Appunti personali di Statistica economica

Statistica economica

Numeri indici elementari, indici complessi

Quando uno stesso fenomeno quantitativo si manifesta in circostanze diverse di tempo o di spazio, uno strumento fondamentale per valutare la diversità temporale o spaziale delle intensità è il “numero indice”. L’uso più frequente è relativo ai dati temporali.

Si supponga che l’intensità x₀, x₁, ..., x_n, tutte positive, costituiscano una serie storica in relazione ai tempi 0, 1, ..., n. Il rapporto statistico tra l’intensità corrispondente al tempo i e quella corrispondente al tempo j è un numero puro che:

• È uguale a 1 se x_i = x_j. In questo caso si dirà che il fenomeno si è mantenuto uguale nei due tempi.
• È maggiore di 1 se x_i > x_j. In questo caso si dirà che al tempo i si è registrato, rispetto al tempo j, una variazione positiva, cioè un incremento del (x_i/x_j - 1) ⋅ 100%.
• È minore di 1 se x_i < x_j. In questo caso si dirà che al tempo i si è registrato, rispetto al tempo j, una variazione negativa, cioè una diminuzione del (1 - x_i/x_j) ⋅ 100%.

Si definisce serie storica una sequenza di osservazioni di un fenomeno osservato ai tempi y₁, y_t, ..., y_T. La variazione da un periodo all’altro può essere misurata rapportando il valore della serie a un certo periodo t, ossia y_t+1/y_t. Tale rapporto, moltiplicato per 100, viene chiamato tasso di variazione percentuale.

Alla serie storica originaria delle x si può sostituire una serie storica di rapporti del tipo indicato, in genere moltiplicati per 100, i quali prendono il nome di numeri (rapporti) indici.

In una serie di numeri indici i denominatori dei rapporti possono essere tutti uguali all’intensità osservata in un certo tempo (in genere quello iniziale della serie storica o scelto in modo tale che non rappresenti un valore anomalo) che viene detto tempo base.

I valori ottenuti in questo caso vengono detti numeri indici a base fissa ed esprimono le variazioni relative o percentuali dell’intensità rilevata in un tempo qualsiasi rispetto alla situazione utilizzata come termine di riferimento (cioè quella del tempo base).

Esempio dimostrativo

I denominati dei rapporti possono essere anche diversi e in genere il rapporto istituito è tra l’intensità in un tempo e l’intensità in un tempo immediatamente precedente: in questo caso i numeri indici si dicono di base mobile e attraverso essi si può valutare la variazione intercorsa passando da un tempo a quello successivo.

Se si vuole cambiare la base di una serie storica di numeri indici a base fissa, perché si ritiene opportuno assumere come riferimento la situazione al tempo j anziché al tempo 0, è sufficiente moltiplicare i numeri indici a base fissa della serie a disposizione per x_j/x₀.

Esempio di base fissa e base mobile

Si consideri la seguente situazione:

Di seguito sono riportate le serie dei numeri indici con base fissa al tempo 0 e al tempo 2.

Esempio, riprendiamo i dati relativi al PIL a prezzi correnti. La serie di numeri indici a base fissa (anno 2003) è riportata nella seguente tabella.

Ricordiamo che i numeri indici per il 2005 e per il 2003 con base fissa il 2001 erano rispettivamente 1.135 e 1.069 e si può verificare che il rapporto di questi due numeri fornisce il numero indice per il 2005 con base il 2003. Infatti 1.135 : 1.069 = 1.061.

Per trasformare i numeri indice a base fissa in numeri indici a base mobile è sufficiente dividere il numero indice a base fissa per quello del tempo precedente:

x_j+1/x_j = x_j+1/x₀

Di seguito sarà riportata la serie dei numeri indici con base mobile per le 5 intensità dell’esempio precedente. Per passare dai numeri indice a base mobile a quelli a base fissa occorre moltiplicare tra loro tutti i consecutivi indice a base mobile a partire da quello corrispondente al tempo che si vuole assumere come base fino a quello corrispondente al tempo per il quale si vuole calcolare l’indice a base fissa, ad esempio il tempo j.

x_j/x₀ = x₁/x₀ ⋅ x₂/x₁ ⋅ ... ⋅ x_j/x_j-1

Fine esempio dimostrativo.

