Statistica 1

Appunti statistica I

Lezione 1

Statistica = insieme di dati riferite ad uno o più fenomeni (linguaggio comune); come disciplina ha lo scopo di analizzare e studiare i fenomeni che riguardano l’uomo, la sua attività e la natura che ci circonda, fenomeni che hanno la peculiarità di variare e presentarsi in modo diverso.

Il termine statistica deriva dalla parola “stato”. Intorno al 1600, in Germania e Italia, si iniziò a comprendere che era necessario raccogliere informazioni riguardanti uno Stato. La raccolta avveniva tramite tabelle e la messa in comune delle informazioni tra loro simili (es. fenomeni demografici). Questo metodo viene col tempo applicato anche ad altri contesti della vita dell’uomo.

Una svolta della statistica vi è stata con l’introduzione del calcolo della probabilità, che sfrutta il fatto che il fenomeno può essere replicato e la ricerca di un metodo per governare il fenomeno stesso. Il calcolo delle probabilità inizia a dar luogo alla possibilità di utilizzare metodi statistici per rappresentare fenomeni che riguardavano sia lo stato ma anche fatti generali replicabili. Obiettivo era quello di estendere informazioni di piccoli gruppi a contesti più ampi.

Applicazioni della statistica

La statistica si può applicare:

• Scienze sperimentali (fisica, biologia): Scienze che studiano e descrivono l’uomo (es. economia, demografia, ..). Obiettivo delle scienze è proporre delle leggi che devono essere validate/confermate da prove. La statistica interviene nella ricerca scientifica in particolare nella fase di raccolta di informazioni realizzata per comprendere se la realtà è coerente con la legge ipotetica; e inoltre nella prima fase di osservazione della stessa realtà.
• Mondo operativo (le varie attività dell’uomo): Obiettivo è analizzare i fatti, tramite dati, per prendere decisioni relative alle diverse attività dell’uomo (es. controllo qualità, ..).

Partizioni dei metodi statistici

Concetti:

Popolazione statistica = insieme di entità (chiamate unità statistiche) che si intende analizzare. Potrebbe essere popolazione finita o infinita. (es. l’università vuole fare uno studio sugli studenti di un determinato corso, le unità statistiche saranno gli studenti che costituiscono una popolazione finita; es. processo produttivo di una macchina, le unità statistiche sono i prodotti e la popolazione è infinita perché non sappiamo il termine del processo produttivo)

Campione statistico = sottogruppo di unità statistiche della popolazione su cui viene effettuata l’analisi (analisi solo sul sottogruppo, quindi più specifica).

La statistica si divide in due categorie:

1. Statistica descrittiva = si occupa di proporre un insieme di metodi con l’obiettivo di sintetizzare, con adeguate grandezze, aspetti dei fenomeni che sono stati osservati su tutta la popolazione statistica (quella che facciamo). Si distingue in:
   • Univariata = metodi utilizzati per descrivere un solo fenomeno.
   • Plurivariata = metodi utilizzati per descrivere due o più fenomeni con lo scopo di evidenziare le relazioni tra essi.
2. Statistica induttiva- inferenziale = si parte dall’osservazione di fenomeni su un campione statistico con l’obiettivo di proporre metodi che consentano di estendere l’informazione raccolta a tutta la popolazione statistica, precisando i limiti. Per eseguire l’estensione è necessario un campione statistico casuale e bisogna utilizzare il calcolo delle probabilità per precisare i limiti dell’estensione.

Lezione 2-3

La descrizione dei fenomeni

La descrizione dei fenomeni avviene in due fasi:

Formazione dei dati statistici

1. Raccogliere i dati che riguardano il fenomeno oggetto. Per prima cosa bisogna definire la popolazione statistica di riferimento, ovvero tutte le unità statistiche che compongono la popolazione. La formazione poi si suddivide in 4 passaggi:

