Le leggi di Keplero e la gravitazione universale: un viaggio nello spazio

Keplero e il modello eliocentrico

Giovanni Keplero, un astronomo tedesco, migliorò il modello eliocentrico di Copernico. Secondo egli le orbite dei pianeti intorno al sole non sono circonferenze ma ellissi.

L’ellissi è una figura piana avente la seguente caratteristica: la somma delle distanze dei punti dell’ellisse da due punti fissi (fuochi) è costante. L’ellisse è come un cerchio schiacciato, il cui raggio non ha sempre lo stesso valore. “semiasse maggiore” punto più distante, “semiasse minore” punto più minimo.

Quali sono le leggi di Keplero?

La prima legge di Keplero riguarda la forma dell’orbita è afferma: le orbite descritte dai pianeti attorno al sole sono ellissi di cui il sole occupa uno dei due fuochi. La posizione del pianeta più vicino al sole si chiama perielio; quella più lontana afelio.

La seconda legge di Keplero si occupa della variazione della velocità di un pianeta mentre si sposta lungo la sua orbita, dice che il raggio vettore che va dal Sole a un pianeta spezza aree uguali in intervalli di tempo uguali.

La terza legge di Keplero riguarda la relazione tra le distanze dei pianeti del sole e i tempi di percorrenza dell’orbita, ovvero: il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dell’orbita e il quadrato del periodo di rivoluzione è lo stesso per tutti i pianeti. a alla terza(semiasse maggiore in metri) fratto T alla seconda (periodo in secondi) è uguale a K ( costante metri alla terza su secondi alla seconda). Da questa formula si ottiene che T alla seconda è uguale a a alla terza fratto K. Cioè che più un pianeta è lontano dal sole, più tempo impiega a percorrere la propria orbita. Il valore K dipende dal corpo celeste attorno al quale avviene il moto.

La forza gravitazionale universale

Keplero mostra che la forza gravitazionale è universale e fa sì che due corpi qualsiasi dotati di massa si attraggono.

La legge afferma: la forza di attrazione che si esercita tra due corpi puntiformi di masse m uno e m due è: direttamente proporzionale a ciascuna massa, ossia al prodotto delle due; inversamente proporzionale al quadrato della distanza r tra i due corpi; diretta lungo la retta che congiunge i due corpi.

F (forza di attrazione vitale in newton) è uguale a G (costante di gravitazione universale) per m uno per m due fratto r alla seconda (distanza in metri). La costante G è detta costante di gravitazione universale e vale: G= 6,67 x 10 alla -11 N per m al secondo su kg al secondo.

Tenendo fissa la distanza tra due corpi:

• Se la massa di uno dei due raddoppia, la forza gravitazionale raddoppia;

• Se anche l’altra massa raddoppia, la forza diventa 4 volte più grande;

Tenendo fisse le masse dei due corpi:

• Se la distanza raddoppia, la forza gravitazionale diventa 4 volte più piccola;

• Se la distanza triplica, la forza diventa 9 volte più piccola;

• Se la distanza diventa 10 volte più grande, la forza diventa 100 volte più piccola

Quindi la forza diminuisce molto rapidamente al crescere della distanza.

La legge di gravitazione universale

La legge di gravitazione universale esprime l’intensità della forza gravitazionale che agisce tra punti materiali, cioè tra corpi che hanno dimensioni piccole se confrontate con la reciproca distanza.

I corpi sferici esercitano e subiscono forze gravitazionali come se avessero tutta la massa concentrata nel centro.

La forza-peso è la forza di gravità con cui un corpo è attratto dalla Terra quando è posto vicino alla superficie terrestre. La distanza tra un corpo di massa m e il centro della Terra è uguale al raggio terrestre R pedice T, il modulo della forza-peso F vettore pedice P è dato da: F pedice p (forza peso) uguale è G (costante di gravitazione universale) per m (massa del corpo) per M pedice T (massa della Terra) fratto R alla seconda pedice T (raggio della Terra).

L'accelerazione di gravità terrestre

L’accelerazione di gravità sulla superficie della Terra

(Accelerazione di gravità) g= G (costante di gravitazione universale) per M pendice T (massa della Terra) fratto R alla seconda pedice di T (raggio della Terra). Cioè g dipende dalla massa e dal raggio.

L'accelerazione di gravità varia leggermente (per meno di una parte su 100) da un punto all'altro della superficie della Terra: è maggiore ai poli (9,83 m/s²) e minore all'Equatore (9,78 m/s alla seconda), maggiore al livello del mare e minore in cima alle montagne.

Tale variazione è dovuta:

1 al fatto che la Terra non ha una simmetria sferica perfetta, poiché, oltre a essere composta da strati di densità non omogenea, è schiacciata ai poli e rigonfia all’Equatore;

2 alla forza centrifuga apparente (massima all'Equatore e nulla ai poli) associata alla rota- zione terrestre, che viene percepita come una leggera riduzione della forza-peso.

I satelliti artificiali e le orbite

Un satellite artificiale è un proiettile sparato con una velocità tale da non atterrare più. Per mettere in orbita un satellite si utilizza un razzo che mentre sale si inclina piano piano, imprimendo così al satellite la velocità orizzontale che serve per farlo rimanere in orbita.

La traiettoria percorsa da un proiettile sparato orizzontalmente, che non ricade sulla Terra e né rimane in orbita, è un arco di iperbole. Esistono infinite orbite ellittiche e infinite traiettorie iperboliche. Le prime sono separate dalle seconde da una traiettoria parabolica.

La forza gravitazionale di un pianeta è sempre orientata verso il centro del pianeta e, quando agisce su un satellite in orbita circolare, risulta perpendicolare in ogni istante alla direzione del moto. La forza gravitazionale costituisce una forza centripeta, che non modifica il modulo della velocità del satellite ma fa variare solo la sua direzione. Il satellite non è soggetto ad altre forze pertanto compie un moto circolare uniforme. Applicando la legge fondamentale della dinamica, F = ma, possiamo calcolare il modulo v della velocità di un satellite di massa m. Assumiamo che il satellite si muova su un'orbita circolare di raggio r attorno a un pianeta di massa M. Nell'equazione F = m a sostituiamo a F l'espressione della forza di gravità che agisce sul satellite e ad a quella della sua accelerazione centripeta.

Poiché r è al denominatore,

più un satellite è distante dal centro del pianeta, più è lento.

Nella formula precedente non compare la massa m del satellite: ciò significa che la velocità necessaria per rimanere in orbita a una certa altezza è la stessa per tutti i satelliti, qualunque sia la loro massa.

Alcuni satelliti meteorologici e per le telecomunicazioni sono messi in orbita in modo che si trovino sempre al di sopra dello stesso punto dell'Equatore terrestre. Per ottenere questo effetto, il periodo dell'orbita del satellite deve essere uguale al periodo del moto di rotazione della Terra attorno al suo asse (23h e 56 min). Ciò avviene se il satellite percorre un'orbita circolare nel piano dell'Equatore a un'altitudine di 35 800 km sopra il livello del mare.

Un satellite geostazionario percorre un'orbita equatoriale circolare con un periodo di rivoluzione uguale al periodo di rotazione della Terra; pertanto è fermo rispetto alla superficie terrestre.