Statistica I

Introduzione: che cos'è la statistica?

Il termine statistica indica un insieme di dati relativi a uno o più fenomeni; sono una statistica quindi i pesi, gli incassi, eccetera. Il termine statistica indica anche la disciplina che predispone i metodi per la raccolta e l'elaborazione delle informazioni utili per esaminare i fenomeni della natura e le caratteristiche di una determinata popolazione. Importante è sottolineare che nell'insieme delle unità statistiche, con il termine popolazione, si intende che si ha intenzione di analizzare e studiare. Il significato del termine è quindi più ampio in statistica, in quanto le unità statistiche possono essere di varia natura (possono essere alberghi, se si vuole studiare la struttura alberghiera, università, se si vuole analizzare la struttura universitaria, e così via).

I metodi che propone la statistica per l'esame dei fenomeni della natura sono ampiamente diffusi sia nelle ricerche delle scienze empiriche che nell'analisi di fenomeni fatte con finalità operative.

Le due branche della statistica

La statistica come disciplina si divide in due grandi branche:

Statistica descrittiva

Si occupa di descrivere, con opportuni metodi, le caratteristiche più salienti dei fenomeni oggetto di indagine rilevabili sulle singole unità statistiche. Le descrizioni sono, quindi, processi di sintesi effettuati su dati ricavabili dalle unità statistiche a disposizione dell'intera popolazione. Queste sintesi si effettuano per ottenere grandezze più maneggevoli della totalità dei dati. Di solito, le sintesi che si effettuano sui dati parziali (su un campione) non coincidono con la sintesi ottenibile dai dati di tutta la popolazione ma, se il campione è formato in maniera opportuna, è possibile estendere le informazioni ricavabili dal campione a tutta la popolazione di interesse.

Statistica inferenziale, o induttiva

Ha il compito di predisporre i metodi che permettono di estendere le sintesi campionarie a tutta la popolazione di interesse, e quindi di dedurre le caratteristiche della popolazione analizzando solo un campione di unità statistiche. Questa branca della statistica impiega concetti legati al calcolo delle probabilità e insegna a determinare la numerosità del campione, a scegliere le unità della popolazione che devono far parte del campione, a valutare il grado di attendibilità delle estensioni delle sintesi, eccetera.

Statistica descrittiva

La descrizione attraverso la formazione dei dati statistici

La descrizione, che è l'obiettivo della statistica descrittiva, avviene attraverso due fasi:

• Formazione dei dati statistici (la fase più vicina alla raccolta del dato): è la fase che consiste nella raccolta dei dati di fatto (reali) che verranno successivamente elaborati. Questa macrofase è formata da varie sottofasi. Prima di tutto è però fondamentale per raccogliere i dati di fatto, individuare la popolazione di interesse, ovvero le unità statistiche che la compongono. In generale, la formazione dei dati statistici passa attraverso quattro momenti principali:

A. Formazione dei casi statistici

Dopo aver precisato la popolazione di interesse bisogna determinare i fenomeni da rilevare sulle unità statistiche utili all’indagine ed astrarre gli altri. Nel selezionare i fenomeni, anche noti come caratteri, bisogna tenere presente che ogni carattere non interessante per la ricerca che viene preso in considerazione può appesantire inutilmente la ricerca. Dopo aver individuato i caratteri, bisogna prevedere le modalità secondo le quali gli stessi caratteri possono esprimersi, presentarsi, ovvero le cosiddette modalità del carattere. I casi statistici non si identificano con le unità statistiche che costituiscono la popolazione di interesse, bensì con i caratteri scelti e con le modalità degli stessi. Questo permette di aggregare le unità che hanno gli stessi caratteri.

Ad esempio, supponiamo che la popolazione di interesse sia costituita dalle matricole iscritte in un dato anno al corso di laurea in economia e commercio presso l'università Milano-Bicocca. Supponiamo che il numero delle matricole sia N=407. In questo caso l'unità statistica è la matricola. Per ciascuna matricola si possono considerare tantissimi fenomeni, quali: il sesso, la regione di nascita, l'età, l'altezza, il peso, le scuole superiori, eccetera. Se aggreghiamo le unità aventi le stesse modalità di carattere è possibile considerare le matricole dello stesso sesso uguali e quindi sommarle ed ottenere, ad esempio, 211 maschi e 196 femmine.

