Matematica per la finanza

Matematica finanza per le serie e successioni

Matematica finanza PER lale SERIE E SUCCESSIONILE specificamappagunuaniparticolariSUCCESSIONI : sono tspecifiche l'solo insieme✗[ R )diN sottoinsieme(Def definitafunzionel'una successione unanumerica: ,realivalorihaN e ovverosu :,( )an rienRnan →: anerneri →

Esempio 1) 9 2516 4942 36: . .. MZ definitaAh tramite=5242 gz zz322212 LEGGE...192) 134 10 1671 . . . successioneanti an definita=71-311-3 PER41-31 . . . RICORRENZALe tramitesuccessioni modidefinite 2possono essere :) fln(1) TRAMITE funzione )LEGGE an =glan )2) antiRICORRENZAPER =

Differenze tra reali variabile successioni funzioni

DIFFERENZE TRA REALI VARIABILESUCCESSIONI FUNZIONI diELE leREALELe definitesuccessioni Nhasusono solo punto =/un Raccumulazionedi coa + t. calcolareha ilsensoleman della successioneco+→n. ha studiare continuitàMI sensononderivata tè-4 di ane .

Limiti delle successioni

LIMITI successionidelleUn Rlean• = 3- //TE lfnznoENt =) Elannata <noa :> -FINITOl E-+ -- - -- -- --- •.it///e eIE-e- - -- -r - -- -- - -' |•• IÌ :: :: :• n 3-Un an KM finEN Mannon>• o+ 7-co no> :=co+→ 0È'M i° •• |:nooCum Qn• ANALOGAMENTE0= - . . .no + coUn ancon• = KM 3- noen / ltnznoIan=) M> o >co- + :"" " •"M ••: o aM- 11141 .") fr )

ESEMPIO an1: -- •(1)ho 2== ②^ @(1)di 2-1 °== •. •- •. .. ..Ii i' o(1)al 1= = a-• •- • - •-j- .a }}(Q ) -1n} = =☒ Un anco+n -{2) ^ 1,20n- = ,,an -- n 73n , ::'jiio n-0 • @- ,' SUCCESSIONE CRESCENTEMONOTONAUNAE lim an +con=a+→ )È [POSITIVAPUNTOPOSITIVA POINOI OVUNQUE certo DEFINITAMENTEINdama un,Def PROPRIETÀsuccessione DEFINITIVAMENTEunauna SEsoddisfa certa: ] N€ #'proprietà soddisfattaPERTALE laCUI e >no n noDIFORMULA DE )MOIVRE STIRLING la gerarchia( serve ✗-TÈ"! è"n notapern •~ -! n1dove 3-2 nn 27'= .. .. . ,! !0 1 1= = )

DEGLIAltri (tutti esponenziali! All' ancheVELOCEMENTE di GUn infinitova +LIMITI PERNOTEVOLI con +→ "Ci E)"à lemCasonfnlna )=/ e+• an • =n- , senecalegati èè laf) a)• #0 aN >+ ,× ERf-( ✗f)• conn+n ~-(f) NE• sen (E) NEtg• COSCE ) In• in- - >.arc-t.gl?)n=n• (G)f PERPERANALOGAMENTE co→n +

Esempi rilevanti di successioni

DIESEMPI DiRILEVANTI SUCCESSIONI.MEFARMI1) )f.daderiva(ARMONICASUCCESSIONE una armonica=Lan nza, positivasuccessione MONOTONA, SUPERIORMENTELIMITATADECRESCENTE ,INFERIORMENTEda DA 0n ,•7 - atUn an =n co- +2 •-2 •I -3 ; ;;o n. ..

2) SUCCESSIONI IN PROGRESSIONE aritmeticad derananti t con= f QOERcon +definitoviene fissato" "RAGIONE an nd PEREQUIVALENTEMENTE lo + nzo= d >odco @••: daa• 3 40 n21amàt d; decrescente0 MONOTONA< →, D=do COSTANTEcon → + o →, d monotonao crescente> →, laperdiotranne successione,divergente'e

3) PROGRESSIONEINSUCCESSIONI GEOMETRICA formulazioneQER (ajcr Fissatoanti an q concon.= )+ ricorrenza✗RAGIONE (formulazione"an QoEQUIVALENTEMENTE comeper nzoq.= funzione )" si"Dian @ FACILMENTESTUDIAMO anQuelloqcaso DEDUCEIL q-o= =,"an q >con oq= q{ 1È c-'"" " 9=-1q ">1 =^ ;nota -1<9200 @,• è 0<927° ,9=7• 1 9--1• ,029<7 >aco+ q> ,n2 3 40 7analeziamo seguenti casii : ][ " "" " C-Un ]lem C- 9)Un )[9 O)-1<920 fac- a) ^: = = =lonotanota nota è compreso)(tra an coper n +e -+@vale][ /"" "Un "" /Un C- a)c- a) C- c- 9)a)q a siccome< →n :q ==- =lonatocsn - + " /I. ?=/ Kqa)C-qsn- =±co Ie nper +-tende atcs " ) aC- +q ==

