Laboratorio di Fisica 2

Ponte di Wheatstone

La resistenza elettrica di un conduttore può essere determinata in base alla legge di Ohm determinando la corrente elettrica in funzione della differenza di potenziale ai capi del conduttore. Questo tipo di misura è influenzata dalla corrente che viene assorbita dal voltmetro (in parallelo) e dall’amperometro (in serie) usati per misurare V e I, e dalla resistenza della batteria. Quando non conosciamo queste resistenze o quando la resistenza da misurare è molto piccola, non è possibile utilizzare la legge di Ohm. È necessario misurare la resistenza incognita per confronto con resistori noti.

La batteria genera una ddp che fa circolare una corrente continua nel circuito. Il circuito presenta due nodi, da un lato R è in serie a R nota, dall’altro lato c’è una resistenza R in serie a R entrambe note. La corrente si divide e passa in entrambi i rami. Inseriamo l’amperometro tra R₀/R_x e tra R₁/R₂. Se le resistenze vengono scelte nel modo corretto, i due punti sono equipotenziali e non circola corrente nell’amperometro, e il ponte si dice bilanciato. L’amperometro non viene quindi utilizzato come strumento di misura ma come strumento di zero.

Bilanciamento del circuito

Quando il ponte è bilanciato, la corrente nell’amperometro è I = 0 A. Quindi, per la legge dei nodi, la corrente: I₀ = I₁, I_x = I₂. Per la legge delle maglie sulla maglia 1: ΔV_x = I_x · R_x = I₀ · R₀. Per la legge delle maglie sulla maglia 2: ΔV₁ = I₁ · R₁ = I₂ · R₂.

Dividendo le due uguaglianze delle maglie e sfruttando l'uguaglianza delle correnti data dalla legge dei nodi si ottiene: R_x/R₀ = R₁/R₂. Quindi è sufficiente conoscere il valore delle 3 resistenze note che abbiamo introdotto nel circuito per poter ricavare R_x, e la precisione di R_x deriva da quanto precisamente conosciamo le tre resistenze note. Quindi non abbiamo bisogno di conoscere le resistenze della batteria e dell’amperometro.

Misura di resistenza

R₀ è tipicamente una cassetta di resistenze, mentre R₁ + R₂ sono costituite da una resistenza a filo, con il contatto strisciante che divide il filo in due tratti di lunghezza l₁ e l₂ di resistenza R₁ e R₂. In questa configurazione, quando il ponte è bilanciato, ma essendo la sezione S costante e il materiale omogeneo, l’espressione diventa: R₀ / R₁ = l₂ / l₁. In questa configurazione possiamo misurare il valore di una resistenza conoscendo in modo accurato il valore di una sola resistenza (R₀) e facendo delle misure di lunghezza.

Per misurare R_x non è necessario conoscere ΔV, ma tanto è maggiore ΔV, tanto più elevata sarà la sensibilità del ponte perché se ΔV è alta, quando il ponte è sbilanciato passerà una corrente alta all’interno dell’amperometro, ed è più facilmente rilevabile dall’amperometro.

Esperienza: Misura di resistività di un conduttore filiforme

Parte 1

Ad R_x vengono sostituite delle porzioni di filo di stagno e ne misuriamo la resistenza in funzione della loro lunghezza. Essendo stagno per saldatura avrà una resistività bassa. Facciamo strisciare l’amperometro su l₁ + l₂ fino ad ottenere una corrente I = 0 A, e misuriamo le due lunghezze e poniamo il punto in grafico. Ripetiamo l’esperimento con diverse lunghezze di filo sempre più lunghe (aggiungendo sempre circa 50 cm). Il coefficiente angolare della retta corrisponderà alla resistività del materiale diviso la sezione (ρ/S).

Errori nella misura di resistività

La cassetta di resistenze non ha un errore, ha una tolleranza. Non entra nel calcolo degli errori. Misura di lunghezza di l₁ e l₂, l₁ + l₂ è fissa. Gli errori su l₁ e l₂ sono dipendenti tra loro, non vanno sommati in quadratura, mentre l’errore su R₀ va sommato in quadratura.

L’ultima fonte di errore è quella sulla sezione del filo, è un’area che misuriamo con un micrometro (precisione tipicamente 10 micron) quindi misurando il diametro. Facendo i minimi quadrati, l’errore su B deriva dall’aver propagato gli errori sigma x e sigma y sulle misure di R_x e l, che sono rispettivamente Y e X nei minimi quadrati. L’errore è sia su Y che su X, va utilizzato il metodo dell’errore equivalente, prima si interpola senza gli errori e si misura il B, convertire l’errore in X in un errore in Y come: σ_Y = σ_X · B e poi sommarli in quadratura.

Parte 2

Nella seconda parte ripetiamo la stessa procedura sperimentale utilizzando tratti di filo di lunghezza costante e sezione diversa (cambiando rocchetto), misurando la sezione con il micrometro e la lunghezza con il metro. La variabile indipendente in questo caso è 1/S, il coefficiente angolare della retta sarà ρ · L. La propagazione degli errori è analoga al caso precedente. La misura in funzione della sezione è meno accurata rispetto a quella della lunghezza.