Nell’individuare la lista delle modalità di un carattere, bisogna fare in modo che:

• Le modalità siano tra di loro incompatibili: quindi, prese due qualsiasi modalità, l’una deve escludere l’altra, di modo che sarà possibile assegnare inequivocabilmente una sola modalità ad ogni unità statistica della popolazione.
• La lista delle modalità sia esaustiva: ad ogni unità del gruppo di rilevazione si deve poter attribuire una modalità.

Anche se per lo stesso carattere è possibile prevedere differenti liste è necessario che ciascuna di esse soddisfi le due proprietà. La predisposizione della lista delle modalità di un carattere non sempre è immediata, molto dipende dalla tipologia dei caratteri.

Classificazione dei caratteri

Nella tradizione statistica italiana i caratteri si classificano in due categorie:

• Caratteri quantitativi: le modalità di questa tipologia di carattere sono espresse con numeri che indicano il risultato di una misurazione o il risultato di un conteggio. Sono esempi di caratteri quantitativi il numero di figli per famiglia, il peso delle matricole, il reddito delle famiglie. I caratteri quantitativi si dividono in caratteri quantitativi discreti e caratteri quantitativi continui.
  • I caratteri quantitativi discreti sono caratterizzati dal fatto che le modalità assumono un numero finito di valori e perlopiù le cui modalità si ottengono con un conteggio: X = 0, 1, 2, ..., k dove k è un numero intero positivo.
  • Per i caratteri quantitativi continui, le modalità assumibili sono ipoteticamente tutti i numeri compresi in un intervallo (a, b) con b > a. Nella pratica, però, i valori si ottengono con uno strumento di misura e le stesse vengono rilevate con la precisione degli strumenti. I valori compresi nell'intervallo devono essere numeri reali, che sono potenzialmente infiniti.
• Caratteri qualitativi: le modalità dei caratteri qualitativi indicano categorie, attributi, eccetera. Sono espresse in generale da vocaboli (sostantivi), da espressioni verbali, eccetera. Ad esempio, il sesso, la scuola superiore, il luogo di nascita.

Le scale di misurazione (o scale di rilevazione di un carattere)

La specificazione delle modalità nelle quali un carattere si può manifestare può presentare alcune difficoltà. Quando uno studioso fissa la lista delle modalità di un carattere ed indica i criteri di appartenenza alle stesse, costruisce una scala di misurazione del carattere. Una scala impiegata per fissare le modalità di un carattere non è parte del carattere; quindi, per uno stesso carattere si possono individuare più scale.

• Le scale di misura si dividono come segue:

Le quattro scale differiscono per le relazioni logico-matematiche istituibili fra le modalità di un carattere.

Tipi di scale

• Scale nominali: si ha quando fra le modalità del carattere non è possibile istituire nessun ordinamento. Le modalità sono sconnesse, in quanto non è possibile affermare se una precede l'altra, ma solo affermare se due unità statistiche della popolazione possiedono la stessa modalità oppure no. Non si possono ordinare in modo crescente o decrescente. Le modalità si possono scrivere in un ordine qualsiasi; se sono tante, si preferisce scriverle in ordine alfabetico per facilitarne la ricerca. Ad esempio, il colore degli occhi, la provenienza, la religione, ecc.
• Scale ordinali: le modalità hanno un ordine naturale e quindi fra di loro si può istituire la relazione di maggiore o minore mettendole in ordine crescente o decrescente. Oltre ad affermare se due unità della popolazione possiedono la stessa modalità o meno, è anche possibile affermare, in caso di modalità differenti, quale precede l'altra. Nelle scale ordinali, anche quando le modalità sono espresse da numeri, non è possibile effettuare su di essi le operazioni di addizione, sottrazione, divisione e moltiplicazione, ma è possibile impiegare solo le relazioni maggiore di e minore di.
• Scale di intervalli: le modalità dei caratteri quantitativi sono espresse con numeri che indicano il risultato di una misurazione o di un conteggio. Le scale di intervalli adottano uno zero convenzionale che non significa assenza del fenomeno. Prese due modalità posso dire se sono uguali o diverse, maggiori o minori e, inoltre, posso fare la somma o la differenza.
• Scale di rapporti: hanno uno zero assoluto che indica assenza del fenomeno. Posso dire se due modalità sono uguali o diverse, se sono maggiori o minori, posso fare la somma, la differenza, la divisione e la moltiplicazione.

