Metodo delle equazioni alle maglie
In questo appunto espongo le principali regole per la risoluzione dei circuiti in continua con le equazioni di Kirchhoff con un semplice esempio, partendo dal presupposto che si conoscano già le principali leggi dell’elettrotecnica.
Verso della corrente e polarità dei bipoli
La polarità di un bipolo è strettamente correlata alla tensione presente ai suoi capi, in quanto stabilisce quale dei suoi capi ha il potenziale più alto.
Quella che assumono i resistori dipende dal verso delle correnti.
Nei bipoli attivi (generatori di tensione o di corrente) le direzioni delle correnti e le polarità non sono necessariamente legate. Solo se nel circuito è presente un solo bipolo attivo la corrente esce sempre dal polo positivo.
Generatore di corrente
Impone il valore della corrente (I) e il suo verso nel ramo in cui è presente, mentre assume la polarità e la tensione (indicata con la lettera V) ai suoi capi in base alle caratteristiche del circuito.
Generatore di tensione
Indipendentemente dal resto del circuito, impone ai suoi capi una caduta di tensione (indicata con la lettera E) e quindi una polarità, mentre il valore e il verso della corrente che attraversa il ramo in cui è inserito dipende dalle caratteristiche del circuito.
Maglia
È una serie di rami che costituiscono un anello chiuso. Nell’esempio sotto sono evidenziate quattro maglie.
Principali regole
Nel caso più comune in un circuito conosciamo le d.d.p. (E) e le polarità sui generatori di tensione, le correnti nei rami dove c’è il generatore di corrente, le resistenze. Calcoleremo quindi le correnti non imposte e le tensioni (V) sui generatori di corrente.
- Ipotizziamo i versi delle correnti, esclusi i rami che contengono il generatore di corrente (a meno che il valore e il verso di quest’ultimo non siano incogniti).
- Stabiliamo a piacere anche la polarità sui generatori di corrente. Lo stesso vale anche per la polarità del generatore di tensione, qualora la sua d.d.p. sia incognita.
- Scegliamo le maglie e i nodi da considerare, tenendo presente che dovremo avere tante equazioni quante incognite.
- Per quanto riguarda le equazioni alle maglie, immaginiamo di percorrere ciascuna di esse in senso orario o antiorario. In base alla polarità con cui incontriamo ciascun bipolo, scriveremo la sua tensione con segno positivo o negativo. Applichiamo quindi il II principio di Kirchhoff e, per le tensioni sui resistori, la legge di Ohm.
- Per scrivere le equazioni ai nodi applichiamo il I principio di Kirchhoff.
Le equazioni alle maglie
La risoluzione di un circuito elettrico consiste nel determinare i valori delle correnti che circolano nei vari rami e dei potenziali presenti nei vari punti del circuito. Per fare questo si utilizzano diversi metodi che si basano sulle leggi fondamentali di Ohm e di Kirchhoff.
Il metodo dei partitori è più intuitivo e consiste nel calcolare la resistenza equivalente serie-parallelo e, se necessario, stella-triangolo. Tuttavia non può essere usato nei circuiti particolarmente complessi. In questi casi è obbligatorio utilizzare il metodo delle equazioni alle maglie e ai nodi.
Dopo aver dato uno sguardo veloce alle principali leggi dell’elettrotecnica e alle principali definizioni, in questo appunto espongo questo metodo.
Legge di Ohm: la tensione (o differenza di potenziale) presente ai capi di un resistore è pari al prodotto tra la corrente che lo attraversa e il valore della sua resistenza.
1° principio di Kirchhoff (equazioni ai nodi): la somma delle correnti entranti è uguale alla somma delle correnti uscenti da un nodo.
2° principio di Kirchhoff (equazioni alle maglie): la somma algebrica delle tensioni ai capi dei componenti presenti in una maglia è nulla.
I bipoli attivi sono i generatori di tensione e i generatori di corrente. I generatori di tensione impongono una differenza di potenziale ai loro capi, mentre i generatori di corrente impongono appunto il valore e il verso della corrente nei rami in cui sono contenuti.
Nella maggior parte dei casi in un circuito si conoscono le d.d.p. e le polarità imposte dai generatori di tensione, le correnti imposte dai generatori di corrente, i valori delle resistenze. Quindi bisogna calcolare le correnti non imposte, le d.d.p. sui generatori di corrente.
In alcuni casi però possiamo avere tra le incognite la d.d.p. (detta anche c.d.t.) su un generatore di tensione, la corrente erogata da un generatore di corrente, oppure una resistenza.
Nel primo caso quindi ipotizziamo i versi delle correnti non imposte, di conseguenza la polarità delle resistenze casomai percorse da tali correnti, nonché la polarità dei generatori di corrente.
Scegliamo i nodi e le maglie da considerare e per queste ultime stabiliamo un verso di percorrenza orario o antiorario. In base alle polarità imposte o ipotizzate scriviamo quindi le equazioni alle maglie; ciascun termine dell’equazione andrà scritto con segno positivo o negativo a seconda della polarità con cui incontriamo il relativo bipolo, percorrendo la maglia nel verso stabilito.
In base ai versi imposti o assegnati a piacere scriviamo le equazioni ai nodi; per ciascun nodo scriviamo le correnti entranti da una parte del segno uguale, le correnti uscenti dall’altra.
Una volta risolto il sistema correggiamo i versi delle correnti negative (di conseguenza le polarità dei resistori casomai interessati) e le polarità dei generatori di corrente, la cui d.d.p. risulti negativa.
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