Misura della carica dell’elettrone tramite cella elettrolitica

(e = 1.60 * 10^-19 C)

In una soluzione acquosa di solfato di rame inseriamo due elettrodi di rame collegati come in figura. Con questa esperienza possiamo misurare la carica elettronica tramite delle misure di massa, o in funzione della corrente che circola nel circuito o del tempo. In una cella elettrolitica è possibile trasformare l’energia elettrica fornita dalla batteria in energia chimica facendo avvenire delle reazioni che non avverrebbero senza alimentazione esterna.

Reazioni agli elettrodi

Nel momento in cui applichiamo una ddp, sugli elettrodi avvengono due semi reazioni di ossidoriduzione:

• All’anodo, che si ossida, Cu → Cu²⁺ + 2e^-; questi elettroni verranno compensati dall’ anione SO₄^2-. Gli ioni SO₄^2- cedono elettroni all’anodo, mentre gli ioni Cu²⁺ sono rilasciati in soluzione; quindi, l’anodo perderà massa.
• Al catodo, che si riduce, Cu²⁺ + 2e^- → Cu. Gli ioni Cu²⁺ si depositano sul catodo riducendosi a Cu⁰. Il catodo quindi acquisterà massa.

Queste due reazioni comportano uno scambio di elettroni dando luogo a una corrente elettrica all’interno del circuito, che verrà misurata con l’amperometro. Essendo allo stesso potenziale chimico, sono entrambi elettrodi di rame, se non alimentiamo con la batteria non abbiamo passaggio di elettroni. Se invece utilizzassimo due metalli differenti avremmo una cella galvanica che produce energia elettrica sfruttando la differenza di potenziale chimico (pila).

Lo scambio di elettroni è accompagnato dallo scambio di ioni Cu, ogni ione Cu²⁺ corrisponde al passaggio di 2e^-. Tramite misure di massa è possibile ricavare la quantità di carica che si è mossa all’interno del circuito, e conoscendo la corrente sarà possibile ricavare l’unità di carica dell’elettrone e.

Pa del Cu = 63.94 g/mol; N = 6.023 · 10²³ atomi/mole; m = massa depositata sul catodo. Il numero di ioni Cu trasportati è determinato dalla corrente generata nel circuito che leggiamo con l’amperometro.

Esperienza di misura

L’esperienza consiste, per la prima parte, nel misurare le masse di anodo e catodo con bilancia micrometrica. Inseriamo gli elettrodi in una soluzione di solfato di rame e colleghiamo la cella con un generatore di corrente e un amperometro come in figura. Alimentiamo la cella per intervalli di tempo crescenti con correnti fisse, dopo ogni intervallo di tempo pesiamo anodo e catodo dopo averli asciugati e calcoliamo la differenza di massa, che sarà negativa per l’anodo e positiva per il catodo. Il tempo è lineare con la differenza di massa.

Nella seconda parte ripetiamo la stessa misura mantenendo un tempo costante e andando a variare la corrente erogata dal generatore. La massa di rame depositata sul catodo sarà una polvere che può facilmente staccarsi e finire sul fondo, occorre filtrare la soluzione e pesare il deposito. La carta da filtro va precedentemente tarata. È possibile che si formino dei filamenti di rame metallico che vanno a cortocircuitare i due elettrodi, può succedere se la soluzione è troppo concentrata o se la corrente è troppo elevata.

Il grafico può essere in funzione della massa o in funzione del numero di ioni scambiati in funzione del tempo a corrente costante o della corrente a tempo costante. Usando le masse avremo una retta decrescente nel caso dell’anodo e crescente nel catodo. Le due rette avranno teoricamente lo stesso coefficiente angolare. Tramite il metodo dei minimi quadrati estrarremo la carica dell’elettrone.

A corrente costante: i · t = 2e · N → e = 1.603 · 10^-19

A tempo costante: i · t = 2e · N → e = 1.603 · 10^-19

Errori

Con il metodo dei minimi quadrati propaghiamo gli errori di corrente e di massa che derivano dagli strumenti (precisione su tempo (operatore) e corrente (precisione strumento)). Ottenuto il B con il metodo dei minimi quadrati (o errori equivalenti), propaghiamo l’errore su “e” sommando in quadratura gli errori del coefficiente angolare B e della corrente o del tempo. La misura è soddisfacente se il valore si discosta di ½ sigma rispetto al valore vero e se le due rette sono sovrapponibili. La misura sull’anodo è più precisa di quella sul catodo.

Caratterizzazione di una valvola termoionica (Triodo)

In un conduttore standard come un metallo, la corrente è lineare con il campo elettrico “E” e con la densità di carica “n”. In un filo percorso da corrente sotto l’effetto di un campo elettrico E, gli elettroni si muovono con una velocità di deriva. Se il filo è lungo L e la sezione del filo è S, nel tempo t tutti gli elettroni contenuti nel volume S · L transitano attraverso S. La carica netta q vale: n · e · S · L. Da queste relazioni possiamo ricavare la densità di corrente: J = n · e · v_d. È un componente attivo, applicando una fonte esterna di energia fornisce in uscita un segnale amplificato.

