Formulario matematica finanziaria

Formulario di matematica finanziaria

Di Simona Savoca

Capitalizzazione

C = Capitale
M = C • f    -->   Montante
f (x; α) = M ÷ C    -->   Fattore di capitalizzazione o di montante
I = M - C    -->   Interesse

Attualizzazione

S = Valore nominale o somma futura
A = S • φ    -->   Valore attuale o somma immediata
φ (x; β) = A ÷ S    -->   Fattore di attualizzazione o di sconto
D = S - A    -->   Sconto

Fattori finanziari

f e φ
f(t,α)    φ(t,β)
f(t)    φ(t)

Fattori coniugati

f • φ = 1

Tasso d'interesse

f(1) = 1+i

Tasso di sconto

φ(1) = 1-d

Fattori coniugati

--> (1+i)(1-d)=1     quindi    d= i÷(1+i)    i = d÷(1-d)

Regimi finanziari usuali

1) Capitalizzazione semplice

I = C × t × a --> a = i --> I = C × t × i
Quindi: M = C (1+it)
Poi φ(t,i) = 1÷(1+it) sconto razionale o semplice
A = S÷(1+it)

i_a = Tasso di interesse annuo
i_u = Tasso di interesse periodale
i_s = Tasso semestrale (1÷2)
i₃ = Tasso quadrimestrale (1÷3)
i_u = Tasso trimestrale (1÷4)
i₆ = Tasso bimestrale (1÷6)
i₁₂ = Tasso mensile (1÷12)
i = i_u⋅u
i_u = i / u

2) Capitalizzazione composta

M = C (1+i)^t
f(t,i) = (1+i)^t
φ(t,i) = 1/(1+i)^t = (1+i)^t
A = S(1-i)^-t = S/(1+i)^t

Tassi equivalenti --> 1+i=(1+i_m)^u_m
Quindi: i = (1+i_m)^u_m-1
i_m = ^u_m√(1+i) -1

Tasso annuo nominale --> jm = im × m --> im = jm ÷ m
i_m = [^u√(1+i) -1] / u × u
i = (1+ _im/^u_m)^u_m -1
Tasso annuo effettivo = i

3) Capitalizzazione degli interessi semplici anticipati (sconto commerciale)

D = S + a --> a = d --> A = S (1 - dt)
φ(t,d) --> Fattore di capitalizzazione coniugato
ℓ (t,d) = l / 1-dt
M = c / 1-dt
Tassi equivalenti --> d = dm × m
dm = d ÷ m

Rendita

Quando abbiamo rate consequenziali e costanti per un tot di tempo

Rendita posticipata

M = R · S_n|i = R · (1 + i)ⁿ - 1 / i
A = R · a_n|i = R · 1 - (1 + i)^-n / i

Rendita anticipata

M = R · S̄_n|i = R (1 + i) · (1 + i)ⁿ - 1 / i
A = R · a ̄_n|i = R · (1 + i) · 1 - (1 + i)^-n / i
l / 1 + i = d

Rendita perpetua

Con rate infinite
M = valore infinito quindi non lo calcolo

Rendite frazionate

Con rendite mensili, semestrali...

Scelte finanziarie

DCF(x) = G(x) = _s=1^u∑ a_s / (1+x)^s
an = flussi di cassa
t = scadenze

Investimento in senso stretto: una uscita iniziale e molte entrate successive
Finanziamento in senso stretto: una entrata iniziale e molte uscite dopo

G(x) ha alcune proprietà:
G(0) = _s=1^u∑ a_s = a1+a2+...+a_u
Cioè a tasso nullo il DCF è la somma algebrica dei flussi

lim_x→-1⁺G(x)=lim_x→-∞s=1^u∑ a_s(+x_s^s) + a2 / (1+x)² + ... + a_u
Tendono tutti ad INF quindi capiamo che il segno va in base a quello di "an" grazie al teorema degli infiniti

lim_x→+∞G(x)=0
Se t1=0 il limite è a1 perché il primo flusso non viene scontato

Investimento in senso stretto

Con il primo flusso in 0
lim_x→-1⁺G(x)=+∞
lim_x→+∞G(x)→a₁∞

Derivate:
G'₁(x)=_s=1^u∑ a_s(s-t_s) / (1+x)^s Strettamente crescente
G'₁(x)=_s=1^u∑ a_sts(s-1-ts) / (1+x)^s Strettamente convessa