Gerarchie fra scale

I quattro tipi di scala formano una gerarchia nel senso che:

• Una scala ordinale possiede le caratteristiche di quella nominale, in più può ordinare le modalità.
• Una scala di intervalli possiede le caratteristiche di una scala ordinale, in più può effettuare la differenza tra due modalità.
• Una scala di rapporti possiede le caratteristiche di una scala di intervalli, inoltre può effettuare il rapporto fra due modalità.

B. Rilevazione dei casi statistici

La rilevazione dei casi statistici consiste nel rilevare ed annotare, per ciascuna unità statistica, la modalità presente per ciascun carattere considerato; è un'operazione pratica che si effettua in stretto collegamento con i tecnici esperti del particolare settore di indagine. La rilevazione può riguardare l'osservazione di fatti esistenti, ovvero la misurazione di fatti provocati sperimentalmente in laboratorio, o comunque programmati sperimentalmente dai ricercatori.

Per le scienze sociali, la rilevazione viene spesso effettuata somministrando alle persone un questionario, ognuno dei quali riporta una serie di domande per le quali sono previste differenti tipi di risposte. La rilevazione si definisce totale se vengono rilevate tutte le unità della popolazione di interesse; si dice parziale, o campionaria, se viene rilevata solo una parte di tutta la popolazione d’interesse.

Se i caratteri da rilevare sono pochi e la popolazione è limitata, l'annotazione dei casi rilevati avviene, nell'ordine in cui si presentano, in prospetti o registri. Se i caratteri sono molto numerosi, i casi vengono generalmente rilevati su moduli (schede); in questo caso, una scheda serve per rilevare le modalità di una sola unità statistica.

Ad esempio, la rilevazione tramite la somministrazione di questionari è una rilevazione per schede. Con l'avvento dei calcolatori, i casi rilevati vengono immagazzinati su supporti in grado di conservare dati, con uno schema detto matrice dei dati. La matrice dei dati associa, in un ordine predeterminato, ad ogni unità statistica le modalità rilevate per ciascun carattere. In questo modo, ciascuna riga della matrice dei dati è riservata ad un'unità statistica mentre ciascuna colonna viene associata ad un carattere.

C. Lo spoglio dei casi rilevati (o classificazione vera e propria)

I casi statistici rilevati e riportati nella matrice dei dati non sono idonei per dare una visione d'insieme dell'importanza relativa delle singole modalità di un carattere o delle coppie di modalità di due caratteri o delle triplette di modalità. Per raggiungere questo obiettivo bisogna riunire i casi simili attraverso lo spoglio dei casi rilevati. Lo spoglio dovrebbe svolgersi dopo la rilevazione anche se spesso le due operazioni si svolgono contemporaneamente, specie se la popolazione non è numerosa.

Spoglio di un solo carattere qualitativo

Ad esempio:

In un'aula universitaria ad una lezione sono presenti 48 studenti. Il docente vuole conoscere il grado di omogeneità dei suoi studenti per quanto riguarda il carattere "tipo di maturità". A tal fine predispone un prospetto di spoglio nel quale nella prima colonna indica la modalità (liceo classico, liceo scientifico, ecc).

Il docente chiede ad ogni studente il tipo di maturità e registra ciascun caso con un puntino nella seconda colonna, in corrispondenza del tipo di maturità rilevata. Terminata l'annotazione dei casi di tutta la popolazione, si sommano per ogni riga i casi registrati e si scrivono nella terza colonna le cifre trovate. Queste cifre sono i dati statistici denominate frequenze. La somma delle frequenze è uguale al numero complessivo delle unità osservate e tale somma è nota come totale della popolazione, o totale del campione.

È possibile analizzare due caratteri separatamente nel caso in cui si ritenga che tra i due non vi sia relazione.

