Appunti/schemi di Matematica generale con teoremi e definizioni

lOMoARcPSD|9558543 Riassunto mate con anche i teoremi e definizioni

Appunti matematica generale

Matematica per Economia, Finanza, e managment (Università Carlo Cattaneo)

Universita' Carlo Cattaneo - LIUC

Matematica

Matrici

• Quadrata= quando m=n, cio• le righe e le colonne coincidono.
• Diagonale= quando ha il triangolare superiore E inferiore.
• Matrice identitˆ(I)= quando sulla diagonale principale compaio tutti 1.
• Matrice nulla(U)= quando • zero.
• Simmetrica=quando la parte superiore e uguale alla parte inferiore >tutte le diagonali sono simmetriche >le simmetriche non sono tutte diagonali éa--matrice trasportata= quando le righe si scambiano con le colonne0.
• Prodotto tra matrici= 1.le colonne di A devono coincidere con le righe di B se no non pu˜avvenire il prodotto 2. Le righe di A e le colonne di B formano la matrice nuova 3. Il prodotto avviene le righe di A si moltiplicano per le colonne di Ba- :}=La " :TIPOfTIPO -12.

Vettori

• Vettori=il vettore • quando la matrice ha una sola riga e una sola colonna.
• Vettori fondamentali= )-1100E=/ )01092 .E- )( 001.
• Ortogonali= quando il prodotto interno Ž nullo cio• =0.
• Norma di un vettore= a-H-TZE-t-E.IEIl.
• Vettore unitario/versore= Va l k a.
• Linearmente dipendenti= quando almeno UNO di essi pu˜ essere scritto come lineare di un altro. >se cÕ• un vettore nullo, sono L.D. >se hanno tutte le componenti proporzionali sono L.D. INDL >non • detto che se sono L.D., ogni vettore • la combinazione lineare di un..↳ Rangoilcanoni altro↳ no .= dettose>.

Determinante di una matrice

Determinante di una matrice -2x2 -inversadiagonale éhdiagonale 1-data -22=-2210 A-= principale secondaria.

-3x3=>REGOLA DI SARRUS:6Eé:6e 222213 221lOMoARcPSD|9558543.

-nxn (n>2)=>metodo dei cofattori o metodo di LAPLACE.

Due Trasformazioni: Degli Zen conmodi leCREOO ↳"Griff[ Té ]%}A- ?sei. sonoItta 7e-][ ¤{[ ¥ ]-101 :-[ manoa = ³ ¥77 quadrated)G. fa I.⇐ a. -2=- -NB. Devo farlo per tutti, cio• per colonna che ho scelto.

• Se due righe o due colonne vengono scambiate, il valore rimane uguale ma cambiadi segno.
• Se due righe o due colonne sono proporzionali allora il det=0[gg> singolare deto ³ ]?

Matrice inversa

• Non esiste sempre.
• Teorema se esiste la matrice • unica.
• Una matrice • invertibile se il suo det Ž diverso da 0.

Si calcola in questo modo: }] #LyonDISPARI tesocambio³¥â†³[[ =A- « Pari¥-1 Rimane segno¥ a. 6-( (21 22 2×201=[-3%60] PostoScanno il¥" A--2T ]( [( senocamion¥oo =¥ za = .

Rango di una matrice

• Rango di una matrice >lÕintero che deve essere >= 0 tale che r sia diverso da 0.
• Il rango di una matrice • r<=m.
• Si parte dal pi• piccolo o calcolo il det(per le quadrate), se Ž diverso da 0 allora il rango • il suo.
• • si calcola il determinate.
• Se • quadrata il rango coincide con il suo massimo e con la dimensione della matrice (01-2+0)(0+0+6)%) -1-21=2 )=z DetHal __ -¥BB =/ ,o¥ ¡ 20 (-0-3)=-3f (B)KK #4 0=-3 =o-/KKBI (0+0+6) (01-2+6)=-2 vkB)3⇐ --rkB se 0Fosse stato =>ALGORITMO DI KRONECKER Dovevo=D cavarne quello INFERIORE.

Quando orlo qualsiasi riga per determinate il rangometal{A- »³37µ 20o121=2*0 rkazz-o.se/=-2--/ O--ovkAzz--/ Yj 0krokaer21/- -1T(/ / (6)/}I% 2. -122.= == .¥ =HAI 3NB. Il rango di una matrice rappresenta il numero max di vettori riga o colonna che formano lalOMoARcPSD|9558543.

Trascrizione di un sistema in forma matriciale

I Lí ;]} é[ ] [ é]2×+4+2--0 ¥ =,lo f é b-sistema votare vettorebene Delincognite TERMINI notiA- b-I = -w coincidonose risultatie µâ†³ FabioPossose.

Sistema lineare

Esistono tre tipi di sistema lineare:

• Sistema determinato= ammette una sola soluzione -per il TEOREMA DI CRAMER= con una matrice quadrata ][-per il TEOREMA DI ROUCHé-CAPELLI= si ha una matrice orlata Allar-ik-H-rkh-lbt.cn>.
• Sistema indeterminato= ammette inÞnite soluzioni Rango matriceDellaIlAkdoe -per il TEOREMA DI ROUCHé-CAPELLI= ORATA+matricedellaRangoilcalcolo[ eb)/A(A)rk VK <m determinatose s7 sono= = = ³ . ImpossibileSsono sise ¥ - , )(sonose •n¡ renema incorrem= Alb alloraY Aalminore di e>.
• Sistema impossibile(a) ][ la/ b-pkVK A PER soluzioneLADET sostituiredevo=/7 = . FACCIOInfineDetOGNIIN FaccioCOWNNA il, ,EAI-b-i.IR?