• Formazione dei casi statistici = selezionare quali caratteristiche e aspetti sono rilevanti per il fenomeno che bisogna analizzare; essi prendono il nome di “caratteri”. Per ogni carattere, poi, si prevedono tutti i modi in cui esso si può manifestare (modalità del carattere) e si redige una lista con due requisiti:
  1. Le modalità devono essere incompatibili e disgiunte -> non ci possono essere modalità tra di loro ambigue (es. non ci può essere lecco provincia e provincia di lecco).
  2. Deve essere una lista esaustiva e completa -> tutte le modalità del carattere devono essere presenti.
  I caratteri si distinguono in caratteri qualitativi e quantitativi. I caratteri qualitativi si manifestano attraverso parole, vocali, aggettivi; mentre i caratteri quantitativi si manifestano attraverso i numeri e si distinguono in:
  • Discreti -> caratteri le cui modalità sono numeri ottenuti attraverso un conteggio (es. numero dei figli).
  • Continui -> caratteri le cui modalità sono numeri ottenuti attraverso una misurazione, i numeri che il carattere assume sono contenuti in intervalli di valori (a;b) (es. peso).
  Fissando la lista delle modalità, si indicano i criteri di appartenenza costituendo una scala di misurazione. Esistono vari tipi di scala di misurazione, che differiscono per le relazioni che si possono creare tra le modalità:
  • Scala Nominale = caratteri qualitativi; non esiste alcun ordinamento tra le modalità; avendo due unità statistiche esse potranno essere uguali o diverse per la modalità di quel carattere (es. genere; stato civile).
  • Scala ordinale = caratteri qualitativi; le modalità hanno un ordine naturale; due unità statistiche possono essere uguali o diverse, se differenti possiamo dire se una precede o segue l’altra (es. grado di soddisfazione).
  • Scala di intervalli = caratteri quantitativi; scale riferite a numeri con uno zero convenzionale, ovvero esso non indica l’assenza del fenomeno; due unità statistiche possono essere uguali o diverse, se diverse possiamo dire se uno precede o segue l’altro definendo la differenza quantitativamente (attraverso la differenza delle entità: a2-a1) e interpretarla.
  • Scala di rapporti = caratteri quantitativi; scala riferita a numeri con uno zero assoluto, ovvero il fenomeno è assente; due unità statistiche possono essere uguali o diverse, se diverse possiamo dire se una precede o segue l’altra definendo la differenza e il rapporto algebrico e interpretarli.
• Rilevazione dei casi statistici = registrazione delle modalità con le quali ogni carattere si manifesta su ciascuna unità statistica. Per fare ciò utilizzo dei prospetti, questionari, matrice dei dati che compongono la (insieme ordinato delle informazioni raccolte).
• Spoglio dei casi-classificazione = riunire le unità statistiche che presentano le stesse modalità del carattere preso in considerazione o di due caratteri considerati contemporaneamente.
• Preparazione dei dati e tabelle statistiche = riassumere le informazioni conseguite con lo spoglio in adeguate tabelle, comprese di titolo chiaro e completo. Le tabelle riferite alla rilevazione simultanea di due caratteri prendono il nome di tabelle a doppia entrata.

Tipologie di tabelle

Distribuzione di frequenza:

• Per frequenza intendiamo il numero di casi statistici corrispondenti ad ogni modalità del carattere considerato. La distribuzione di frequenza è una successione/lista di modalità di un carattere con le corrispondenti frequenze rilevate nella popolazione statistica. Significa presentare una prima sintesi dei dati ottenuta dalla matrice dei dati.

Un carattere qualitativo sarà indicato con le lettere prime dell’alfabeto maiuscole (es. carattere A) e mutabile statistica; mentre un carattere quantitativo sarà indicato con le ultime lettere dell’alfabeto maiuscole (es. carattere X) e prende il nome di variabile statistica.

Distribuzione di frequenza è insieme formato dalle coppie ordinate (modalità; frequenza), questa tipologia di rappresentazione viene utilizzata solo in linea teorica (in pratica si utilizzano le tabelle). Es. carattere A di cui s è il numero di modalità incompatibili ed esaustive del carattere A {(; = 1; 2; … ; )}

Carattere X s è il numero di valori distinti assunti dal carattere quantitativo X {(; = 1,2, … , )}

Quando una classe di modalità presenta ambiguità (come nella tabella 140-145 e 145-150), allora vengono poste delle convenzioni, che includono/escludono uno dei due estremi; scelta una convenzione essa è mantenuta per tutte le classi.