Serie

SERIELE RENDITAESEMPIO posticipataPERPETUA RATA COSTANTE: , ,t derivantiversamenti costantiinvestimentoda unR RR R1I I1 120 3 n7 . . .. .. tyf.gr/-(?-iR ÷Diprezzo unaEQUO rendita +: .pt+ .- .. .. .}÷ , (DiTassointeresse-Somma di ADDENDInumero INFINITOun DIco+ I "④c)Ci += nDef Qn SUCCESSIONEMESUCCESSIONE NUMERICA DEFINIAMOUNADATA Ncon: ,Sri( )parziali COMEdelle somme :menSo QO= SatanSi Qatar= =Qatar Sn Qz52 +02 += =;Sn QnSnQatar Qn ++ n+ -== . . .(Def ) numericaSUCCESSIONEDATA definisceanUNA seriesineri. )GENERALE( CARATTEREDI comeanco+[ lem Snan = con → +n o=la SERAINOLTRE SERIE SECONVERGE: • :leon SERSri IN CASOTAL= S È DETTA+ con → SOMMA dellaSERIE une °°( - ) ÷(Snlem' )la ADIVERGESERIE• co+ co ilSE +=oppure co n co→ ++• ( )SancasoIN TAL : co+=h 0= Elem Srila ' IRREGOLARESERIE E• se co+→n↳ SERIE SERCONVERGENTEdellaCARATTERE A•: /DIVERGENTE /A• + co co co-/IRREGOLARE OSCILLANTE•co+ "[ES C- )n. -0¥n = °(a)Se 1ao }== = Per lapari somman'C-Sn )Qatar uguale^ parziale+ 'On a unoe== = ugualedispari 'per n e?( )52 Si QZ 0 1++ n zeroa==={ dispariin°Sn = pariin7 @ ••a • @7È☒ Snlem " IRREGOLAREEn )=) =)ne co+ n o-- " 4+ l'cs { ) E ne1^Ian ,ES dove an =. n n= 0 75n,'Sn )C- ^n -== 2=052=-1 (1)+ >)53=0 E- n+ n = -"( )su n on--= - =55 0+o o= = I1o i i-→[ =3 ( )dispari En =3^ en en enn- ,Sn )(2 riparin == , 240 n, co+&=)Snlem CONVERGEan ZEROA0 =)0= = 'Quindi serie econ la+- n = , zeroAUGUALEÈES n. formulan 7= ✓nyj,S 1+2+3" n+ == . .. ÈÈÈ È, } n«lemSnlem +con==→ co con ++ →+ co=) ADIVERGE +con→n7=ES iltrovare carattereper. , nuovi strumentibisognoabbiamo dih n=

Algebra delle serie

ALGEBRA SERIEDELLE operazioni tra serie:co+ co + co+£ San Sbn( )bn• an ++ =n n 0no o == =co+ + coI fan ERan C C con-• c-= tin Oo ==PURCHÉ QUANTO SENSOABBIASCRITTO

Esempi serie rilevanti

ESEMPI SERIERILEVANTI DI co+E f-1) )ARMONICA (SERIE DIVERGE Atcoco+=nei[ carattere DIVERGENTE: co+£ )

2) PROGRESSIONE (IN ARITMETICASERIE nd Qoedao + conIn R€noiSe d parilo la DIVERGENTE'a seriesono zeroe e,TCO[ lemsn)( ndQo + =con→ +no= £ ££00 n )({(Sn aol.nu )ao Kd)Kd Kd++ += = == « , KK= K=a oo ==£ Cinti )n( (da ) d d)Qo ntiK +ntn += .= -2K =D Qo D={ 0 o=>|⑤ dIo {=D > o, , D=lo0 o=,: :: ::⑦Snlem d+0D= oppurelo o>o > o= =, ,,→ ÷ . .⑤ D= da < oo , dco, oppureco- , d QOCOe-0⑨ Qo dco-1-0 ,