Indici semplici

Le serie dei numeri indici possono essere costruite in due modi diversi: a base fissa o a base mobile. Una serie di numeri a base fissa esprime l’intensità o la frequenza di un fenomeno in ogni periodo di tempo come una quota dell’intensità o frequenza in un periodo di riferimento chiamato base. Quindi ogni numero indice al tempo t con base s si ottiene dall’espressione I_t+1 = y_t+1/y_s. L’indice viene in genere moltiplicato per 100, ottenendo quindi degli indici percentuali.

Il periodo di tempo preso come base di riferimento della serie dei numeri indici, deve, quanto più possibile, rappresentare una situazione di normalità caratterizzata dall’assenza di eventi esterni che possano aver influito in modo rilevante e anomalo sull’andamento del fenomeno. Inoltre, è conveniente scegliere come base uno tra i periodi centrali della serie in maniera che sia rappresentativo sia per le prime sia per le ultime occasioni della serie. Per questo motivo, passato un certo periodo di anni, è necessario calcolare la serie dei numeri indici rispetto a una base più aggiornata. Il cambiamento di base si rende necessario anche quando si vogliono confrontare due serie con basi diverse.

Una serie di numeri indice a base mobile esprime un’intensità o frequenza di un fenomeno in ogni periodo di tempo come rapporto con l’intensità o frequenza di tempo immediatamente precedente. Anche in questo caso, nel contesto dei fenomeni economici, è in genere rilevante l’analisi delle variazioni dei prezzi unitari dei beni e servizi. L’andamento delle variazioni dei prezzi lungo il periodo può essere descritto attraverso la serie percentuale dei numeri indici dei prezzi a base mobile.

Cambiamento di base e relazioni tra serie

Il cambiamento di base e le relazioni che intercorrono tra una serie a base fissa e una a base mobile sono date dalle proprietà riportate di seguito.

Proprietà

Proprietà 1: passaggio da una base fissa a un’altra base fissa.

Per passare da una serie percentuale di numeri indici a base fissa a una serie percentuale con una nuova base fissa (riferito però a un periodo di tempo contenuto anche dalla precedente serie) è sufficiente dividere ogni numero indice per il numero indice del periodo preso come nuova base e moltiplicare per 100.

Proprietà 2: passaggio da una base fissa a una base mobile.

Dividendo ogni numero indice della serie a base fissa per quello precedente e moltiplicandolo per 100 si ottiene la corrispondente percentuale dei numeri indici a base mobile.

Proprietà 3: passaggio da una base mobile a una base fissa.

1. Si pone uguale a 1 il numero indice della serie a base mobile relativo al periodo certo come base;
2. Il numero indice a base fissa corrispondente a un periodo precedente si ottiene calcolando l’inverso del redotto dei numeri indice a base mobile dal tempo t fino a incluso;
3. Il numero indice a base fissa corrispondente a un periodo successivo si ottiene moltiplicando il corrispondente numero indice a base mobile per tutti quelli che lo precedono fino al periodo incluso. Moltiplicando per 100 ogni numero indice si ottiene la serie percentuale dei numeri indici a base fissa.

Indici complessi

In molti casi il fenomeno di cui si vuole osservare l’andamento nel tempo è troppo complesso perché possa stare l’analisi di una sola variabile. Quando si considera una serie storica relativa al prezzo per una classe di beni, è necessario determinare una sintesi dell’andamento dei prezzi dei singoli beni che costituiscono tale classe. In tutti questi casi si devono utilizzare numeri indici complessi che sintetizzano in un unico indice le variazioni subite dai diversi fenomeni.