• = incluso estremo inferiore e escluso estremo superiore
• ⊣ = escluso estremo inferiore ed incluso estremo superiore ⊤

Qualunque sia la convenzione, l’ampiezza di una classe di modalità di un carattere continuo si trova facendo la differenza tra i due estremi. Se uno dei due estremi è “aperto” (es. e più, e meno), l’ampiezza della classe si calcola grazie ad informazioni aggiuntive oppure si chiudono le classi in modo che l’ampiezza di quella classe è pari al doppio dell’ampiezza della classe contigua.

Per i caratteri discreti, invece, se si procede al raggruppamento in classi delle modalità, l’estremo superiore di una classe sarà diverso dall’estremo inferiore della classe successiva, quindi l’ampiezza si troverà facendo: (superiore - inferiore) + 1.

Distribuzione di quantità:

• L’attenzione è sull’ammontare totale di una certa quantità oggetto di interesse. Si analizza come l’ammontare si distribuisce tra le diverse classi che rappresentano un altro carattere.

Serie storica:

• Successione di intensità o di frequenze di un fenomeno, facendo riferimento a modalità temporali (es. censimento popolazione).

Serie territoriale:

• Successione di intensità o di frequenze di un fenomeno, facendo riferimento a modalità che esprimono suddivisioni territoriali.

Trattamento matematico-statistico dei dati

2. Indispensabile per capire se le ipotesi formulate nella ricerca scientifica sono vere o meno. Serve per fornire informazioni utili alle attività umane. Le tabelle statistiche, costruite con la formazione dei dati statistici, sono il mezzo indispensabile per analizzare il fenomeno oggetto dell’analisi. Esse contengono molte informazioni, quindi bisogna procedere ad una sintesi.

Lezione 4

Confronto tra dati

Per utilizzare la statistica descrittiva, spesso è necessario effettuare dei confronti tra dati. Non sempre i dati disponibili sono immediatamente confrontabili.

Per eseguire i confronti si utilizzano due criteri:

• Confronto tra grandezze omogenee -> per grandezze omogenee si intendono due intensità/frequenze di uno stesso fenomeno. Si possono confrontare se sono collegate dalla variazioni sistematica di una sola circostanza. (es. produzione olio in Italia nel 1980 e produzione olio in Italia nel 1990: cambia una sola variabile cioè il tempo)
• Confronto tra grandezze eterogenee -> sono intensità o frequenze riferite a fenomeni diversi. Il confronto può essere eseguito se nessun'altra circostanza varia sistematicamente e se sono riconducibili ad un unico genere oppure sono nel rapporto di genere a specie. (es. produzione in Italia di frumento nel 1995; produzione in Italia di cereali nel 1995: sono fenomeni diversi ma confrontabili)

Però abbiamo detto, che non sempre i dati sono immediatamente confrontabili. Allora bisogna trovare procedimenti che consentano di effettuare i confronti tra dati che differiscono per più di una circostanza. Per fare ciò utilizziamo i rapporti statistici.

Rapporti statistici

Rapporto statistico = quoziente tra due quantità di cui almeno una di essa ha natura statistica. Vengono calcolati per eliminare l’impossibilità di confrontare due dati.

Il risultato ottenuto dal rapporto può essere interpretato come “quanta parte del numeratore spetta idealmente a ciascuna unità della grandezza del denominatore del rapporto” (es. abbiamo provincia di Milano e provincia di Trento, e vogliamo rilevare il numero di abitanti al tempo t. Non sono dati confrontabili immediatamente, perché l’estensione territoriale è diversa. Dovremo fare un rapporto statistico, dividendo il numero abitanti della provincia per la superficie in kmq. Il numero di abitanti è il dato statistico).

