Formulario completo di Strumenti computazionali per l'economia

Comparazione numeri

Consider the numbers 3.493427e+19 and 2.392993e+23. Then say whether both numbers are small and the first is larger than the second.

3.493427*exp(19) 2.392993*exp(23) # entrambi i numeri sono grandi, FALSO

Trovare i numeri riciclati

Consider the expression abs(-1:2)+log(1:2). Which of the following statements holds?

• The first recycled number was 2
• The first recycled number was 0
• There was no need to recycle any argument.
• The first recycled number was 1

abs(-1:2) # 4 elementi

log(1:2) # 2 elementi

abs(-1:2)+log(1:2)

log(1)+abs(1) log(1) # il primo numero riciclato è log(1)=0

Trovare il punto più basso del grafico in un intervallo

Draw the line and the parabola y = -x+1, y = x² +x+2 over the interval [-2,3] and find the ordinate of the lowest point belonging to the graphs.

linea <- function(x) -x+1 parabola <- function(x) x²+x+2 curve(linea,-2,3) # gioco con ylim=c(,) per avere la panoramica completa della situazione curve(parabola,add=T) # capisco che è la linea ad avere l'ordinata più bassa optimise(linea,c(-2,3)) # $objective -1.9999 da arrotondare a -2

Scorciatoia

Disegnate la retta y=x+1 e la parabola y=x²-x-1 nell'intervallo [-2,2] e trovate l'ordinata del punto più basso del grafico.

retta <- function(x) x+1 parabola <- function(x) x²-x-1 optimise(retta,c(-2,2)) # -0.99 optimise(parabola,c(-2,2)) # -1.25, che ovviamente scelgo come corretto

Considerazioni grafiche su punti random e linee e curve date

Let x <- seq(0.4,3,len=11) and y <- 10+sin(10*x). Consider the functions g(x) = exp(x) and h(x) = -2*x + 5. Plot both the functions on the interval 0 ≤ x ≤ 3 and add the points defined by x and y. Which of the following sentence is true?

• The curve is mostly above the line and 2 points are below the graph of the exponential.
• The curve is mostly above the line and 4 points are below the graph of the exponential.
• The curve is mostly above the line and 5 points are below the graph of the exponential.
• The curve is mostly above the line and 3 points are below the graph of the exponential.

x <- seq(0.4,3,len=11) y <- 10+sin(10*x) f1 <- function(x) exp(x) f2 <- function(x) -2*x +5 plot(x,y,xlim=c(0,3),ylim=c(-20,20)) # fondamentale il plot come primo grafico, nel quale di deve giocare con xlim e ylim curve(f1,col="pink",add=T) # aggiungo il colore al grafico della funzione esponenziale così da riconoscerla curve(f2,add=T)

Somma di elementi in vettori dagli elementi casuali

Type set.seed(107) and press enter. Then immediately store in a vector 100 normal pseudo-random numbers with mean 5 and standard deviation 2. Compute the sum of 8 components of the vector, starting from position 51.

set.seed(107) vettore <- c(rnorm(100,5,2)) sum(vettore[51:58])

Somma di elementi di un vettore dato dal prodotto di una matrice dai numeri random e un vettore dato

Type set.seed(177) and press enter. Then immediately create a 4x3 matrix, filled by rows with (standard) random uniform numbers. Let u be the product of the matrix times the vector (-2,-1,0). Finally, provide the sum of the components of u.

set.seed(177) A <- matrix(c(runif(12)),4,3,byrow=T) b <- c(-2,-1,0) u <- A%*%b # fondamentale il %*% sum(u)

Minimizzazione di una funzione in 1 variabile

Minimize, if possible, the following function: f(x) = x⁴ - x³ - 3*x² - 4*x + 4. Write the objective function at the optimum or -999 if there is no solution.

la funzione è minimizzabile perché il termine di grado più grande è x⁴ (non sarebbe massimizzabile) f <- function(x) x⁴-x³-3*x²-4*x+4 curve(f,-100,100) min <- optimise(f,c(-100,100)) points(min[1],min[2]) # $objective 8.285654

Minimizzazione di una funzione di 1 variabile in un intervallo

Minimize, if possible, the following function over the interval [0,3]: f(x) = x⁴ - 3*x³ - 3*x² - 2*x - 4. Write the objective function at the optimum or -999 if there is no solution.

f <- function(x) x⁴ - 3*x³ - 3*x² - 2*x - 4 optimise(f,c(0,3))

Massimizzazione di una funzione di 1 variabile

Maximize, if possible, the following function over the interval [-3,0]: f(x) = -x⁴ - x³ + 4*x² - x - 1. Write the objective function at the optimum or -999 if there is no solution.

è massimizzabile -> -x⁴ (non minimizzabile) f <- function(x) -x⁴ - x³ + 4*x² - x - 1 optimise(f,c(-3,0),maximum=T) # $objective (valore d’ottimo)

Trovare la radice più a destra di una funzione di 1 variabile

Find the rightmost root of the equation x³ + 4*x² + 4*x + 1 = 0

f <- function(x) x³ + 4*x² + 4*x + 1 curve(f,-1,0) # gioco con l’intervallo per isolare l’intersezione più a destra abline(h=0) uniroot(f,c(-0.6,0)) # $root

Samsung & Apple

In the smartphone market, the number of customers (in billions) of Samsung and Apple can be modelled by the functions f(x) = x/100+0.2exp(0.09*x), and g(x) = 0.33+0.025x, where x > 0 denotes year 2000+x. When is Samsung reaching one billion customers for the first time?

fsamsung <- function(x) x/100+0.2*exp(0.09*x) fsamsungMODIFICATA <- function(x) fsamsung(x)-1 # non so ancora bene se il -1 sia relativo al dato “one billion” uniroot(fsamsungMODIFICATA, c(0,30))

Contare graficamente il numero di intersezioni (soluzioni) tra due funzioni di 2 variabili

How many solutions do you have in the system of non-linear equations: x² - 2xy + y² + 2x = 0, (x+1)² + (y-1)² = 4?

e1 <- function(x,y) x²-2*x*y+y²+2*x e2 <- function(x,y) (x+1)²+(y-1)²-4 # porto tutto a sinistra dell'uguale x <- seq(-10,10,len=101) y <- seq(-10,10,len=101) z1 <- outer(x,y,e1) z2 <- outer(x,y,e2) contour(x,y,z1,levels=0) contour(x,y,z2,levels=0,add=T) # gioco con i numeri in seq per trovare il punto dell'immagine in cui i grafici si intersecano # (x+1)²+(y-1)²-4 devo riconoscerla come circonferenza

Risolvere un sistema di + funzioni di 2 variabili

Solve the non-linear system of equations 2*x + 5*y = exp(-x²) + 7, 4*x-3*y = exp(-y²) + 7, and write the x coordinate of the solution.

f1 <- function(x,y) 2*x + 5*y -exp(-x²) -7 # portiamo tutto a SX f2 <- function(x,y) 4*x-3*y -exp(-y²) -7 x <- seq(0,10,len=101) y <- seq(0,10,len=101) z1 <- outer(x,y,f1) z2 <- outer(x,y,f2)