Appunti di Statistica III

Name: Appunti di Statistica III
Rating: 4.5 (2 reviews)
Author: Aishapodavini

Revisionato il 13/07/2026

di Aishapodavini

Publisher

Vota 4,5/5 (2)

Contenuto verificato e approvato dal Team di Esperti di Skuola.net

- Modelli lineari generalizzati: fondamenti, inferenza, diagnostica.- Modelli per risposta continua.- Modelli per risposta binomiale.- Modelli per risposta poisson.- Regressione non parametrica: …

Esame Statistica III

Facoltà Scienze statistiche

Dal corso del Prof. Migliorati Sonia

Università Università degli Studi di Milano - Bicocca

A.A. 2020-2021

83 pagine

Appunti esame

Scarica

Estratto del documento

Modelli di regressione non lineare

GLM (Generated Linear Models)

Regressione non parametrica

LMY = Xβ + ε
ε ~ Nn (0; σ²I)
Y = vettore aleatorio
X = matrice del disegno
β = parametri ignoti
ε = componente erratica non osservabile
N0 = normale di variata
σ² = scalare (omoschedasticità)
I = matrice identità (incorrelazione degli errori)

Riscrivo:

Y_i = β₀ + β₁X_i-1 + ... + β_rX_ir + ε_i
X’_i = i-esima riga di X
Riscrivo il modello come ci serve
X’_i = m_iε[y_i ]Y_i /NN (z_i; σ²)

Restritivo:

y_i = f (X_i, β) + ε_i
Linearità?
Omoschedasticità?
Incorrelazione?
Normalità?

(Graph with axis labeled y_i and x_i)

Modelli di regressione non lineare

GLM (Generated Linear Models)
Regressione non parametrica

LMy = Xβ + ε
ε ∼ Nn (0; σ²I)
Osservabile
y = vettore aleatorio
X = matrice del disegno
Quantità note
β = parametri ignoti
ε = componente erratica non osservabile
N0 = normale di variata
σ² = scalare
I = matrice identità

Riscrivo:

Y₁ = β₀ + β₁ X_i,1 + ... + β_r X_i,r + ε_i
Y₁ = X'i β + ε_i
X' = i-esima riga di X
Riscrivo il modello come ci serve
Y_i = M_i E[Y_i]

Restringo:

y_i = f (X_i, β) + ε_i
Linearità?
Omoschedasticità?
Incorrelazione?
Normalità?

GLM

Y_n ∈ DE₁
Normal
Bernoulli
Binomiale
Poisson
Gamma
A non usare

LM → ξ_i = μ_i
g = funzione nota, monotona, derivabile
g = link function (Niorione Egamme)

Nota storica

Alcuni modelli esistevano sin '70
Dopo '70 → teoria unificata GLM (1972)
Riassunta nel libro monografia McCullagh-Nelder 1939

Osservazioni

N è DE₁
Binary Logit Model
Si usa risposta dicotomica
Inadeguatezza LM
Supporto Y_i non è R
ε_i = 0 ⇒ E(Y_i)
LM ⇒ Y_i ≠ Y_i + ε_i
L(0;α²)

Y_i Bernoulli (α_i)
Y_i ~ Bernoulli (α)
Y_i = α_i + ε_i

Se Y_i = 1 → ε_i = 1-Q_i (X_i1, ..., Xik) con probabilità Q_i (X_i1, ..., Xik)
Se Y_i = 0 → ε_i = -Q_i (X_i1, ..., Xik) con probabilità 1-Q_i (X_i1, ..., Xik)

Specificare un GLM

Bernoulli sia DEI
g(μ_i) = η_i
g noti

Scelta di g:

α_i ∈ (0,1) → Prob. successo
Q_i ∈ (0,∞)
1-Q_i → Prob. insuccesso

log ^α_i/_{1-α_i} ∈ R
logit (α_i) = g(α_i)
y_i ~ Be (α_i)
logit α_i = β₀ + β₁ x_i
g = logit
g^-1 => log ^α_i/_{1-α_i} = β₀ + β₁ x_i
^α_i/_{1-α_i} = e^{β₀ + β₁ x_i}
α_i = e^{β₀ + β₁ x_i} (1-α_i)
α_i = ^{e^{β₀ + β₁ x_i}}/_{1 + e^{β₀ + β₁ x_i}} => g^-1 (m_i)

Stima (Max verosimiglianza)

Funzione di verosimiglianza

y_i ~ Be (α_i)
L (α₁,..., α_n) = ∏_i=1ⁿ α_i^y_i (1-α_i)^1-y_i

Funzione log verosimiglianza

L (θ) = log L (α) = ∑_i=1ⁿ [ y_i log α_i + (1-y]

Anteprima

Vedrai una selezione di 18 pagine su 83