Per costruire tali indici si possono utilizzare due differenti metodi: si calcola il numero indice delle somme ponderate delle intensità o frequenze dei singoli fenomeni oppure si calcola una media ponderata dei numeri indici semplici dei singoli fenomeni.

Gli aspetti problematici sono:

• La scelta degli elementi utili a rappresentare l’aggregato di sintesi al quale si intenda riferirsi (l’insieme dei prezzi, l’insieme di beni prodotti, l’insieme delle retribuzioni dei lavoratori).
• La scelta della funzione aggregatrice da utilizzare per sintetizzare le diverse serie di numeri indici in una serie unica.
• La scelta dei coefficienti di importanza da associare nel procedimento di aggregazione a ciascun indice elementare, cioè alle singole serie.

N.B. Gli ultimi due aspetti sono di natura prettamente metodologica e verranno affrontati nella nostra analisi.

Si supponga che al tempo di riferimento zero, si abbiamo le serie di prezzi p_0i (i = 1,...n) e delle corrispondenti quantità q_0i (i = 1,...n), riferite ambedue quindi a beni (o servizi). Si supponga di disporre anche dei prezzi p_1i e delle quantità q_1i al tempo 1 e di voler calcolare l’indice sintetico.

Con i dati a disposizione si possono calcolare:

• Indici elementari dei prezzi, uno per ciascun bene e cioè: p₁/p₀, ..., p_i1/p_i0, ..., p_n1/p_n0.
• Indici elementari delle quantità, uno per ciascun bene e cioè: q₁/q₀, ..., q_i1/q_i0, ..., q_n1/q_n0.
• Indici elementari dei valori, uno per ciascun bene e cioè: (p₁q₁)/(p₀q₀), ..., (p_i1q_i1)/(p_i0q_i0), ..., (p_n1q_n1)/(p_n0q_n0).

Per ottenere il numero indice sintetico del valore è sufficiente sommare i valori dei singoli beni al tempo 1 e al tempo 0 e rapportare i due risultati. Pertanto, il numero indice sintetico del valore è dato dal rapporto tra la somma dei prodotti e dei prezzi per le rispettive quantità al tempo 1 e la stessa somma effettuata al tempo 0, ovvero:

∑(p_1iq_1i) / ∑(p_0iq_0i)

I problemi sorgono quando si vuole costruire un indice sintetico dei prezzi o delle quantità. Soluzioni possibili sono rispettivamente le seguenti:

• Ottenere l’indice dei prezzi come media ponderata degli indici elementari p_1i/p_0i.
• Ottenere l’indice delle quantità come media ponderata degli indici elementari q_1i/q_0i.

La media generalmente usata per aggregare gli indici elementari è quella aritmetica. In genere, vengono utilizzati come pesi i valori che forniscono l’importanza relativa dei diversi beni (o servizi). Esistono le seguenti quattro possibilità:

• Per gli indici sintetici dei prezzi vengono utilizzati i pesi p_0iq_0i e p_0iq_1i.
• Per gli indici sintetici delle quantità vengono utilizzati i pesi p_0iq_0i e p_1iq_0i.

Indici di Laspeyres

Il primo coefficiente di importanza che si può attribuire all’indice elementare dei prezzi o delle quantità del bene i-esimo è p_0iq_0i, che è il valore della produzione, della vendita, della spesa, dell’importazione etc, al tempo 0. Tale sistema di pesi porta a definire l’indice di Laspeyres.

L’indice di Laspeyres dei prezzi assume la forma:

∑(p_1iq_0i) / ∑(p_0iq_0i)

Quindi il risultato è il rapporto tra due valori, quello al denominatore è effettivo e si tratta del valore complessivo (per i beni considerati) delle vendite, della spesa, etc, al tempo 0; quello al numeratore è ipotetico perché i prezzi sono riferiti al tempo 1 e la quantità al tempo 0. Rappresenta quindi quanto si sarebbe speso al tempo 0 per acquistare la stessa quantità al tempo 1.

