Formulario - Fondamenti di Telecomunicazioni

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A cura di Matteo Gineprini 2019

Segnali pari, dispari e trasformate

s(t) = s(−t) ∼ p a r i

s(t) = − s(−t) ∼ d i s p a r i

! ! T/2 + ∞ k 0 k1 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 22 P = li m s(t) d t E = s(t) d t x dx = − xdx + xdx! ! !

s s TT → + ∞ −T/2 −∞ −k −k 0

s(−t) = S(−f ) s*(t) = S*( f ) = S(−f ) s(t) ∼ S( f )! ! ! reale e pari ! ! reale e pari

( ) ( )1 f f ± ± ±j2π f t ∓j2πt f

s(t t ) ≷ S( f )e S( f f ) ≷ s(t)e

s(α t) ≷ S S ≷ α s(α t)0 0! ! ! !0 0 α α α

t S( f )d ∫ ± ±s(τ)d τ ≷s(t) ≷ S( f )j 2π f

s(t) ⊗ δ(t) = s(t) s(t) ⊗ δ(t k) = s(t k)! ! ! !j 2π fdt −∞+∞ +∞∫ ∫

Convoluzione e frequenza

h(t) = s(t) ⊗ g(t) = s(τ)g(t − τ)d τ ≅ g(τ)s(t − τ)d τ! (valida anche in frequenza)−∞ −∞

h(t) = s(t) ⊗ g(t) ≷ H( f ) = S( f )G ( f ) h(t) = s(t)g(t) ≷ H( f ) = S( f ) ⊗ G ( f )! !

( ) ( ) ( ) +∞ +∞ n f k Tt − nkT n( p er i o d o = k T ) 1 nd∑ ∑

s(t) = s ∼ → S( f ) = S δ f −! kT k T = d ur a t a kT kT kTdn n

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Identità trigonometriche

1 1 1 { }cos (x) = + cos(2x) si n(x)

si n(y) = cos(x)cos(y) = cos(x + y) + cos(x − y)2! !2 2 2 k 2π1 1 ∫2±

si n (x) = − cos(2x) cos(x), si n(x)d x = 0

cos(x)cos(y) si n(x)si n(y) = cos(x ∓ y)! ! !2 2 0± ±jx −j8πt

e = cos(x) jsi n(x) → e = cos(8π t) − jsi n(8π t) = 1 − 0 = 1! ! ! (trascuro l’esp.)

( ) ( ) +jx −jx +jx −jx π π

e + e e − e

cos(x) = si n(x) = si n(x) = cos − x cos(x) = si n − x! ! ! !2 2j 2 2

( ) ( ) ( ) ( )x + y x − y x + y x − y

cos(x) + cos(y) = 2cos cos si n(x) + si n(y) = 2si n cos! !2 2 2 2

( ) ( )x + y x − y cos(−x) = − cos(x)

cos(x) − cos(y) = − 2si n si n! ! (anche per sin)2 2

2π n t T 2π n t∫ 2αx −x −α t

cos( )d t = si n( ) e e = 1 e → → α! ! ! alto stringe grafico

T 2π n T 2 2 2α + 4π f

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Serie di Fourier e Parseval

+∞ T/21j2π nt j2π nt∫ −∑ C = s(t)es(t) = C e T T! ! (dominio riferito segnale troncato, su origine)

nn T −T/2n=−∞T/21 ∫ 2

P = s(t) d t E = + ∞! (sempre finita) ! (sempre) [T da 0 a centro ripetizione spettro]

s sT −T/2

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+∞ +∞∫ ∫ 22

E = s(t) d t = S( f ) d f! (Parseval; trasformo s(t) poi elevo caratteristica)

s −∞ −∞

+∞∫ E = (M < + ∞) → P = 0

s(t)d t = S( f = 0)! (Elevo s(t), trasformo e pongo f=0) !

s s−∞ +∞ +∞∫ ∫

E = s(t)g*(t)d t = S( f )G*( f )d f G*! (Parseval Gen; ! se esponen. ne cambia segno)

s −∞ −∞

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Sistemi e proprietà

+∞ t∫ ∫

h(t) = y (δ ) = x (τ) = δ(τ) → δ(τ) = u(t)

y (t) = h(t) ⊗ s(t) → Y ( f ) = H( f )S( f )! ! −∞ −∞

k( ) t −t

[ ] [ ]( ) ( ) ( ) 2

(t)u t + k − u t − k = r ec t u − u t − k = r ec t! !

k2k

h (t) = h (t) ⊗ h (t) → H ( f ) = H ( f )H ( f ) h (t) = h (t) + h (t) → H ( f ) = H ( f ) + H ( f )! !

serie 1 2 serie 1 2 // 1 2 // 1 2

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Linearità, invarianza temporale e causalità

[ ] [ ] [ ]T a x + b x = aT x + bT x = a y + b yLIN: ! 1 2 1 2 1 2

[ ]T x (t − t ) = y (t − t ) x (z)d z τ − t = zTI: ! (cambio intervallo integrazione: ! con ! )0 0 0

[ ]T x (t = t ) = y (t ) tCAUS: ! (estremo sup. integrale dipende solo da ! =causale)