Concetti Chiave
- I modelli ARIMA di Box e Jenkins si basano sull'idea che i disturbi alterano il livello di una serie temporale.
- Un modello ARIMA è descritto come ARIMA(p,d,q), dove p, d e q rappresentano rispettivamente l'ordine dell'autoregressione, dell'integrazione e della media mobile.
- La procedura di Box e Jenkins è iterativa e comprende verifica della stazionarietà, identificazione del modello, stima dei parametri e verifica del modello.
- La stazionarietà della serie viene analizzata tramite grafici, individuazione di valori anomali e trasformazioni come la trasformazione Box-Cox.
- R offre funzioni come arima.sim() per simulare modelli AR, MA, ARMA e ARIMA specificando parametri e ordine del modello.
I modelli ARIMA (autoregressivi integrati a media mobile ) di Box e Jenkins partono dal presupposto che fra due osservazioni di una serie quello che altera il livello della serie è il cosiddetto disturbo.
Struttura e applicazione dei modelli
Un modello generale di Box-Jenkins viene indicato come: ARIMA (p,d,q) dove AR=AutoRegression (autoregressione) e p è l'ordine della stessa, I=Integration (integrazione) e d è l'ordine della stessa, MA=Moving Average (media mobile) e q è l'ordine delle stessa.Pertanto un modello ARIMA (p,d,q) è analogo ad un modello ARMA(p,q) applicato alle differenze d'ordine "d" della serie dei valori, invece che agli effettivi valori. Se la serie non è stazionaria (la media e la varianza non sono costanti nel tempo) viene integrata a livello 1 o 2, dopo aver eseguito un' eventuale trasformazione dei dati (solitamente quella logaritmica). In tal modo viene ottenuta una serie stazionaria (random walk).La procedura proposta Box e Jenkins è di tipo iterativo e serve per: l'identificazione, la stima e la verifica di un modello ARIMA ed ha come scopo la costruzione di un modello che si adatti alla serie storica osservata e che rappresenti il processo generatore della serie stessa.1) Verifica della stazionarietà della serie: analisi grafica della serie; identificazione di eventuali valori anomali; ricerca delle trasformazioni più adeguate a rendere stazionaria la serie (calcolo delle differenze e uso della trasformazione Box-Cox);2) Identificazione del modello ARIMA: individuazione degli ordine p,d,q del modello mediante l'analisi delle funzioni di autocorrelazione parziale e totale;3) Stima dei parametri: stima dei parametri del modello ARIMA con il metodo della massima verosimiglianza o dei minimi quadrati;4) Verifica del modello: controllo sui residui del modello stimato per verificare se sono una realizzazione camponaria di un processo white noise a componenti gaussiane. Si effettuano analisi dei residui, test sui coefficienti, cancellazione fra operatori, test Portmanteau.Se il modello stimato supera la fase di verifica allora può essere usato per la scomposizione e/o le previsioni. Altrimenti si ripetono le fasi di identificazione, stima e verifica (procedura iterativa).Per quanto riguarda la stima dei parametri dei processi stocastici R mette a disposizione alcune funzioni che ora esaminiamo. Il comando arima.sim() permette di ottenere la simulazione di modelli AR, MA, ARMA, ARIMA specificando il numero dei valori che si vogliono ottenere, i parametri e/o l'ordine del modello in una lista.
Domande da interrogazione
- Qual è la struttura di un modello ARIMA secondo Box e Jenkins?
- Come si verifica la stazionarietà di una serie temporale?
- Qual è il processo iterativo proposto da Box e Jenkins per i modelli ARIMA?
Un modello ARIMA è indicato come ARIMA(p,d,q), dove p è l'ordine dell'autoregressione, d è l'ordine dell'integrazione e q è l'ordine della media mobile. Questo modello si applica alle differenze d'ordine "d" della serie, piuttosto che ai valori effettivi.
La stazionarietà si verifica attraverso un'analisi grafica della serie, identificando valori anomali e cercando trasformazioni adeguate, come il calcolo delle differenze e l'uso della trasformazione Box-Cox, per rendere la serie stazionaria.
Il processo iterativo comprende quattro fasi: verifica della stazionarietà, identificazione del modello ARIMA, stima dei parametri e verifica del modello. Se il modello supera la verifica, può essere utilizzato per previsioni; altrimenti, si ripetono le fasi precedenti.
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