Appunti della terza lezione di Istituzioni di matematiche e fondamenti di biostatistica

Valore in R

Sia a &in; ℜ, si chiama valore assoluto (o modulo) |a| = a se a≥0 |a| = -a se a<0

Esempio

|2| = 2 |-3| = (-3) = 3

Proprietà

∀ a,b &in; ℜ

1. |a|≥0 &Rightarrow |a| = a &Rightarrow |a| = -a
2. |a| = |-a| a ≤ |a| a ≥ |a|
3. |a+b| ≤ |a|+|b| → disuguaglianza triangolare
4. |a| - |b| ≤ |a - b|
5. |x| ≤ a ↔ -a ≤ x ≤ a

|x|≤a ↔ -a≤x ≤a ↔ ∀x≥0 ovvero(≤x ≤a)∪(a;&plus;∞)        Se a≥0

Se invece a≥0 : -a≤x≤a∀x &in; ℜ

Perché |.| è sempre positivo

Distanza in R

Siano x,y,z &in; ℜ si definisce distanza in ℜ d (x;y) = |y - x|

Esempio

d (2,3) = |3-(-2)| = |5| = 5 = 2 —3 | | —3 | | 5 |= |3| = |-— 3| = |5|

Proprietà

1. 0 ≠ d (x,y) = 0 ↔ x,y,z &in; ℜ
2. d (x,z) ≠ 0
3. d (x,z) ≤ d (x;y) + |d (y ;x) + d (y ;x)| &Rightarrow disuguaglianza triangolare
4. d (x,y) = d (y ;x)

Def. l'insieme sferico di centro x_c e raggio r >0 l'insieme di _I^x,r = { x &in; ℜ d (x,x_c) ≤ r } = {x &in; _{x^q, x^q}}

Valore in R

Sia a &in; R, si chiama valore assoluto (o modulo) |a| = a, a≥0 |a| = -a, a<0

Esempio

|2| = 2 |-3| = (-3) = 3

Proprietà

∀ a,b &in; R

1. |a| ≥ 0 ↔ a ≥ 0
2. |-a| = |a| a ≤ |a| a ≥ -|a|
3. |a+b| ≤ |a|+|b| → disuguaglianza triangolare
4. |a| - |b| ≤ |a-b|
5. |x| ≤ a ↔ -a ≤ x ≤ a

|x| ≤ a ↔ -a ≤ x ≤ a ↔ ∀x &in; R

Insieme sferico

0) t.c. I_(xc) ⊂ A

Punto esterno ad A se x_c punto interno a A^c, cioè se ∃I_(xc) (r > 0) t.c. I_(xc) ⊂ A^c

Punto di frontiera per A se ∀ I_(xc), (r > 0) si ha che I_(xc) ∩ A ≠ ∅ e I_(xc) ∩ A^c ≠ ∅

Nozioni

∂A = frontiera di A {x ∈ ℝ | x ∈ di frontiera per A}

A' ={x ∈ ℝ | x ∈ accumulamento per A} = derivato di A

A° = {x ∈ ℝ | x interno ad A} = insieme dei punti interni ad A

O > S

1. Un punto di accumulazione per A non deve necessariamente appartenere ad A
2. ∂A contiene solo punti di accumulazione per A e punti isolati
3. Se x c è un punto di accumulazione per A e x c ∉ A, allora x c ∈ ∂A

Esempio

A = {1, 3} ∪ {l₂}'D₁, {1, 3}4 = punto isolato

A° = punti interni

A'{l₂} di cui estremi sono punti di frontiera

Punti esterni ad A = (-∞, 1) ∪ (3, l ₂) ∪ (l₂, +∞)

A = ℤ + ( 1 / n ) n ∈ ℕ⁺ z costituito da punti isolati

D_i (A) = ℚ ∅Ā= ℤ ∪ ℚ

Punti esterni = ℝ \ (Ā ∪ ℚ)

ℒ(A = (-∞,2) ∪ ℚ ∪ [3,5) ∪ (5; +∞)

Ẵ = (-∞,2] ∪ [3,5]

PUNTI ESTERNI DI Ā = (2,3) ∪ (3,5)

D_i (Ā) = (-∞,2[ ∪ (5,+∞)

PUNTI ISOLATI = ℤ ∪ ℚ

oss. Siano a