Filtri Attivi - Derivatore Reale

kykko_90
di kykko_90
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Scopri il funzionamento dei filtri attivi, in particolare del derivatore reale. Analizziamo la configurazione del filtro passa-alto, la funzione di trasferimento e le caratteristiche di guadagno e fase in regime sinusoidale. Approfondisci ora.

Concetti Chiave

  • Il filtro attivo "passa-alto", noto anche come Derivatore Reale, utilizza un amplificatore operazionale per il suo funzionamento.
  • Un resistore in serie al condensatore limita il guadagno alle alte frequenze, influenzando la funzione di trasferimento del circuito.
  • La funzione di trasferimento è espressa in termini di guadagno e fase, analizzando la risposta armonica in regime sinusoidale.
  • Alla frequenza di taglio, il guadagno si riduce di un fattore di √2, determinando la frequenza in base ai valori di R e C.
  • Alle alte frequenze, il circuito si comporta come un amplificatore invertente con guadagno costante e uno sfasamento di -180° tra ingresso e uscita.
Filtri Attivi
Derivatore Reale

Abbiamo già citato due volte i filtri attivi, ora c'è rimasto da vedere ed analizzare il filtro attivo "passa-alto" costruito tramite amplificatore operazionale.
Il filtro prende anche il nome di "Derivatore Reale".

Per limitare il guadagno alle alte frequenze in un derivatore si inserisce un resistore

[math]R_1[/math]
in serie al condensatore
[math]C[/math]
.

Applicandogli Laplace si determina la funzione di trasferimento:

[math]G\left(s\right)=\frac{V_0\left(s\right)}{V_i\left(s\right)}[/math]

quindi:

[math]G\left(s\right)=-frac{R}{R_1+\frac{1}{sC}}=-\frac{sRC}{1+sR_1C}[/math]

In regime sinusoidale si pone

[math]s=j\omega[/math]
e si valuta il modulo e la fase della funzione in risposta armonica
[math]G\left(j\omega\right)[/math]

MODULO:

[math]\left| G(j\omega) \right| = \frac{\omega R C}{\sqrt{1 + \left( \omega R_1 C \right)^2}}[/math]

in

[math]dB[/math]
si ha:

[math]\left| G(j\omega) \right|_{dB} = 20 \log \left( \omega R C \right) - 20 \log \left( \sqrt{1 + \left( \omega R_1 C \right)^2} \right)[/math]

FASE:

[math]\varphi=-180^\circ+90^\circ-arctan\left(\omega R_1C\right)[/math]

Alla frequenza di taglio

[math]f_i[/math]
il modulo dell'amplificatore si riduce di
[math]\sqrt{2}[/math]
per cui, deve essere:
[math]\omega_i R_1 C=1[/math]
ma essendo:
[math]\omega_i=2\pi f_i[/math]
quindi si ha:

[math]f_i=\frac{1}{2\pi R_1 C}[/math]

Alle alte frequenze, al limite per

[math]f[/math]
che tende all'infinito,comporta che il condensatore è uguale ad un cortocircuito e il circuito si comporta come da amplificatore invertente con guadagno in banda piatta pari ha:
[math]\left|G\left(\omega\right)\right|=\frac{R}{R_1}[/math]
e ha uno sfasamento di
[math]-180^\circ[/math]
tra l'uscita e l'ingresso.
Nel grafico sottostante è riportata la risposta in frequenza del derivatore reale.

grafico-derivatore
derivatore-reale
Studia con la mappa concettuale

Domande da interrogazione

  1. Qual è la funzione di trasferimento del filtro attivo "passa-alto" noto come Derivatore Reale?

    2. La funzione di trasferimento del Derivatore Reale è data da \( G(s) = -\frac{sRC}{1+sR_1C} \), dove \( R \) è la resistenza, \( R_1 \) è il resistore in serie e \( C \) è il condensatore.

  2. Come si determina la frequenza di taglio del filtro attivo?

    3. La frequenza di taglio \( f_i \) si determina con la formula \( f_i = \frac{1}{2\pi R_1 C} \), dove \( R_1 \) è il resistore in serie e \( C \) è il condensatore.

  3. Qual è il comportamento del circuito alle alte frequenze?

    4. Alle alte frequenze, il condensatore si comporta come un cortocircuito, e il circuito agisce come un amplificatore invertente con guadagno in banda piatta pari a \( \left|G(\omega)\right| = \frac{R}{R_1} \) e uno sfasamento di \(-180^\circ\) tra l'uscita e l'ingresso.

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