Formulario Matematica finanziaria

Formulario matematica finanziaria

lOMoARcPSD|9558543Formulario matematica finanziariaMatematica per Economia, Finanza, e managment (Università Carlo Cattaneo)lOMoARcPSD|9558543Formulario matematica finanziaria

1. Dominio di una funzione in due variabili in R

n1. Dominio di una funzione in due variabili in R𝑥+3 22 𝑥 + 1𝐹(𝑥; 𝑦) (1 𝑦)2 2= + √4 − 𝑥 − 𝑦 + ln − 𝑥 + − 𝑒 +7es.

Determinare il dominio di 32𝑥 − 𝑦 + 23 32𝑥 − 𝑦 + ≠0 𝑦 ≠ 2𝑥 +2 2{{ 2 2 2 24 − 𝑥 − 𝑦 ≥ 0 𝑥 + 𝑦 ≤ 42 21 − 𝑥 + 𝑦 > 0 𝑦 > 𝑥 − 1

2. Curve di livello

2. Curve di livelloLa curva di livello k di F(x;y) è F(x;y) = k –es.

Determinare la curva di livello di k=0 per F(x;y) = 3x y– âž”3x y = 0 y = 3x

3. Derivate parziali

3. Derivate parzialiSi definiscono derivate parziali di F rispetto alle variabile x e y le derivate prime di f:𝛛 ′′ (𝒙; )(𝒙; ) Ì…Ì… 𝒚 = 𝒇𝑭 𝒚 = 𝑭 𝒙 𝒙𝛛𝐱𝛛 ′′ (𝒙 𝒚)Ì…;Ì…; = 𝒇𝑭 (𝒙 𝒚) = 𝑭 𝒚 𝒚𝛛𝐲3 2 2 ′ 2 ′ 2𝐹(𝑥; 𝑦) = 𝑥 − 2𝑦 + 𝑥 𝑦 + 𝑥 𝑓 = 3𝑥 + 2𝑥𝑦 + 1 𝑓 = −4𝑦 + 𝑥es 1) 𝑥 𝑦2 2 2 2(𝑥 (𝑥) )𝑦 + 𝑦 𝑥 + 𝑦− 𝑥𝑦 (2𝑥) −𝑥𝑦 (2𝑦)𝑥𝑦𝐹(𝑥; 𝑦) = 𝑓′ = 𝑓′ =es 2) 𝑥 𝑦2 2 2 2 2 2 2 2𝑥 + 𝑦 (𝑥 +𝑦 ) (𝑥 +𝑦 )2 2 2(𝑦−𝑥)(𝑦−𝑥) (𝑦−𝑥) ′𝐹(𝑥; 𝑦) = 𝑒 𝑓′ = 𝑒 ∗ (−2𝑦 + 2𝑥) 𝑓 = 𝑒 ∗ (2𝑦 − 2𝑥)es 3) 𝑥 𝑦lOMoARcPSD|9558543 22𝑥𝑦 𝑥3 2 ′ 3 ′ 2 2 3𝐹(𝑥; 𝑦) (𝑥 𝑦) (𝑥 𝑦)= 𝑦 ∗ ln 𝑓 = 𝑦 𝑓 = 3𝑦 ∗ ln + 𝑦es 4) 𝑥 𝑦2 2 2𝑥 𝑦 𝑥 𝑦1 2𝑥 1 1′𝐹(𝑥; 𝑦) 2 𝑓′ = ∗ 𝑓 = ∗= √ln(𝑥 + 𝑦)es 5) 𝑥 𝑦2 22 2𝑥 +𝑦 𝑥 +𝑦2 √ln(𝑥 +𝑦) 2 √ln(𝑥 +𝑦)

4. Gradiente

4. GradienteIl gradiente di una funzione è il vettore che raccoglie le derivate parziali:𝑓′ 𝑥(𝑥; 𝑦) [ ]∇𝐹 = 𝑓′ 𝑦

5. Punti stazionari di funzioni a due variabili

5. Punti stazionari di funzioni a due variabili

• Determinare se F(x;y) abbia dei punti stazionari:𝑓′ = 0𝑥{ P (a;b)𝑓′ = 0𝑦
• Determinare se F(x;y) abbia un punto stazionario in (a;b):′ ′𝑓 𝑓Determinare eo 𝑥 𝑦00(𝑎; 𝑏) [ ]∇𝐹 =Se allora P(a;b) è un punto stazionarioo

6. Matrice Hessiana e natura dei punti stazionari

6. (Matrice Hessiana e natura dei punti stazionari)Ottimizzazione libera

Procedimento:

• Determinare le derivate prime di x e y e il gradiente𝑓′ 𝑥(𝑥; 𝑦) [ ]∇𝐹 = 𝑓′ 𝑦
• Determinare i punti stazionari𝑓′ = 0𝑥{ P (a;b)𝑓′ = 0𝑦
• Determinare le derivate seconde di x e y e la matrice Hessiana𝐹 𝐹𝑥𝑥 𝑥𝑦2 (𝑥; 𝑦) [ ]∇ 𝐹 = 𝐹 𝐹𝑦𝑥 𝑦𝑦F F=Con xy yx
• Verificare la natura dei punti stazionariF F) =H = determinante ( xx xx1 –2 F F * F F * FH = determinante (∇ ) = ( ) ( )xx yy xy yx2 âž”Se H > 0 e H > 0 (Concordi) Punto di minimo2 1 âž”Se H > 0 e H < 0 (Discordi) Punto di massimo2 1âž”Se H < 0 Punto di sellalOMoARcPSD|9558543