Una valvola termoionica è costituita da un tubo in vetro nel quale è stato tirato il vuoto. All’interno della valvola ci sono delle cariche in moto. Se ci fosse del gas, questo si ionizzerebbe e si opporrebbe al passaggio di carica. All’interno della valvola ci sono tre componenti: un catodo, un filamento in metallo che viene riscaldato dal passaggio di corrente tipicamente alternata ed emette elettroni per effetto termoionico; un anodo, che serve a raccogliere gli elettroni emessi dal catodo; e la griglia, una rete metallica che permette il passaggio di elettroni attraverso di sé ed è conduttiva, è posta molto vicina al catodo in modo tale che il campo elettrico tra il catodo e l’anodo sia molto più piccolo di quello tra il catodo e la griglia.

Questo permette di utilizzare una ddp tra catodo e griglia piccola per controllare la corrente anodo-catodo, perché il campo elettrico che si genera tra catodo e griglia è molto grande essendo questi due componenti vicini tra loro. Per effetto termoionico, il catodo emette elettroni, che raggiungendo l’anodo danno luogo a una densità di corrente: J = e · n · v_d. A griglia spenta (è come se non ci fosse), gli elettroni emessi viaggiano verso l’anodo e la corrente A/C dipende solo dalla loro ddp che chiamiamo ΔV_AC.

Indipendentemente dalla presenza della griglia (diodi), questo dispositivo si comporta come una resistenza, dipendente dalla conduttività della zona tra catodo e anodo, ovvero avviene passaggio di corrente solo se l’anodo ha un potenziale più positivo rispetto al catodo. Se è polarizzato al contrario, il catodo emetterà comunque elettroni ma saranno respinti dall’anodo e non avremo passaggio di corrente. Quindi permette il passaggio di corrente solo in un verso. I diodi non hanno una risposta sempre ohmica, ovvero la risposta non è sempre lineare con la ddp applicata ai suoi capi. La risposta ha la forma a “S” in figura.

Nella condizione A, quando la ΔV_AC è nulla o molto piccola, il catodo emette elettroni per effetto termoionico in tutte le direzioni, ma non esiste campo elettrico, molti pochi elettroni sono raccolti dall’anodo e non c’è una driving force che li porti all’anodo. Di conseguenza, finché la ddp A/C non è sufficientemente grande, la corrente sarà molto più piccola di quella emessa in regime ohmico.

Nel punto B, la corrente inizia a salire ma è ancora sublineare, perché da un lato non riusciamo ancora a raccogliere tutti gli elettroni emessi dal catodo e dall’altro la ddp è molto piccola perché la tensione è molto piccola, si viene quindi a creare una nuvola di carica negativa tra catodo e anodo vicina al catodo. Questa carica negativa si frappone al moto di carica, sempre negativa, che dal catodo va verso l’anodo per effetto di repulsione coulombiana. È una regione di carica spaziale che si oppone e rallenta il moto degli elettroni, quindi la ddp è inferiore a quella nominale, quindi la corrente non ha ancora un comportamento lineare.

Se arriviamo ad avere una ddp A/C sufficiente, questa regione di carica spaziale non si forma più perché si riesce a drenare efficacemente carica all’anodo, non c’è più nulla che si frappone al moto delle cariche e quindi J = e · n · v_d, e ora dipende dalla tensione applicata. Quindi, la corrente aumenta linearmente con la tensione e possiamo utilizzare la legge di Ohm: I = V/R.

Nell’ultima regione D, la corrente non aumenta nonostante aumentiamo la tensione, ora stiamo drenando efficacemente tutte le cariche, non ci sono più cariche disponibili da accelerare, di conseguenza la corrente va a saturazione. Diodi e triodi vengono tipicamente utilizzati in regime di linearità.

Nei triodi abbiamo la griglia che è in grado di modificare la corrente catodo-anodo utilizzando la ddp C/G. Se applichiamo una ddp C/G con la stessa polarità della ddp C/A, al campo elettrico C/A sommeremo un campo elettrico di pari direzione e verso molto grande, perché la distanza C/G è molto piccola, e di conseguenza aumenteremo di molto la corrente A/C. Se la polarità della griglia è opposta, il campo elettrico C/G si oppone al campo elettrico C/A, allora possiamo ridurre la corrente.

Parametri del triodo

• Fattore di moltiplicazione μ (adimensionale): è il rapporto tra la variazione incrementale della tensione di anodo rispetto alla variazione incrementale della tensione di griglia (di segno opposto) a corrente anodica costante. Se ci poniamo a una corrente A/C costante, questa corrente è ottenibile sia applicando una ddp ΔV_CA, sia applicando una ddp ΔV_CG che ci permette di raggiungere la stessa corrente con una ddp ΔV_CA minore. Il fattore di amplificazione ha un segno dipendente dalla polarità C/G rispetto alla polarità C/A. Può essere positivo o negativo, aumentando o diminuendo la corrente.
• Resistenza anodica ρ (Ω): variazione incrementale della resistenza anodica, influenzata dalla variazione della tensione e della corrente nel circuito.