Appunti Modelli statistici

Modelli statistici

Modelli probabilistici-matematici che permettono di esplicitare la relazione tra variabili statistiche.

Esempio

Valutare pressione del sangue di un individuo con e senza la somministrazione di un farmaco, tenendo conto delle sue caratteristiche individuali (età, peso, fumatore sì/no).

Modelli statistici e realtà

Ogni modello -> rappresentazione semplificata della realtà.

Compromesso = un modello deve essere sufficientemente semplice per essere interpretabile e utilizzabile.

Non troppo semplice per riuscire ad avvicinarsi alla realtà.

Formalizzazione

Variabile interesse -> pressione sangue.

Variabile esplicativa -> farmaco sì/no, caratteristiche individuali.

Tipi variabili

Variabile interesse (Y) -> ruolo variabile risposta.

Altre variabili concomitanti (X₁, ..., X_p) -> ruolo variabili esplicative.

Modelli statistici

Modelli probabilistico-matematici che permettono di esplicare la relazione tra variabili statistiche.

Esempio

Valutare pressione del sangue di un individuo con e senza la somministrazione di un farmaco, tenendo conto delle sue caratteristiche individuali (età, peso, fumatore sì/no).

Modelli statistici e realtà

Ogni modello -> rappresentazione semplificata della realtà.

Compromesso -> un modello deve essere sufficientemente semplice per essere interpretabile e utilizzabile.

Non troppo semplice per riuscire ad avvicinarsi alla realtà.

Formalizzazione

Variabile interesse -> pressione sangue.

Variabili esplicative -> farmaco sì/no, caratteristiche individuali.

Tipologia

Variabile interesse (Y) -> ruolo variabile risposta.

Altre variabili concomitanti (X₁,..., X_p) -> ruolo variabili esplicative.

Costruzione modello

1. Specifica modello.
2. Stima modello.
3. Verifica e diagnostica modello.
4. Utilizzo modello.

1. Specifica modello

Modello viene specificato sulla base:

• Teoria.
• Variabili interesse.
• Relazioni tra variabili.
• Ipotesi di studio.
• Dati.
• Metodologia di raccolta dati.
• Pre-processing dei dati.

2. Stima modello

Parametri modello vengono stimati sulla base dei dati osservati.

3. Verifica e diagnostica modello

• Verificare assunzioni alla base del modello sono coperti coi dati.
• Se non è così, una diversa specificazione è necessaria.

4. Utilizzo modello

• Per fare stima di quantità di interesse o previsioni.

1. Specifica modello

Modello regressione Y=f(X₁,…,X_p)+ε.

Y: Variabile risposta.

X₁,…,X_p: Variabili esplicative (covariate).

f(X₁,…,X_p): Componente sistematica del modello.

ε: Variabile errore.

Y: Variabile aleatoria.

f(X₁,…,X_p): Componente deterministica.

ε: Variabile aleatoria.

2. Stima modello

Y_i = f(X_i1,…,X_ip) + ε_i, i=1,…,n.

Stimare il modello significa stimare β e dei parametri che caratterizzano ε.

3. Verifica e diagnostica del modello

Bontà modello: il modello descrive bene i dati che abbiamo osservato?

Significatività dei coefficienti di regressione: vale la pena considerare tutte le covariate che abbiamo considerato?

Le ipotesi che abbiamo fatto sugli errori ε_i sono realistiche?

Verifiche possono suggerire di specificare il modello in modo diverso.

Quando soddisfatti, il modello può essere usato per fare stima e previsione.

In base al numero di variabili - regressione

Semplice

Vi = f(Xi; β) + ε_i.

1 variabile risposta.

1 variabile esplicativa.

Multipla

Vi = f(Xi1, ..., Xip, β) + ε_i.

1 una risposta.

+ 1 var. esplicativa.

In base al legame funzionale - regressione

Lineare

Risposta è una combinazione lineare dei parametri.

Esempio Vi = B0 + Bi Xi1 + ... + Bp Xip + ε_i.

Modelli regressione - multivariata

Se c'è più di una variabile risposta.

(Yi = Fn (X1,-. ,.-Xp, B¹) + ε_i.

Ym = fm (X_i1,-, ..-,X_ip,Bm) + ε_im.

Non lineari

Non esiste una trasformazione che li renda lineari.

Esempio Vi = B1Xi + ε_i.

Linearizzabile

Modelli di regressione che possono essere resi lineari tramite opportune trasformazioni.

Esempio.

Y_i = B_o X_i^B+ε_i.

log (Vi) = log (B₀) + B1 log (Xi) + log (E_i).

V_i^* B₀^* X_i^* E_i^*.

Riscriviamo il modello

Y_i^* = B^o* + B₁+ X_i^* + ε_i.