1. Operazioni di capitalizzazione vs operazioni di attualizzazione

1. Operazioni di capitalizzazione vs operazioni di attualizzazioneOperazioni Finanziarie:

• Operazioni di Capitalizzazione = Capitale inizialeC >M C= MontanteM
• Operazioni di Attualizzazione = Valore attualeA >S A= Nominale a ScadenzaSIl Valore Attuale A può essere indicato anche come VAIl Nominale a Scadenza S può essere indicato anche come NlOMoARcPSD|9558543

2. Capitalizzazione

2. Capitalizzazione: 𝑴= 𝑪+𝑰𝐼=𝐶 𝑖 𝑡I = Interessi maturati > 0

2.1 Regime semplice vs regime composto; regime degli interessi semplici anticipati

2.1 Regime semplice vs Regime composto; Regime degli interessi semplici anticipatiCapitalizzazione:

• Regime semplice: 𝑀 = 𝐶 ∗ 𝑓(𝑡)( )𝑴 = 𝑪 𝟏+𝒊 𝒕𝑀 − 𝐶 𝑀 𝑀 − 𝐶𝑖= 𝐶= 𝑡=( )𝐶 𝑡 1 + 𝑖 𝑡 𝐶 𝑖f (t) = Fattore di Montante > 1i = Tasso d’interesse annuo semplice Se non specificato utilizzare l’anno civileâž”Anno civile: 365 giornit = Durata in anni Anno commerciale: 360 giorni (12 mesi da 30 giorni)3( )𝑡 = 2 +âž”es 1) t = 2 anni e 3 mesi 12 87𝑡 =âž”es 2) t = 87 giorni (Anno commerciale) 360Regime sempliceTassi periodalio 𝑖𝑖 = 𝑖 ∗ 𝑚 𝑖 =𝑚 𝑚 𝑚( )𝑴 = 𝑪 𝟏 + 𝒊 ∗ 𝒎 ∗ 𝒕𝒎i = im 4es) Tasso trimestrale m = 4
• Regime composto: 𝑀 = 𝐶 ∗ 𝑓(𝑡) 𝒕( )𝑴 = 𝑪 𝟏+𝒊1 𝑀 )ln (𝑀 𝑀𝑡𝑖=( ) −1 𝐶= 𝑡= 𝐶𝑡 ( )( ) ln 1 + 𝑖𝐶 1 + 𝑖d’interesse annuo compostoi = Tasso Regime compostoTassi periodalio 1𝑚 ( )( ) − 1 𝑖 = 1 + 𝑖𝑖 = 1 + 𝑖 − 1𝑚𝑚𝑚 𝒎 𝒕( )𝑴 = 𝑪 𝟏 + 𝒊 𝒎lOMoARcPSD|9558543
• Regime degli interessi semplici anticipati:𝑀 = 𝐶 ∗ 𝑓(𝑡)𝟏𝑴=𝑪 ( )𝟏−𝒅 𝒕𝐶 𝐶( )𝑑= − +1 𝐶 = 𝑀 1−𝑑 𝑡 𝑡= − +1𝑀 𝑡 𝑀 𝑑Regime degli interessi semplici anticipatiTassi periodalio 𝑑𝑑 = 𝑑𝑚 ∗ 𝑚 𝑑 =𝑚 𝑚𝟏𝑴=𝑪 ( 𝟏 − 𝒅𝒎 ∗ 𝒎 ∗ 𝒕 )d = Tasso annuo di sconto commercialeDiverso tasso d’interesse negli anni ≠ ≠❖ âž” i i i etc.1 2 3
• Regime semplice ( ) ( )𝑀 = 𝐶 1 + 𝑖 𝑡 ∗ … ∗ 1 + 𝑖 𝑡1 1 𝑛 𝑛
• Regime composto 𝑡 𝑡(( ) )∗ … ∗ 1 + 𝑖𝑀 = 𝐶 1 + 𝑖 1 𝑛𝑛1
• Regime misto 𝑡( ) ∗ ( 1 + 𝑖 𝑡 )𝑀 = 𝐶 1 + 𝑖 1 2 21lOMoARcPSD|9558543

3. Attualizzazione

3. Attualizzazione: 𝑨=𝑺−𝑫D = Sconto > 0

3.1 Regime semplice vs regime composto; regime dello sconto commerciale

3.1 Regime semplice vs Regime composto; Regime dello sconto commercialeAttualizzazione:

• (o Regime razionale):Regime semplice 𝛷(𝑡)𝐴 = 𝑆 ∗φ(t) φ(t)= Fattore di sconto, 0 < < 1 𝟏𝑨=𝑺 ( )𝟏+𝒊 𝒕𝑆 𝑆( )𝑖= −1 𝑆 =𝐴 1+𝑖 𝑡 𝑡= −1𝐴 𝑡 𝐴 𝑖
• Regime composto: 𝛷(𝑡)𝐴 = 𝑆 ∗ 𝟏𝑨=𝑺 ( ) 𝒕𝟏 + 𝒊 𝑆ln ( )𝑆𝑡 𝑡( )√ 𝐴𝑡=−1 𝑆 = 𝐴 1+𝑖𝑖 = ( )ln 1+𝑖𝐴
• Regime dello sconto commerciale: 𝜑(𝑡)𝐴 = 𝑆 ∗( )𝑨 = 𝑺 𝟏−𝒅 𝒕𝐴 𝐴 𝐴𝑑= − +1 𝑆= 𝑡= − +1( )𝑆 𝑡 1 – 𝑑 𝑡 𝑆 𝑑Regime dello sconto commercialeTassi periodalio 𝑑𝑑 = 𝑑𝑚 ∗ 𝑚 𝑑 =𝑚 𝑚𝑨 = 𝑺 ( 𝟏 − 𝒅𝒎 &lowas