insegnante a Sociologia presso "La Sapienza", trattano l'argomento riguardante le operazioni di sommatoria.
La matrice generica quadrata n x n
Spiega approfonditamente la matrice generica quadrata n x n (composta cioè da n righe ed n colonne):
x11 ... x12 ... x1i ... x1n x21 ... x22 ... x2i ... x2n ... ... ... ... ... ... ... ... ... xi1 ... xi2 ... xii ... xin ... ... ... ... ... ... ... ... ... xn1 ... xn2 ... xni ... xnn
Il generico elemento di tale matrice, appartenente alla riga i-esima e alla colonna j-esima, si indica con il simbolo: xi j. Il primo dei due pedici indica la riga cui appartiene l'elemento, mentre il secondo ne indica la colonna.
La somma degli elementi di una riga
Supponiamo di voler sommare gli elementi della riga i-esima e di voler esprimere tale somma in forma compatta attraverso l'operatore di sommatoria.
Osserviamo che gli elementi da sommare sono in numero n; essi hanno in comune il primo dei due pedici, che indica appunto l'appartenenza alla riga i-esima, mentre il secondo pedice assume tutti i valori interi tra 1 ed n (un numero naturale maggiore di 1), ad indicare le diverse colonne della matrice cui appartengono gli elementi della riga i-esima:
xi1 ... xi2 ... xii ... xin
Scriviamo ora
∑ j=1 n xi j
Tale simbolo si legge ''sommatoria per j che va da 1 ad n degli xi j''. Verifichiamo che esso esprima effettivamente la somma di tutti gli elementi della riga i-esima. Come abbiamo detto, il pedice j deve assumere tutti i valori interi compresi tra 1 ed n. Quando j assume il valore 1, xi j diventa xi1, quando j assume il valore 2, xi j diventa xi 2 e così via. Quando j assume l'ultimo valore, pari ad n, xi j diventa xin. Dunque possiamo scrivere:
∑ j=1 n xi j = xi1 + xi 2 +...+ xi n
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