Appunti Fondamenti di campi elettromagnetici

Lezione 26/02/2025

Un'onda è una perturbazione sinusoidale che si propaga nello spazio e nel tempo, trasportando energia senza un trasferimento di materia. Esistono vari tipi di onde, ma le due categorie principali sono le onde meccaniche (che necessitano di un mezzo materiale per propagarsi, come le onde sonore nell'aria) e le onde elettromagnetiche (come la luce, che non necessitano di un mezzo e si propagano nel vuoto).

Le onde si possono classificare anche in base al loro comportamento di propagazione:

• Propagazione libera: Sono onde che si propagano dove vogliono. Un esempio tipico è un’onda di un segnale del telefono o dell’antenna del televisore.
• Propagazione guidata: Sono onde confinati e guidati da una struttura o un mezzo. Un esempio comune di onde guidate sono le onde che si propagano lungo un filo, come nel caso delle onde elettromagnetiche trasmesse da un cavo coassiale.

Per un’onda abbiamo un ovvero una lunghezza d’onda la quale indica la distanza tra due massimi o due minimi.

(Ci dice la scala spaziale di variazioni della nostra onda (campo), ovvero la dinamica (tutti i valori assunti in ). Cose fondamentali da sapere:

Banda Frequenza Descrizione
3 × 10 Hz Radio MegaHz
6 8 = 3 · 10 3 ×10⁻ Hz Mobile GigaHz
2,45×10⁻ Hz Microonde GigaHz
−1 Frequenza -> quante volte nel tempo scende/sale = ( )
3 ×10 Hz Visibile TeraHz
12

In questo Esame è fondamentale disegnare un cavo del circuito in modo diverso da un semplice filo: 1

Lezione del 28/02/2025

Le linee di trasmissione sono componenti fondamentali per la propagazione delle onde elettromagnetiche e dei segnali. Un esempio sono i cavi coassiali, costituiti da due conduttori concentrici in rame, separati da un materiale dielettrico, come il teflon. Un altro esempio sono le guide d’onda, strutture metalliche con sezione cava, generalmente cilindrica o rettangolare, utilizzate per la trasmissione di segnali ad alta frequenza.

La dimensione del foro delle guide d’onda varia in base alla frequenza quindi alla lunghezza d’onda che ci serve, più è piccolo più la frequenza aumenta.

Questo è come rappresentiamo un cavo coassiale e quello che andremo a fare è vedere come studiarlo in modalità di un circuito, per fare questo andiamo a prendere un in modo da non far ≪ cambiare il campo.

Il circuito che troveremo ha una caduta di tensione (resistenza) in serie con un’induttanza, in parallelo con un condensatore che è in parallelo con una sua caduta di tensione (un'altra resistenza). Tutte vengono moltiplicate per diventando come unità di misura il fratto m.

Trasformeremo questo circuito in un modello a parametri concentrati ovvero che non si espandono nel tempo. 2

Utilizziamo il circuito semplificato per evitare le perdite, risolviamo nel dominio dei fasori.

(+) ℨ() − ( + ) − =0   = −

In cui = ℨ() −   − ( + ) = 0

Andiamo a risolvere tramite le sostituzioni:

( + )() − ( + ) − =01
{ ℨ() − ℨ · ℨ() − ( + ) = 0
( + ) − () = −( + )ℨ
{ ( + ) − () = −ℨ · ℨ()

Ora che ho trovato queste equazioni (dei telegrafisti) vado a farci il limite di → 0

() = −ℨ{ℨ ()→0 = −ℨ · ℨ()

Vado a fare la derivata della seconda equazione:

() () ()= −ℨ = −ℨ = −ℨ   → →2 2 2
() ()   () () 2= −ℨ · = −ℨ · −ℨ + = 0
{ { {2 2 2 2
() OSCILLATORE ARMONICO
2+ = 02

Quindi: + −ℨ − +ℨ() = +

Ora andiamo a verificare andando a porre − +ℨ = 0

+ −ℨ − +ℨ() = +

Costanti primarie delle linee di trasmissione

Costruiamo un’espressione della tensione al variare di z:

+ 2 = + −ℨ −ℨ + −ℨ = = √ √ =0 + −

Quindi: −ℨ +ℨ() = − 0 0 3

Supponiamo di prendere un cavo coassiale e metterci un tappo conduttore elettrico, se il conduttore è di tipo ideale avrò conducibilità e campo elettrico = ∞ = 0.

+ −ℨ − +ℨ() = +

Ponendo z=0 trovo che: + −( = 0) = +

Formule utili

() = ( ) + sin( )
0 0
() = − ( ) + sin( )
0 0
ℨ ℨ
0 0
() = ( ) − ℨ (0) sin( )
0 0 0 00
() = ( ) − ℨ sin( )
0 0 00 4

Lezione del 05/03/2025

Se passiamo dai fasori al dominio del tempo invece succede che:

ℨ(, )(, ) − − ( + , ) = 0
( + , ) − (, ) ℨ(, )= −
(, ) ℨ(, )=− lim → 0 ( + , )
ℨ(, ) − ℨ( + , ) − =0
ℨ( + , ) + ℨ(, ) ( + , )= −

Mettendo a sistema e risolvendo troveremo l’equazione delle onde:

2 2 − =02 2 2 2 ℨ ℨ− =0{ 2 2

Verifichiamole:

Supponiamo che (, ) = ( − ) = ((, ))

Quindi: 2 2 = · = ·1·1→ =2 2

E: 2 2(−) (−)= · = → =2

Andando a sostituire otterremmo 2 2 2− = 0 → = 0 12 2 = → ℨà √2 |0= 1− 2 =02

La seconda soluzione invece porterà ad avere la stessa cosa ma in negativo quindi (, ) = ( + ) 5

Ora verifichiamo perché nei fasori sposta l’onda verso destra.

