Appunti di Statistica elementare per lauree sanitarie

APPUNTI DI STATISTICA ELEMENTARE

PER LAUREE SANITARIE

G. Migliaretti

Facoltà di Medicina e Chirurgia

Università di Torino Torino, settembre 2026

II

Prefazione

Appunti di Statistica Elementare desiderano fornire una semplice introduzione ai concetti di

base della statistica medica.

Precisiamo fin da ora che il presente testo non vuole sostituirsi ai molti testi presenti in

letteratura, ai quali si dovrà fare costante riferimento per gli opportuni approfondimenti, ma ha il

solo scopo di agevolare gli studenti iscritti ai primi anni del Corso di Laurea in Medicina e

Chirurgia o a una Laurea Sanitaria nello studio di una materia spesso non facilmente

assimilabile. Nel testo si è cercato di presentare i concetti fondamentali della statistica di base

mediante parole (si spera) semplici e di facile interpretazione, anche per un lettore che si

avvicina per la prima volta alla materia. Gli argomenti presentati teoricamente sono corredati da

esempi pratici e da esercizi svolti, allo scopo di chiarire e approfondire concetti spesso non

immediatamente comprensibili.

Il presente testo non deve, quindi, essere considerato un riferimento assoluto nello studio della

Statistica, ma solamente un supporto pratico che permetta di ripercorrere brevemente quanto in

precedenza studiato su testi specifici.

Alla fine del testo viene inoltre riportata la bibliografia dei principali testi di statistica

elementare per discipline mediche, ai quali si potrà fare riferimento per gli approfondimenti

necessari. Prof. Giuseppe Luigi Migliaretti

Facoltà di Medicina e Chirurgia,

Università degli Studi di Torino

Qualunque consiglio o critica utile ad un miglioramento del lavoro sarà sempre ben accetto.

(email: giuseppe.migliaretti@unito.it)

III

IV

INDICE

1. ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ................................................................................................... 1

1.1. La Statistica nella Ricerca Clinica ............................................................................................................. 1

1.2. Sintesi dei Concetti Fondamentali di Statistica .......................................................................................... 4

1.3. Metodi di Statistica Descrittiva .................................................................................................................. 8

1.3.1. Analisi Descrittive per Variabili Qualitative ......................................................................................... 9

1.3.2. Analisi Descrittive per Variabili Quantitative ..................................................................................... 12

1.3.3. Esempio pratico ................................................................................................................................... 15

1.4. APPENDICE ........................................................................................................................................... 17

1.4.1. “Storia” della Deviazione Standard ..................................................................................................... 17

1.4.2. Relazioni tra indicatori di sintesi per variabili quantitative e qualitative ............................................ 17

1.5. Questionario di autovalutazione............................................................................................................... 18

1.6. Esercizi .................................................................................................................................................... 20

2. INTRODUZIONE AL CALCOLO DELLE PROBABILITA’ .......................................................................... 27

2.1. Introduzione ............................................................................................................................................. 27

2.2. Fondamenti del Calcolo Combinatorio e Probabilità ............................................................................... 27

2.3. APPENDICE ........................................................................................................................................... 32

2.4. Esercizi .................................................................................................................................................... 34

3. CURVE DI DISTRIBUZIONE........................................................................................................................... 36

3.1. Distribuzione Normale ............................................................................................................................. 38

3.2. Simmetria e Curtosi ................................................................................................................................. 39

3.3. Area sotto la curva e probabilità di un evento .......................................................................................... 39

3.4. Deviata Standardizzata e Probabilità di un Evento .................................................................................. 40

3.5. Questionario di autovalutazione............................................................................................................... 41

4. ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE .............................................................................................. 43

4.1. Concetti fondamentali .............................................................................................................................. 43

4.2. Test di Ipotesi........................................................................................................................................... 46

4.3. Significatività Statistica e Probabilità di Errore ....................................................................................... 47

4.3.1. Esempi di utilizzo dei Test di Ipotesi .................................................................................................. 52

4.4. Numerosità campionaria .......................................................................................................................... 52

4.4.1. Esempio pratico del Calcolo della Numerosità Campionaria .............................................................. 53

5. INTRODUZIONE ALLA STATISTICA INFERENZIALE DI BASE .............................................................. 59

5.1. Deviata standardizzata Z .......................................................................................................................... 59

5.2. Teorema del Limite Centrale ................................................................................................................... 60

5.2.1. Test Z .................................................................................................................................................. 61

5.2.2. Test t-Student ...................................................................................................................................... 62

5.2.3. Test F (Analisi della Varianza one way) ............................................................................................. 65

5.2.4. Esempio pratico di applicazione di Test di Ipotesi Parametrici .......................................................... 67

2

5.3. Metodi Inferenziali per Variabili Qualitative: Test Z per Proporzioni ................................................... 70

 2

5.3.1. Test ................................................................................................................................................. 71

5.3.2. Esercizio pratico .................................................................................................................................. 74