Finanziamento in senso stretto

Con il primo flusso in 0

Derivate:
G'₁(x)=_s=1^u∑ a_s(s-t_s) / (1+x)^s Strettamente crescente
G'₁(x)=_s=1^u∑ a_sts(s-1-ts) / (1+x)^s Strettamente concava

VAN e TIR

VAN = DCF ad un certo tasso di interesse i
TIR = DCF nullo

Criterio di scelta del VAN

Ci fa capire se conviene fare una determinata operazione con un tasso o no --> è conveniente se il VAN >0

Criterio di scelta del TIR

Conviene il TIR maggiore se si parla di investimenti mentre quello minore per i finanziamenti

TAN, TAE e TAEG

TAN = jm (tasso annuo nominale)
TAE = Tasso interno su base annua senza spese accessorie --> stesso procedimento del TIR
TAEG = TAE + spese accessorie --> stesso procedimento del TIR ma prima devo aggiungere o sottrarre le spese rispettivamente alle rate o al totale
TAEG > TAE

Ammortamento di un prestito

Diversi modi di rimborso:

• Rimborso a scadenza del montante
• Rimborso alla scadenza della somma iniziale più il pagamento periodico degli interessi
• Rimborso periodico di una parte della somma S più il pagamento periodico degli interessi (ammortamento graduale)

Cioè ad ogni scadenza si pagano le rate costituite da:

• Una quota capitale
• Una quota interessi

Piano di ammortamento: scomporre le rate in quote cap. ed interesse e descrivere l'andamento nel tempo dell'operazione

2 impostazioni:

1. Elementare = si conoscono le quote capitale
2. Finanziaria = si conoscono le rate

Condizioni di chiusura:

• Elementare --> deb. iniziale = somma delle quote capitale
• Finanziaria iniziale --> deb. iniziale = valore attuale rate
• Finanziaria finale --> deb. finale = rette a fine anno (M tot)

Amm. all'italiana --> Amm. alla francese -->

Leasing finanziario

A = Prezzo bene
B = Pagamento anticipato oppure
Cn+r = Canoni futuri pagati subito
Cn = Canoni periodici in locazione
E = Prezzo di riscatto
T = Tempo totale del contratto

DCF dal punto di vista del locatore:

Tasso interno:
Equazione di base:

Da questo si possono calcolare anche gli altri canoni
Costo leasing o monte interesse =

Per costruire il piano di ammortamento bisogna sapere che:

• Il debito da estinguere è: S= A-B
• L'anticipo in contanti può essere scritto come la quota capitale in 0: C0=R0=E0=B
• Le rate coincidono con i canoni: Rn=Cn
• L'ultima rata dopo i canoni coincide con il valore di riscatto: Rn+1= E
• La somma di tutte le quote interessi è uguale al monte interesse:

Vendita rateale

Stessi dati del leasing ma non c'è il prezzo di riscatto (E)
L'ammontare iniziale dato da S=A-B deve essere uguale a -->
L'equazione di base è:
Monte interesse =

Questi titoli usano il regime di capitalizzazione semplice --> I = C • i • t --> i= I : (C•t)

Caso 1

Titolo acquistato all'emissione e tenuto fino alla scadenza

Caso 2

Titolo acquistato dopo l'emissione e tenuto fino alla scadenza

Caso 3

Titolo acquistato all'emissione e venduto prima della scadenza

Acquistando un titolo senza cedole all'emissione e vendendolo prima della scadenza, si ottiene un rendimento inferiore a quello che si otterrebbe detenendo il titolo fino alla scadenza anche se viene acquistato dopo l'emissione.