D. La preparazione dei dati e delle tabelle statistiche

Eseguito lo spoglio si preferisce riportare i dati statistici in tabelle. Le tabelle statistiche sono prospetti analoghi a quelli predisposti per lo spoglio. Le tabelle devono essere redatte in modo che il lettore possa comprendere il significato dei dati riportati senza dover ricorrere ad altre letture. È pertanto essenziale che la tabella abbia una intestazione che indichi la popolazione (il campione) di riferimento ed il carattere (o i caratteri) esaminato.

Dal prospetto dello spoglio congiunto di due caratteri si ricava una tabella a doppia entrata. Il caso più semplice della tabella a doppia entrata si ha se per entrambi i caratteri vi sono due modalità. Queste tabelle 2 x 2 danno luogo a 4 caselle per questo sono dette anche tabelle tetracoriche.

Tipologie di tabelle statistiche

• Distribuzione di unità: fissato un carattere, la distribuzione di unità è l'elenco di tutti i valori e le modalità del carattere che sono state osservate su tutte le unità statistiche facenti parte della popolazione di riferimento.
  • N = numero di unità statistiche nella popolazione
• Distribuzione di frequenze: per distribuzione di frequenza si intende la successione delle modalità di un carattere e delle corrispettive frequenze riscontrate in una popolazione. Il termine distribuzione fa riferimento al fatto che la tabella specifica come il totale della popolazione è ripartito fra le modalità del carattere.
  • K = numero di differenti modalità che può assumere il carattere nella popolazione di N individui.

La distribuzione di frequenza di un carattere qualitativo è detta mutabile statistica e può essere indicata con il seguente insieme delle coppie (a_j, n_j), dove s è il numero delle modalità, a_j la generica modalità e n_j la frequenza di a_j. La distribuzione di frequenza di un carattere quantitativo è detta variabile statistica.

Nel caso di un carattere quantitativo discreto X la variabile statistica può essere indicata come (x_j, n_j), j=1, 2, ... , s.

Distribuzione di frequenze con modalità raggruppate in classi

Se il carattere quantitativo è di tipo continuo, i dati, se numerosi, vengono raggruppati in classi. In questo caso bisogna formare la lista delle classi, le quali diventano le modalità del carattere. La lista delle classi deve essere esaustiva e le classi devono essere tra di loro incompatibili. Come si nota nella tabella, il limite superiore di una classe coincide con il limite inferiore della classe successiva. Ciò comporterebbe un'ambiguità di classificazione se non si precisasse dove includere un valore esattamente uguale agli estremi delle classi. È necessario decidere e specificare se includere il limite superiore ed escludere quello inferiore, o viceversa. In questo caso si è scelto di includere i valori uguali all'estremo superiore ed escludere quelli all'estremo inferiore.

Caso: i caratteri quantitativi continui

Nel caso dei caratteri quantitativi continui, si definisce ampiezza di una classe la lunghezza dell'intervallo della classe, ovvero l'estremo superiore – l'estremo inferiore.

• Ampiezza = estremo superiore – estremo inferiore

Se l'ultima classe ha l'estremo superiore non precisato, si dice che è aperta superiormente. Se non è indicato l'estremo inferiore, si dice che la classe è aperta inferiormente.

Caso: i caratteri quantitativi discreti

Nel caso dei caratteri quantitativi discreti, per ampiezza di una classe si intende il numero delle modalità della stessa. Nel caso di una variabile che assume valori pari a numeri interi, si ha:

• Ampiezza = estremo superiore – estremo inferiore + 1

Il numero delle classi e l'ampiezza delle stesse dipendono da tanti fattori. Fra questi, molto importante è il numero totale delle osservazioni; all'aumentare dell'ampiezza totale della popolazione si può aumentare il numero delle classi e quindi si può ridurre l'ampiezza delle stesse. Nel predisporre le classi bisogna sempre tener presente che aumentando l'ampiezza delle classi si perdono informazioni, viceversa con ampiezza piccole si corre il rischio di avere poche osservazioni in alcune classi.

Distribuzioni di quantità

In alcuni casi, può essere utile ripartire fra le modalità di un carattere non la frequenza ma altre misure di interesse.