La matematica delle elezioni di paradosso in 1
Paradosso: il Consiglio Comunale dei Ragazzi
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Antonio Bernardo, Marcello Pedone
Il percorso didattico che presentiamo è pensato per ragazzi della scuola secondaria di primo grado; prende spunto dal Consiglio Comunale dei Ragazzi per analizzare alcuni aspetti matematici dei sistemi elettorali.
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In particolare, propone riflessioni su rappresentatività e democrazia nelle scelte, con particolare riferimento ai sistemi elettorali di tipo proporzionale puro e proporzionale corretto.
Premessa
In molti comuni italiani gli alunni della scuola secondaria di primo grado eleggono i propri rappresentanti al Consiglio Comunale dei Ragazzi2, il cui scopo è quello di dare la possibilità agli alunni di partecipare a una esperienza diretta di vita democratica, affiancando il Consiglio Comunale vero e proprio.
L’insegnamento della matematica, d’altra parte, «deve contribuire, insieme con tutte le altre discipline, alla formazione culturale del cittadino, in modo da consentirgli di partecipare alla vita sociale con consapevolezza e capacità critica».
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Ebbene, l’elezione del Consiglio Comunale dei Ragazzi è una buona occasione per mettere in gioco alcune delle competenze matematiche del cittadino: esprimere adeguatamente informazioni, risolvere e porsi problemi, progettare e costruire modelli di situazioni reali, operare scelte in condizioni di incertezza.
Il percorso didattico che proponiamo muove proprio in questa direzione. Trascureremo gli aspetti legati alla rappresentazione grafica dei dati e alla loro analisi statistica, aspetti che da soli rivestono un ruolo importante nel curricolo formativo dell’allievo-cittadino, per addentrarci in un tema più delicato che è quello dell’analisi in termini matematici del senso comune di rappresentatività e democrazia nelle scelte.
Il senso comune richiede che vinca le elezioni chi ha riportato più voti. Nelle elezioni presidenziali negli Stati Uniti del 2000, invece, ha vinto Bush sebbene il suo avversario Gore avesse ottenuto complessivamente più voti.
Il senso comune richiede che l’aumento del numero dei seggi produca un aumento, o almeno una conservazione, dei rappresentanti che quella lista esprimerà nelle sedi decisionali. In termini matematici, la funzione di assegnazione dei seggi deve essere una funzione debolmente crescente (isotona) rispetto al numero dei seggi disponibili.
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Si vedrà che ciò non è semplice da realizzare e che un esame matematico del problema può mettere a nudo contraddizioni e situazioni paradossali. L’allievo potrà rendersi conto in questo modo dei motivi che sottendono il complesso meccanismo delle leggi elettorali in Italia e in molte altre nazioni.
Dal punto di vista didattico, procedere per paradossi può catturare l’attenzione dei ragazzi, incuriosirli più di quanto non possa fare un percorso ‘normale’ e soprattutto far loro apprezzare come la matematica possa scoprire le incongruenze dell’uso del senso comune in semplici fatti della vita di tutti i giorni.
Tuttavia, l’insegnante dovrà assicurarsi che i propri allievi abbiano percepito l’aspetto ‘normale’ dei procedimenti descritti per l’attribuzione dei seggi, cosa che, da un punto di vista del calcolo, richiede solo il saper fare le divisioni con il resto e saper operare con i numeri decimali, ma ha anche evidenti relazioni con le nozioni di frazione, rapporto e proporzione.
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Quando i ragazzi avranno acquisito sicurezza di calcolo in situazioni ‘normali’, il docente potrà guidarli a esplorare situazioni che generano paradossi e a cercare metodi più ‘equi’.
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Nel 1880 il parlamento degli Stati Uniti d’America decise di innalzare il numero dei deputati da 299 a 300. Lo Stato dell’Alabama, che aveva 8 rappresentanti quando i deputati erano 299, passò da 8 a 7 quando il totale fu portato a 300. Questa situazione è nota con il nome «Paradosso dell’Alabama».
Presentazione della situazione problematica e coinvolgimento del gruppo classe
Il Consiglio Comunale dei Ragazzi
Nella città immaginaria di Matematopoli il regolamento per l’elezione del Consiglio Comunale dei Ragazzi prevede:
Art. 1) Il Consiglio comunale dei Ragazzi è eletto a suffragio universale dagli iscritti alla Scuola dell’obbligo, dalla classe 4ª elementare alla 3ª media, e dura in carica due anni.