5.4. Metodi Inferenziali Non Parametrici per Variabili Quantitative .............................................................. 75

5.5. Questionario di autovalutazione............................................................................................................... 79

5.6. Esercizi .................................................................................................................................................... 83

6. INTERVALLI DI CONFIDENZA ..................................................................................................................... 88

6.1. Introduzione ............................................................................................................................................. 88

6.2. Intervalli di Confidenza per le Medie ...................................................................................................... 90

6.2.1. Intervallo di Confidenza di una Media ................................................................................................ 90

6.2.2. Intervallo di Confidenza per Dati Indipendenti ................................................................................... 91

6.2.3. Intervallo di Confidenza per Dati Appaiati ......................................................................................... 92

6.3. Intervalli di Confidenza per Proporzioni .................................................................................................. 93

6.3.1. Intervallo di Confidenza di una Proporzione....................................................................................... 93

6.3.2. Intervallo di Confidenza per la Differenza tra Proporzioni ................................................................. 94

7. INTRODUZIONE AI MODELLI DI REGRESSIONE ..................................................................................... 99

7.1. Correlazione ............................................................................................................................................. 99

7.2. Retta di Regressione .............................................................................................................................. 101

8. ESERCITAZIONI FINALI ............................................................................................................................... 110

9. BIBLIOGRAFIA .............................................................................................................................................. 123

V

VI

1. ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA

1.1. La Statistica nella Ricerca Clinica

Razionale degli Studi Clinici

L’analisi statistica, in particolare se applicata agli studi clinici, è strutturata in tre fasi essenziali:

1. Identificazione della Popolazione di riferimento

2. Definizione del campione da studiare,

3. Rilevazione delle informazioni necessarie allo studio,

4. Descrizione del campione sulla base delle informazioni rilevate

5. Generalizzazione dei risultati alla popolazione da cui il campione è stato estratto.

Se il campione in studio non è rappresentativo della popolazione di riferimento, si otterranno dei

risultati non attendibili e nessun metodo statistico potrà fornire informazioni utili.

A causa della variabilità casuale rilevabile in un campione, uno studio, anche se ben pianificato,

può darci solo un’idea della risposta cercata; in altre parole i risultati ottenuti dallo studio di un

singolo campione sono condizionati da una ‘incertezza statistica’ strettamente legata alla

dimensione del campione in studio.

Un esempio di analisi statistica su dati campionari potrebbe essere per esempio il calcolo della

pressione arteriosa sistolica media in un gruppo di maschi e in un gruppo di femmine oppure il

calcolo della differenza tra la proporzione di migliorati in due gruppi di pazienti trattati con

regimi terapeutici diversi. Le quantità calcolate saranno quindi stime, più o meno precise, dei

valori relativi alla popolazione da cui i gruppi sono stati estratti; fortunatamente però tale

imprecisione può essere stimata mediante opportuni metodi statistici ed entrare a far parte della

presentazione dei risultati.

Introduzione ai Metodi di Statistica Descrittiva ed Inferenziale

I metodi statistici permettono di studiare una popolazione passando attraverso alcuni stadi che

possono essere sintetizzati in:

 estrarre dalla popolazione in studio un campione rappresentativo (Campionamento),

 trarre dal campione una serie di informazioni (Rilevazione dati),

 descrivere le informazioni rilevate sul campione (Statistica Descrittiva),

 approssimare la distribuzione che le informazioni potrebbero assumere nella Popolazione di

riferimento (Curve di Distribuzione),

 generalizzare, sulla base delle stime effettuate sul campione, quanto accade sulla popolazione

da cui il campione è stato estratto (Statistica Inferenziale).

1

Con il seguente schema si cerca di sintetizzare il processo di rilevazione, analisi statistica dei

dati e discussione dei risultati.

P o p o la z io n e E s t r a z io n e C a m p io n e

I n t e r p r e t a z io n e e d e s t r a p o la z io n e

a lla p o p o la z io n e O s s e r v a z io n e e

r ilie v o d e i d a t i

1 1 2 7 9 11 4

2 6 5 8 9 0 1

R ISU LTA TI 3 ……………………

4 … … … … … … … ..

E la b o r a z io n e . … … … … … … … ..

n …………………… .

La fase di “Elaborazione” comprende tre ulteriori fasi: le analisi descrittive la stima della



curva di distribuzione le analisi inferenziali.



Come si può notare, la Statistica, come tutte le scienze basate su un ragionamento logico-

matematico, deve essere studiata cercando di non perdere di vista la continuità del

ragionamento. Ogni argomento affrontato si basa su una serie di nozioni e fondamenti acquisiti

in precedenza; in particolare, anche la più evoluta metodologia di analisi statistica è difficile da

sostenere, se non supportata da adeguate analisi elementari.