Imposta fiscale

τ = Aliquota di ritenuta fiscale --> L'imposta è τ (N-A0)

1. Ritenuta fiscale all'emissione --> ₀, = − ₀ Rendemento
2. Ritenuta fiscale al rimborso --> '₀, = ₀ Rendemento

3 nozioni di rendimento

Tasso cedolare annuo i = c/_N
Semestrale i = 2c/_N

Tasso di rendimento immediato
● τ_C = c/_S
◼ τ_C = (1 + ^c/_S)² - 1

Tasso di rendimento effettivo (TRE) --> Come calcolo TIR

1. ● DCF(x) = 0 --> -S + c/(1+x) + c/(1+x)² + ... + c + R/(1+x)ⁿ = 0
2. ◼ DCF(*x*) = 0 --> -S + c'/(1+x)^1/2 + c'/(1+x) + ... + c' + R/(1+x)^n/2 = 0

Quando i titoli con cedole non vengono acquistati esattamente all'inizio del periodo di maturazione della cedola si usa il corso tel quel.
N•i•p = Rateo di interessi
Q = Corso tel quel = S + rateo interessi

Calcolo rendimento effettivo:
 -a         a_______      c     c       c+R0   1   2   ...   u

G₁(x)>0 --> -a + c/(1+x) + c/(1+x)² + ... + c + R/(1+x)^u - 0

Struttura a termine di tassi d'interesse

Si usano gli zero coupon bond con un valore nominale unitario
Prezzi a pronti o spot -->
Acquistando questo titolo dall'emissione e tenendolo fino alla scadenza si investe la somma v₀ (0,τ) da 0 a τ ottenendo in τ la somma 1
Quindi il prezzo v₀(0,τ) di uno zcb con valore nominale 1 è anche il fattore di sconto da τ a 0
Titolo che scade subito
Titolo che non scade mai
I prezzi sono decrescenti in τ -->

I prezzi spot possono essere usati per introdurre altri prezzi
Prezzi a termine o forward

Si deve considerare un investimento che può essere fatto in due modi:

1. Direttamente da 0 a τ con i prezzo forward
2. Prima investendo da 0 a s<t al prezzo spot e poi reinvestendo la somma ottenuta da s fino a τ al prezzo forward.

Questo prezzo può essere anche visto come la somma da investire in S per ottenere in τ la somma 1

Definizione: la funzione discreta viene detta struttura a termine dei prezzi degli zcb, valutata al tempo t. In particolare:

Se t=S si hanno i prezzi pronto o spot
Se t<S si hanno i prezzi a termine o forward
Questi prezzi possono anche essere usati per stabilite i prezzi con cedole.
Può essere visto come portafoglio di yT zcb con scadenza in T.
Il suo prezzo è:
Il prezzo con cedole risulta:

Tasso di interesse in t per un investimento -->
Tasso a pronto o spot -->

Legame tra prezzi e tassi spot:
Il legame tra prezzi e tasso forward:

Definizione: la funzione discreta viene detta struttura a termine dei tassi di interesse valutata in t. In particolare:

Se t=S si hanno i tassi a pronto o spot
Se t<S si hanno i tassi a termine o forward
Il legame tra tassi spot e forward può spesso essere ottenuto attraverso la relazione di base che lega i tassi, i fattori di sconto e di capitalizzazione.
È la relazione di base che lega:

Fattori di capitalizzazione
Fattori di sconto
Tassi spot
Tassi forward

Vengono usati gli stessi tassi e prezzi dell'argomento precedente
Prezzo al tempo 0 -->
Prezzo in una data intermedia z -->

Duration

Media ponderata delle scadenze alle quali si manifestano i flussi
Utilizzando lo sviluppo di Taylor fermandolo al primo ordine

Convexity

Utilizzando Taylor fermandolo al secondo ordine