Art. 2) Il Sindaco viene eletto a maggioranza assoluta dal C.C.R., con votazione segreta, tra i componenti stessi ed è rieleggibile.
Art. 3) Il Consiglio è costituito da 13 membri.
Art. 4) I Consiglieri sono eletti con sistema proporzionale su liste presentate da ragazzi iscritti alla Scuola dell’obbligo. In sede di scrutinio si attribuiscono prima i seggi a ciascuna lista, e successivamente si individuano i candidati eletti.
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Quest’anno si sono presentate tre liste (Ambiente, Benessere, Cultura), i voti validi sono stati 780, ciascuna lista ha preso i seguenti voti:
- Ambiente 395
- Benessere 283
- Cultura 102
Rendere omogenee le conoscenze della classe
Obiettivo. Rendere omogenee le conoscenze della classe su alcuni concetti dei sistemi elettorali: suffragio universale, maggioranza assoluta, maggioranza relativa, attribuzione dei seggi; acquisire i meccanismi di base dell’attribuzione dei seggi con il cosiddetto metodo proporzionale puro.
Una giornata dal mobiliere
Al fine di individuare un modo per valutare l’equità dell’attribuzione dei seggi, consideriamo una situazione problematica più vicina all’esperienza comune, nella quale i seggi consiliari – a cui si ha diritto in conseguenza dei voti ricevuti – vengono sostituiti da un altro tipo di «seggi»: delle poltrone che tre amici acquisteranno, avendo ciascuno a disposizione una quantità di euro pari ai voti che i tre raggruppamenti consiliari hanno rispettivamente ottenuto.
Si propone preliminarmente la seguente situazione: Antonio, Domenico e Marcello hanno a disposizione rispettivamente 395€, 283€ e 102€ per comprare delle poltrone. Sperando di spuntare un buon prezzo, offrono in blocco il totale dei loro 780€ a un mobiliere, che ha 13 poltrone uguali, rimaste a lungo invendute. Il mobiliere accetta l’offerta dei tre amici, i quali ora devono dividersi le poltrone in modo equo rispetto agli euro che ciascuno ha messo a disposizione.
Primo metodo
Si calcola il prezzo di ogni poltrona, che è dato da 780€ : 13 = 60€. Perciò Antonio, che ha 395€, riceve 6 poltrone e gli avanzano 35€. Domenico, che ha 283€, riceve 4 poltrone e gli avanzano 43€. Marcello, che ha 102€, ne riceve una e gli avanzano 42€.
Finora i tre amici si sono distribuite 11 poltrone. Le 2 poltrone rimanenti vanno a Domenico e Marcello, perché hanno ancora da utilizzare delle somme maggiori rispetto ad Antonio.
Ci si può chiedere ora quanto ciascuno dei tre amici ha pagato mediamente per una poltrona. Antonio ha pagato 65,83€, Domenico ha pagato 56,60€, Marcello ha pagato 51€.
1 Parte di questo lavoro è stato pubblicato su «Periodico di matematiche», 2005 (vol. 5, serie VIII), pp. 87-99.
2 antoniobernardo@matematicamente.it; marcellopedone@matematicamente.it
3 Il Consiglio Comunale dei Ragazzi è promosso dall’UNICEF, con il fine di rendere fruibili i diritti sanciti dalla Convenzione Internazionale sui Diritti dell’Infanzia e dell’Adolescenza.
4 L’argomento può contribuire a rafforzare le nozioni di rapporto e di proporzione.
5 Commissione UMI, «Ciclo secondario: la matematica del cittadino», Progetto Alice, Roma, Ed. Pagine, Vol. IV n. 10 (2003), 5-36. Anche in:
http://www.dm.unibo.it/umi/italiano/Matematica2003/matematica2003.html
6 Ivi, p. 6.
8 Questo regolamento per il Consiglio Comunale dei Ragazzi è stato effettivamente approvato nel comune di Jesolo (VE), con deliberazione consiliare n. 108 del 30 settembre 2003.
http://www.jesolo.it/content.asp?Subc=1534&idMen=159
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