Tipologia di R

kuTIPOLOGIA DI R¡ }{ miaR¡ si intende lÕinsieme a+I e un intervallo contentino in R e pu˜ essere:

• [ b] oooooo-a. 6 (-2 b intervallo >aperto <o¥b)( --0--0-0 [a.
• Intervallo chiuso b E=2 ¥ o-bfa ] o- ³, bab)[ a- ³³³, ba.

LÕintervallo I pu˜ considerarsi:

• Illimitato quando ha per estremo 0+ o o-quando ha per estremo i numeri.
• Limitatoquando contiene un numero Þnito di elementi.
• Þnito.
• InÞnito quando contiene un numero inÞnito di elementilOMoARcPSD|9558543V-x.CA.

Massimo= quando Risulta é7 7c- 0 [ g) HA -17 = minimoa. comeA.

Minimo= quando ¥ come massimoRisulta 7 oz =7 7c- 7 o.

Il max e il min di un insieme non esistono quando lÕintervallo Ž aperto: NB. )( 3,7 HAnon MAX minie.

Sia un insieme A contenuto in R: Altxe>limitato inferiormente quando minorante¬ R tale che Risulta = minerarie7é MaggioranaA>limitato superiormente se Tale cheMEIR3- Risulta =c- 7.

Definizioni topologiche

Definizioni topologiche E al[A- a : -11.74¥-punto internoP.INTERWXs.cn• un0=37-punto esternoP.esiern.kz5 • un-punto di frontiera l'PEMÖ• Delimita4 un insieme=D={ IR }A- ƒTƒt.c.ua/asvx--oc-7-punto isolatoPunto /0=6 sonno7-punto di accumulazioneP ACCD0=47 .,,--.

Prodotto interno tra vettori;)I >:X׫(32+221-72)=248a.

Prodotto tra vettori e matrici=L :))v11.2 -1 ;]=L7 :-., !li³ 000V.V 1=lOMoARcPSD|9558543.

Funzioni

• Funzioni -insieme delle immagini= sono tutte le x che si trovano sullÕasse delle y nel disegno trovandoloappunto nel disegno. I -047¥ 7)[ ;9=Ö: ¥->.
• Test della retta verticale=una funzione lo Ž quando ogni retta verticale interseca il graÞco della Fin un SOLO puntoA ³>.
• Dominio di una funzione: • A VRisultato-razionali fratte (denominatore) EG³ . .. )a) (fa¥+ sito7 76³ ; +--radicale é ttxeE-'ti seof7³-logaritmica( OID3)log +30>07³+ -7 Dall' esponenteesponenziale DIPENDE-0_Ñ>se non • nessuna di queste tre allora .. IR- PER restoil>.

Grafici delle funzioni elementari

• Parabola 4=0×2+6×1³ e on-G) a-( ¥7 ; - U> oa( ) ab sxYe n PASA l'⇐ Parteorigine× >o0f ³7:c)(D= abe O V o Parte DX< o ³ebreo Abeyf coinciseasse ⇐ l'Intersezione con Abeyy=¥.
• Iperbole equilatera ³g gé #"lOMoARcPSD|9558543.
• Logaritmica 1< al61}a D :(boyzln -- loya logge- --.
• EsponenzialeQER 02922#a> 0> aaa ¥a¥ , , AA eÖ 0gftd-a-1-oflxkex-oflxt-e-EE.EE)=•=zflo ")>.

Come disegnare i grafici

Come disegnare i graÞci% A×{ Ho'flx) > i2- GX 02×277 ³ !Sostituiscoe O2¡2×20 1=4³¥ 2-6/1=002-60--0--47¥ 72-6.7=7--4 ( )7 q3vertice ;ilCallowquindi -E- Paranoiala secondae 1é >aesponenziale conlOMoARcPSD|9558543.

Proprietà delle funzioni

• Pari=graÞco simmetrico rispetto allÕasse delle yftxl-flxlt x-f.IN>.
• Dispari=graÞco simmetrico riaspetto allÕorigine->per vedere se • dispari, pari o ne pari ne dispari(a)f é -3 ×=)f ( (a)-1×7-3 ' mi divora+3 Pare=D ne= 7× 7-devo cambiare di segno a tutti e-se cambiamo tutti Ž dispari-se rimane invariata Ž pari-se cambia solo alcuni allora non • ne pari ne dispari.

Attenzione per˜ alle frazionarie perchŽ svolgo la frazione quindi-se num e den a x pari Ž dispari-se num e den a x dispari Ž pari-se • un misto di x non • ne pari ne dispari.

Funzione monotona

• Crescente e strettamente crescente)ftp.flxdflxizfkdeflxisflxdftp.eflxa e-.
• Decrescente e strettamente decrescentelOMoARcPSD|9558543.

Funzioni limitate

• Limitata superiormente-4=4---.
• Limitata inferiormente~ y=k.
• Limitata= quando • limitata sia inferiormente che superiormente"" =-4=4--- ---.
• Illimitata= quando non • nessuna delle 3.

Massimo e minimo

• Massimo= il pi• grande dei valori che la funzione assume.
• Minimo =il pi• piccolo dei valori che la funzione assume.

Punti massimo e punti di minimo

• Punti di massimo IxoLocale o relativo per la funzione F se esiste un intorno di 7 oFINE )flxtale CHE.
• Punti di minimo IxoLocale o relativo per la funzione F se esiste un intorno Di 7 o)ftxzflxolOMoARcPSD|9558543.

Funzioni composte

Funzioni composte ( 4) glf.milf)¥ go =flxt-xr.iq/x)- •glflxts-gli-H-ei-