Dimostrazioni Statistica 1

Elenco delle dimostrazioni

(Tale elenco serve solo per facilitare la preparazione, non è da considerarsi l’unico elemento di valutazione dell’esame)

• La relazione fra numeri indici a base fissa e numeri indici a base mobile
• Le proprietà delle frequenze relative
• Le proprietà della media aritmetica
• La proprietà della media geometrica relativa ai logaritmi
• Procedimento indiretto per il calcolo della devianza o della varianza
• Le proprietà della varianza
• La proprietà di invarianza alle trasformazioni di scala del coefficiente di variazione
• I requisiti soddisfatti dal rapporto di concentrazione R di Gini
• Uguaglianza tra frequenze marginali teoriche nel caso di indipendenza distributiva e corrispondenti frequenze marginali effettive (osservate)
• La somma delle contingenze assolute per riga o per colonna è nulla
• L’indipendenza distributiva implica l’indipendenza in media
• Il procedimento indiretto per il calcolo della covarianza nel caso di N valori (xi, yi), i=1,...,N
• Le proprietà della covarianza
• Le proprietà del coefficiente di correlazione lineare di Bravais-Pearson
• Le proprietà della retta a minimi quadrati e dei residui di interpolazione
• La scomposizione della devianza totale in devianza spiegata e devianza residua, nel caso della retta interpolante a minimi quadrati
• La devianza spiegata in funzione del coefficiente angolare della retta a minimi quadrati
• La relazione fra il coefficiente di correlazione lineare e l’indice di determinazione

Relazione fra numeri indici a base fissa e numeri indici a base mobile

Supponiamo che per il fenomeno quantitativo X si abbia l’indice a base fissa =. Nonché gli indici a base mobile: %! $ = ; = ; … ; =!.# $.! %.%&! # ! %&!

È immediato verificare che: = × × … × %.# !.# $.! %.%&!

Tenuto conto di ciò diventa: % %&! %! $= × × …× × # # ! %&$ %&!

Proprietà frequenze relative

1. La frequenza relativa è sempre non negativa: *, ≥ 0 = 1,2, … , .%

Dimostrazione: '()%)essendo , deriva che() ≥ 0 > 0 ≥0+,%-!∑

2. La somma delle frequenze relative di una distribuzione è uguale a 1: () = 1

Dimostrazione: ,%-!∑la somma delle frequenze assolute pertanto() = ,%-! ()∑ =1 ;1 + 2+. . ++. . + = 1;1 2 + +. . + +. . + = 1; (1) + (2) + … + () + () = 1

Proprietà media aritmetica

Prima proprietà: la somma degli N scarti è uguale a zero: − 1)+F( − ) = 0. !.-!

Dimostrazione: + + + +F( − ) = F − F = F − × . ! ! !.-! .-! .-! .-!! + +∑ ∑

Ricordando che deriva che . = × = ! !.-! .-!+

Pertanto: + +F − F = 0.-! .-!

Questa proprietà è esclusiva della media aritmetica, nel senso che M1 è l’unico valore che annulla lasomma degli scarti. In effetti se +F( − ) = 0 ƒ = . !.-!

Dimostrazione: +F( − ) = 0..-!+ +F − F = 0.-! .-!+ +F = F .-! .-!di cui: +F = .-!

Ricaviamo dunque: +1 = F = ! .-!+ = F( − ) = 0! !.-!

Nel caso di distribuzioni di frequenza la prima proprietà si esprime:+F( − ) × = 0. ! %.-!

Seconda proprietà: la somma del quadrato degli scarti delle valori da un valore A, è minima per. = ! + +$ $)F( − ) ≥ F( − . . !.-! .-!con = !

Dimostrazione: + +$ $∑ ( ∑ ( =− ) = − + − ). . ! !.-! .-!+ $ $∑ ) ([( − + − ) + 2( − )( − )]=. ! ! ! . !.-!+ + +$ $∑ ( ) ∑ ( ∑ )− + − ) + 2( − ) ( −. ! ! ! . !.-! .-! .-!+∑di cui per la prima proprietà della media2( − ) ( − ) = 0! . !.-!

Quindi: + +$ $ $)F( − ) = F( − + ( − ). . ! !.-! .-!dove entrambi gli addendi sono , quindi si avrà che≥ 0+ +$ $ $)F( − ) ≥ F( − ( − ) = 0. . ! !.-! .-!Terza proprietà: Sia N la numerosità della popolazione. La popolazione sia divisa in K gruppiincompatibili, di numerosità rispettivamente . Ovviamente ; ; … ; ; … ; ( + + … +$ % & ' $ %(&)($) (%) (*)Siano inoltre le medie aritmetiche del carattere X + … + ) = . , , … , , … , & ' $$ $ $in ciascuno dei K gruppi, e sia M1 la media aritmetica calcolata su tutte le unità statistiche.$ (&)*∑

Tra le medie parziali e la media totale vale la relazione: con Nj la somma = × $ &&,$ $+delle numerosità dei K gruppi e quindi corrisponde ai pesi di ponderazione

Ovvero la media aritmetica totale M1 è uguale alla media aritmetica ponderata delle mediearitmetiche dei gruppi, con pesi di ponderazione pari alle numerosità dei gruppi.

Dimostrazione: Siano rispettivamente le somme dei valori del primo gruppo,…, j-esimo ; ; … ; ; … ; $ % & 'gruppo,… La somma degli N valori di tutta la popolazione è + + … + + … + = .$ % & 'Pertanto la media parziale di X riferita ad uno specifico gruppo è :.-(-) con j= 1,…,k. =$ +- (-)

Da questa media posso ricavare = × $La media aritmetica di X riferita all’intera popolazione è : 1 + 2+. . ++. . + = =$ $ (&)*∑La media totale dunque diventa: = × $ &-,$ $+

Quarta proprietà: Due caratteri quantitativi X e Y sono rilevati contemporaneamente sulle unitàstatistiche di una popolazione. Si supponga che fra i valori di Y e quelli di X vi sia una relazionelineare; ovvero: con a e b costanti. Allora tra la media aritmetica = + = 1,2, … , / /dei valori yi e la media aritmetica dei valori xi esiste la stessa relazione lineare che si ha fra yi e xi,ovvero: . = + $(0) $(1)