3) GEOMETRICAPROGRESSIONESERIE INÈ " )( Qo qentrq- conE InA = o È " )↳sedia 9 oo ° ='= neo È[ ")se qn-1-0ao ( 9aoao = .. h 0=n =DÈ n "979792" E " "snconsideriamo 9 1+9q +9+q : +== = .. . _. .Kn o=o={ " 9=1+ ' ,Sn = #19 i ]÷"" ^>VERIFI 1+9+9 +9 91=-1CHIAMO +: =. ,. . ^(1-9) )"( g) ( >PERMOLTIPLICANDO -19ntqxq +n: - =.. ...iq/-/q-q/--Y-...-q/-qr+-'=n-q1+9/+924 " ". ."" qnt -7q=) a-1 =-sn-K-IE.am9=1ntn ,=/ ° 9<-1"lem -9 ☒ 9 ri= -aton - -119<1o 9=1a >• ^9 DIVERGE»snlem DIVERGE92-1n co- + ☒ IRREGOLARE9=-1÷ CONVERGE-1<921, Diverte9 > 1A+co+ )({ 191<1" -129<1quandoCONVERGEq=Dn È "ES . ÈEdireo ÷?): ;n =D = !=^j ;È 7:(" '"=L E) (E);-)(E) (E)+ + =. . .n =D f-f.{1-+ + ++= .. .io+

4) ISERIE TELESCOPICA )conlbn( )bntnbn: neri- SUCCESSIONEOn =bntnbnan -= nri ✗tb.bg/+...tbn/-bin--n-K--0¥=L[ ) ba(Sri bktnbria. K :+ -- -== K' :O ba bnxn-= -ER( bntn)lrm baSn ba lemlim bntn=) -== -n +0 nato-n co+- bntn& In BERCONVERGE SESE SOLTANTOE =+0nf - FINITOba BA -

5) DI MENGOLISEMETELESCOPICAparticolare SERIEcaso della :co+ to •+si ) n + nn& -. NÈ#= )=" '= bn ↳ n 1" =+,n )2Sn ( bktnba fibi Ibntn ^ 2- === - Io-= - ,K = n+ coIn ^n 7=

Condizione necessaria di convergenza di serie

DI SERIENECESSARIA CONVERGENZACONDIZIONE UNADI[ Im anTEOREMA QNseriese una AlloraCONVERGE: O=n co+→n o= cs+! ! ⑦E ^VICEVERSAVALE anNON IL g-es oco: -+= =. Ti notan n= Ianlemanosservazione di CONVERGENONse sicuro=/ O: sileman priori nullapuò Direse non=) Ao=

DIMOSTRA TEOREMADELLIONE :+co& ( Èè CONVERGENTE sommeIPOTESI PARUAUDelleIL FINITOLIMan: = )SnIn SERn :O =con +→dem anTESI 0: =- co+n Sn SnQn Snricorda Sn alan ampertanto passiamoDim + n: n = -- -= ,demSnlemlem Snleman Sn Sn S S O-n -- = == - n =- £co+ €n →n cocono co n+ → +→+ R R- _faresi può solo se non lasiccomeforme dirisultano èserieindecisione CONVERGENTELa di teoremaquesto 'conseguenza e :co+HO 2an CONVERGENONse am• =) quindin èco+ diverge- ( on o= irregolare ) )fan diresi priori(può puòo• se convergere aan o meno non-net coco+§ è 3h2ES +. an→Ènei ,Vediamo èan di costantesegnose* converge meno eo se" 3h2 "el + lemlemanan co+== =→ Tu÷+mgy_ n co •+ +n→ -tende laquindian seriezero convergeper canori an non+→ ,Vedremo lache divergeserie + coaco+es.se:7?-an =oan=I?+-?rt-n~,- o ?- La può convergereserieo o meno÷ !possiamo concludere nullanon

Serie a termini di segno costante

SERIE A COSTANTETERMINI SEGNODI( definitivamente )costanteoLe cuiche generale diterminehanno costante quellesonoserie a segnosi didire piùpuò POSITIVOSEGNO+a # definitivamente0an Zconfan o: n,on = qppure SEGNO NEGATIVOfino definitivamenteQn 0E ,ci Disulle positivoserie SEGNOconcentriamo termini oA DiDEFINITIVAMENTE POSITIVO serieSICCOME Aserie terminile)( alle primericondotteessereDEFINITIVAMENTE POSSONONEGATIVOINFATTI :co+ co+Ian Ian C- )an-= fn Of A- 0= alloraso 70se DI PositivoSEGNOTERMINISEME A :&REGOLARITÀ TERMINI DITEOREMA SEGNOA positivodi delle co+¥ fan