L’indice di Laspeyres delle quantità assume la forma:

∑(p_0iq_1i) / ∑(p_0iq_0i)

E la sua interpretazione è analoga a quella dell’indice dei prezzi.

Indici di Paasche

Il secondo sistema di pesi che si può utilizzare per sintetizzare gli indici elementari dei prezzi dei beni considerati assume, per il bene i-esimo, il valore non osservato p_0iq_1i. Mentre per gli indici elementari delle quantità, il valore pure non osservato p_1iq_0i.

Tali pesi sono valori virtuali, l’uno della produzione, spesa, etc. Al tempo 0 valutato ai prezzi del tempo 1, l’altro della produzione, spesa, etc. Al tempo 1 valutato ai prezzi del tempo 0. La media aritmetica degli indici elementari così ponderati dà luogo all’indice di Paasche dei prezzi:

∑(p_1iq_1i) / ∑(p_0iq_1i)

E delle quantità:

∑(p_1iq_1i) / ∑(p_1iq_0i)

Esempio dimostrativo

Un portafoglio è composto da azioni delle seguenti società informatiche: Apple, IBM, Oracle, Microsoft, Novell, Sun. Nel corso di 6 mesi, la composizione del portafoglio e i prezzi delle azioni hanno subito delle modifiche. Nella seguente tabella sono riportate le quotazioni delle azioni al tempo iniziale del periodo di riferimento e al tempo finale.

La seguente tabella riporta invece la composizione del portafoglio al tempo iniziale e al tempo finale del periodo di riferimento.

Ricordiamo che l’indice di Laspeyres dei prezzi assume la forma:

pk_1i = ∑(p_0iq_0i) / ∑(p_1iq_0i)

Il numeratore è quindi il valore virtuale del portafoglio con la composizione del tempo 0 e i prezzi del tempo 1, ovvero:

∑(p_1iq_0i) = 250 ⋅ 21,54 + 150 ⋅ 114,37 + 100 ⋅ 16,38 + 50 ⋅ 6,72 + 200 ⋅ 16,73 + 120 ⋅ 54,01 = 34.341,71

Il denominatore invece è il valore del portafoglio al tempo 0, ovvero:

∑(p_0iq_0i) = 250 ⋅ 27,58 + 150 ⋅ 122,84 + 100 ⋅ 17,69 + 50 ⋅ 10,07 + 200 ⋅ 17,97 + 120 ⋅ 62,44 = 38.680,31

Di conseguenza il valore di Laspeyres è:

(34.341,71 ⋅ 100) / 38.680,31 = 88,78

Fine esempio dimostrativo.

Rapporti statistici

In un rapporto statistico si mettono a confronto due termini, frequenze o quantità, di cui almeno uno è di natura statistica (ossia riferito a un fenomeno collettivo) e tale che tra i due termini sussiste qualche legame logico. I rapporti così costruiti permettono di confrontare l’intensità di un fenomeno su collettivi, tempi o luoghi diversi e sono largamente impiegati nella descrizione di fenomeni di tipo socio-economico.

Rapporti di composizione

Nel rapporto di composizione, il dato al numeratore è parte del dato al denominatore, esso pertanto varia tra 0 e 1. Tra i rapporti di composizione vi sono le frequenze relative ottenibili da una distribuzione di frequenza.

Rapporti di coesistenza

Tra i rapporti di coesistenza si confrontano le quantità o frequenze tra due modalità di uno stesso fenomeno o tra due fenomeni antitetici che coesistono.

Rapporti di derivazione

Nel rapporto di derivazione, il dato al denominatore costituisce il presupposto fenomenico al dato posto al numeratore. L’indice è sempre non negativo.

Rapporti di densità

Nel rapporto di densità, il dato al numeratore rappresenta una concentrazione o un’intensità per unità di misura, fornendo una misura della distribuzione di un fenomeno all'interno di un'area o popolazione specifica.