++ −ℨ − +ℨ + −ℨ +ℨ + ℨ(−)() = + = ℭ{ } = ℭ{ }

In cui: + + ℨ + +| | = = cos( − ) è ?+ ℨ(−+) +||ℭ{ } = cos( − + )

Andando a sostituire e risolvere avremo:

(√( − ))

Ora poniamo e quindi andando a sostituire nelle formule della + = + = tensione e corrente avremo:

In cui:
+ −ℨ − +ℨ() = + − ,−ℨ +ℨ = √ = √
() = − 0 0

Ora avremo delle ipotesi di piccole perdite in cui: ≪ ≪

Quindi tramite Taylor avremo che = + ) + ( − ) √ (1 + )√√(1 2 21

Risultato finale: ( )⋉ √ − + → − 2 √ √ 6

Lezione del 07/03/2025

Ora vediamo cosa succede nel campo dei fasori sempre dicendo che:

+ 1 + =√ √ √√ √ ( ) = = ≅ (1 + − )= + −√0 ˜ 2 2 + 1+

Ora poniamo il caso di questo circuito con un carico una parte dell’onda tornerà indietro tramite un coefficiente di riflessione legata a

()+ − − + − − , in questo circuito
+2ℨ () ≗ = (0) = 1 · = (0) + − + + < () = 2+< (0) = 2 + 0
−−ℨ|()| |(0)|| [0,1]= | = | | →+(1+(0))+ −ℨ() =

Osserviamo che a seconda che il modulo di decresca, l'onda può decadere lungo z.

+|()| |= ||1 + ()|

Massimo:

• (0) = 0
• Minimo:() =

NOTA BENE: Al variare di z ruota ma non aumenta() 7

ROS / VSWR

Rapporto d’Onda Stazionaria (ROS)
Voltage Standing Wave Ratio (VSWR)

|()| ||1 + ≗ =|()| ||1 −ROS ||1 01∞ 8

Lezione del 12/03/2025

Proviamo a calcolare la tensione su un circuito aperto, se = 0 () = ()0

Notiamo che sarà un modulo del coseno con una periodicità spaziale .

|()| |(0)||cos()|() = () = =0 = 2 = 2 = 0 2
{ { {=0 = = +⁄

Quindi: in cui 2|()| = 0 ⇒ = + = = · + = + ℨ ≤ 0⁄ 2 2 2 2 4 2

Ora supponiamo di avere un carico generico:

In cui: 0(0) = · (0) () = cos() − ( ) 0 0
+ − + = (0)
Per z=0 { + − − = (0) 0 0
+ − + −(0) + + 1+(0)

Quindi: = = = = 0 0+ − + −(0) − 1−(0)−0 0 −

Quindi: 0(0) = + 0

Nel caso il carico non è situato alla fine:

− () − () 0 0
() = = 0 + ()1 − () 0 0 9

Lezione del 14/03/2025

Riprendiamo la formula del trasporto nel quale visualizzo (virtualmente) l’impedenza in un altro punto

+ () 0 = 0 + ()0

Cosa succede se applico questa formula al cortocircuito? = 0 ℨℨ = () 0

Ottengo dunque una reattanza ovvero un valore immaginario puro.

Nel caso invece di Circuito aperto 0 = ∞ ℨℨ = − () → ∞ → 0

Quindi se { { = 0 = ∞

Quindi possiamo notare delle trasformazioni a una distanza in cui il cortocircuito si = 4 trasforma in circuito aperto e viceversa poiché i periodi sono 2

Ora vediamo la teoria degli adattamenti nella quale grazie ad una parte aggiuntiva nel cavo possiamo fare in modo che nel carico venga fornita la massima dissipazione senza far tornare indietro il segnale.

Vediamo che e la distanza d che sarebbe la , 1 1 lunghezza del riquadro rosso che valori dovrebbero assumere per far diventare () = 0 + ( ) 1 1 = = 1 0 + ( )1 112 = = ℨℨ = √ 0 1 0

Questo prende il nome di trasformatore di impedenze lungo calcolato in base a 14

Posso anche andare ad usare il metodo della razionalizzazione arrivando a :

2 2( ()) (1 + )) + (1 − + ()( − ) 0 0 0 = 0 2 2 2 ()( − ()) + 0

Anche se andassimo a mettere la parte immaginaria = 0 non funziona dovrei andare ad aggiungere uno STUB ovvero una parte di circuito in cui sia presente un circuito aperto.

Quindi è fattibile se: 022 2 − 2 + + ≥ 0 0 10

Lezione del 18/03/2025

Un generatore non è progettato per ricevere onde, quindi è dotato di un isolatore unidirezionale che ne impedisce l’ingresso, proteggendo così il circuito da eventuali interferenze o riflessioni indesiderate. Per studiare questo circuito complesso posso facilmente applicare dei morsetti prima della giuntura (riquadro rosso) così da vedere un’impedenza . A questo punto cos’è⃗ = ⃗?0

È semplicemente una con in serie uno stub.

Quindi :1 in cui jX è un’ammettenza dello stub.
⃗ = = + 0 ) + ( 0
11 = 0 ) + (0 1

Ora arriviamo ad un circuito di questo tipo: ∗

In cui: =

Quindi avremo un Thevenin/Norton − 0= + 0

Per trovare la mi faccio aiutare da un generatore virtuale specifico andando a spegnere tutti ℨ quelli esistenti, quindi avrò:

+ − − () = + (ℨ ℨℨè ℨ ∞)0 0
+ − − +() = − 0 0 0 0
+ −() 0