Tipologie di rapporti statistici

• Composizione -> rapporto fra una intensità/frequenza parziale e l’intensità/frequenza totale. Utilizzati per realizzare confronti fra grandezze parziali riferite a grandezze totali di consistenza diverse. Questi rapporti non hanno unità di misura, perché sono numeri puri. Ciascun rapporto di composizione corrisponde ad una frequenza relativa.
• Densità -> si rapporta un dato statistico (riferito al fenomeno) ad una dimensione del campo di osservazione del fenomeno. Questi rapporti servono per eliminare un elemento di disturbo per il diretto confronto. Essi hanno un'unità di misura (es. densità della popolazione = abitanti per kmq). Quando divido una frequenza assoluta, associata ad una classe di modalità di carattere quantitativo, per l’ampiezza della classe, trovo un rapporto di densità che prende il nome di frequenza specifica (questo consente di confrontare frequenze di classi di modalità con ampiezze diverse).
• Derivazione -> rapporto tra una frequenza/intensità di un fenomeno e la frequenza/intensità di un altro fenomeno che si ritiene essere la causa o presupposto del dato statistico posto al numeratore (es. la popolazione può essere il presupposto di molti fenomeni legati all’attività umana).
• Coesistenza -> rapporto fra due intensità/frequenze riferite ad aspetti diversi di uno stesso fenomeno, che siamo tra loro antitetici ma coesistono. Questi rapporti servono per evidenziare se vi è equilibrio tra i due dati:
  • Se il risultato è vicino ad 1 -> i dati sono in equilibrio.
  • Risultato < 1 -> squilibrio a vantaggio del denominatore.
  • Risultato > 1 -> squilibrio a vantaggio del numeratore.

Lezione 5

Numeri indici o rapporti indici

Sia dato un carattere X quantitativo rilevato in relazione a circostanze temporali oppure spaziali (quindi riguarda serie storiche o serie territoriali), vogliamo mettere in evidenza le variazioni del carattere X in base al tempo/spazio. I numeri indici o rapporti indici vengono utilizzati per facilitare la comprensione delle variazioni.

Sia dato un carattere X rilevato nel corso del tempo, avremo:

• x₁ che corrisponde al carattere X osservato al tempo t₁
• x₂ che corrisponde al carattere X osservato al tempo t₂
• …
• x_s che corrisponde al carattere X osservato al tempo t_s
• x_j che corrisponde al carattere X osservato al tempo t_j

Variazione assoluta

Si definisce variazione assoluta del carattere X dal tempo t_s al tempo t_j (con t_s ≤ t_j) la differenza: X_j - X_s. La variazione sarà espressa con la stessa unità di misura di X.

Variazione relativa

Si definisce variazione relativa del carattere X dal tempo t_s al tempo t_j, il rapporto: X_j / X_s. Le variazioni relative sono prive di unità di misura, quindi sono numeri puri. Le variazioni relative vengono calcolate solo per caratteri che possono assumere valori positivi. La variazione relativa è strettamente collegata ai numeri indici, infatti può essere riscritta come: (X_j / X_s) - 1.

Il rapporto x_j/x_s si definisce numero indice o rapporto indice.

Il numero indice è il rapporto tra l’intensità del carattere quantitativo X rilevato al t_j, e l’intensità del medesimo carattere rilevato al tempo t_s (con t_s < t_j). Il rapporto viene indicato: x_j/x_s. I numeri indici più utilizzati sono a base fissa o a base mobile. Per base si intende il valore posto al denominatore del numero indice.

• Base fissa = si esegue il rapporto fra due dati statistici, dove quello posto al denominatore è sempre lo stesso, mentre quello posto al numeratore varia nel tempo (es. x₂/x₁; x₃/x₁; x_s/x₁;..). Spesso per agevolare l’interpretazione dei rapporti si moltiplica per 100 il valore ottenuto calcolando la variazione negativa. I numeri indici a base fissa mettono in evidenza l’evoluzione del carattere nel corso del tempo rispetto ad un periodo base. (Il periodo base non deve necessariamente essere il primo/ultimo dato della serie storica, ma posso sceglierlo).
• Base mobile = si esegue il rapporto tra due dati statistici riferiti a due istanti temporali consecutivi; al numeratore avremo il tempo più recente (t_j), mentre al denominatore quello immediatamente precedente (t_j - 1) (es. x₂/x₁; x₃/x₂;..). I numeri indici a base mobile mettono in evidenza le variazioni del carattere fra istanti temporali consecutivi.