Rilevazione e Informatizzazione dei dati raccolti

Il metodo ancora oggi più utilizzato per la rilevazione delle informazioni è il questionario

cartaceo, più pratico da gestire e compilare in sede di intervista. In alcuni casi si utilizzano altri

strumenti più evoluti, che, mediante la compilazione di opportune schede informatizzate,

permettono di risparmiare tempo, a discapito però di una maggior spesa per la gestione della

ricerca. I dati raccolti e ‘informatizzati’ sono ordinati in una matrice composta da una serie di

righe e di colonne: ciascuna riga identifica un soggetto e ciascuna colonna l’informazione

rilevata. La matrice prende il nome di data-base e il processo di caricamento dati prende il nome

di data-entry. La Tabella A presenta un esempio di base dati relativa alla pressione sistolica

(PAS), diastolica (PAD), sesso, stato civile e giudizio personale sull’efficacia della terapia,

rilevati su un campione di 27 soggetti sottoposti a due trattamenti con anti-ipertensivi diversi

(Trattamento 1 e Trattamento 2). 2

I dati presentati saranno utilizzati negli esempi riportati nei capitoli successivi.

Tabella A - Tabulazione dei dati rilevati nello studio sull'effetto di un antiipertensivo.

PAS (Pre- PAD (Pre- PAS (Post- PAD (Post- Giudizio sul

Paziente Trattamento Sesso Stato civile trattamento) trattamento) trattamento) trattamento) trattamento

1 1 1 1 180 105 145 90 1

3 1 2 1 175 110 150 90 1

4 1 2 2 178 105 140 85 2

7 1 1 2 190 95 155 90 2

9 1 2 2 200 110 145 90 1

11 1 1 1 160 105 130 75 2

12 1 1 1 175 100 140 80 2

13 1 1 1 170 100 130 85 1

16 1 2 2 152 105 145 85 1

17 1 1 3 165 95 140 75 2

18 1 2 3 170 90 120 80 1

21 1 1 1 185 108 150 85 1

22 1 1 1 180 110 135 85 1

28 1 1 1 190 100 140 85 2

2 2 1 3 179 110 170 100 2

5 2 2 3 175 110 165 95 2

6 2 2 3 185 120 180 110 3

8 2 1 2 190 100 195 100 3

10 2 1 1 200 100 180 100 2

14 2 1 2 180 95 170 95 3

15 2 2 3 170 95 165 95 3

19 2 2 3 170 110 180 105 2

20 2 2 3 160 95 170 95 2

23 2 1 3 160 100 165 98 1

24 2 2 1 180 105 175 105 1

25 2 1 1 185 100 180 100 2

26 2 1 1 180 110 180 110 2

27 2 1 3 185 100 190 100 3

Codifiche:

Sesso: 1=Maschi, 2=Femmine Stato civile: 1=Single, 2=Convivente, 3=Sposato

Giudizio sul trattamento: 1=Scarso, 2=Sufficiente, 3=Buono

3

1.2. Sintesi dei Concetti Fondamentali di Statistica

Allo scopo di semplificare la comprensione dei metodi di analisi descrittiva e inferenziale trattati

nelle sezioni seguenti, nel presente paragrafo sono presentati, in modo molto schematico, alcuni

dei concetti fondamentali utilizzati in Statistica.

Popolazione

L’insieme di tutti i soggetti oggetto dello studio definiscono una popolazione.

Una popolazione non deve essere necessariamente composta da un numero elevato di soggetti,

deve però contenere tutti coloro che rispecchiano le caratteristiche alla base dello studio.

Per esempio tutti i pazienti ricoverati nell’ospedale di Novara nel periodo 1 ottobre 1999 – 31

ottobre 1999 costituiscono una popolazione nel caso di uno studio sui pazienti ricoverati

all’ospedale di Novara nel mese di ottobre del 1999, ma sono solamente una piccola parte di una

popolazione, nel caso di uno studio su tutti i pazienti ricoverati negli ospedali del Piemonte nel

mese di ottobre 1999.

Campione Rappresentativo

Ogni indagine statistica ha come obiettivo lo studio di una popolazione.

Sarebbe molto difficile e poco efficace (nonché economicamente poco conveniente) gestire

un'indagine condotta su un'intera popolazione. E’ quindi necessario esaminare un sottoinsieme

costituito da soggetti che la rappresentino al meglio, in modo da poter generalizzare all’intera

popolazione i risultati ottenuti dal campione.

Questo sottoinsieme deve avere però due caratteristiche fondamentali:

 numerosità adeguata (da definirsi sulla base della popolazione di origine e del tipo di

studio);

 struttura (per età, sesso ecc.) il più possibile simile alla struttura della popolazione.

Un sottoinsieme così costituito prende il nome di Campione Rappresentativo della popolazione.

Stima

Ogni risultato ottenuto dallo studio del campione è utile per trarre (quando possibile) delle

deduzioni sulla popolazione d'origine, cioè serve a stimare quello che accade nella popolazione

di riferimento. Il concetto di stima è alla base della Statistica.

Studiare un campione poco rappresentativo porterebbe sicuramen