Elettromagnetismo (ebook)

Nazario Magnarelli

Elettromagnetismo

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Foto: Electromagnetic di jjjohn

N. Magnarelli Elettromagnetismo MATEMATICAMENTE.IT

Ringrazio l’amico Prof. Carlo Sintini per i suoi utili consigli, per i suggerimenti e la cura da lui posta nella scrittura del testo e nell’esecuzione delle figure.

Il presente libro è rilasciato nei termini della licenza Creative Commons Attribuzione - Non opere derivate 2.5 Italia

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A mia figlia Flora che mi ha sempre incoraggiato ad ordinare e raccogliere questi argomenti di Fisica.

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Prefazione

In questo volume sull’Elettromagnetismo abbiamo esposto i principali argomenti della disciplina dando una trattazione chiara, esaustiva e di agevole consultazione degli stessi. I vari teoremi sono stati dimostrati spiegando accuratamente i procedimenti matematici di cui la Fisica si avvale. Ciò permetterà al lettore di intraprendere lo studio dell’Elettromagnetismo rimuovendo subito dubbi e difficoltà iniziali, e gli consentirà di approfondire la sua preparazione su altri testi di Fisica.

A parziale completamento del presente lavoro, la propagazione delle onde elettromagnetiche nello spazio e lo studio delle leggi che Maxwell ha posto a base della corrispondente teoria saranno trattati in un altro volume.

Latina, Aprile 2003 Nazario Magnarelli

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Bibliografia

• 1) E. Perucca, Fisica generale voll. I e II, UTET.
• 2) E. Amaldi – Fisica sperimentale parte II – Litografia Marves - Roma
• 3) C. Mencuccini – V. Silvestrini, Fisica II, Liguori Editore - Napoli.
• 4) D. Sette, Lezioni di Fisica vol. III, Veschi – Roma.
• 5) A. Rostagni, Fisica generale, Vol. II parte 1 – UTET.
• 6) G. Cortini – S. Sciuti, Apparecchi di Fisica – Libreria Veschi, Roma.
• 7) A. Caforio – A. Ferilli, Physica voll. II e III, Le Monnier.

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Indice

Prefazione ......................................................................................................................... IV

Bibliografia ..................................................................................................................... VI

Indice ....................................................................................................................................... 7

Capitolo 1: Elettricità ............................................................................................................ 9

1.1 Legge di Coulomb ....................................................................................................... 9

1.2 Concetto di campo elettrico ....................................................................................... 11

1.3 Lavoro del campo elettrico generato da una carica puntiforme e potenziale del campo. 12

1.4 Carattere irrotazionale del campo elettrico ............................................................... 15

1.5 Alcune considerazioni sul gradiente di una funzione scalare.................................... 18

1.6 Potenziale di un punto di un campo elettrico ed energia potenziale. ....................... 20

1.7 Dipolo elettrico .......................................................................................................... 22

1.8 Azioni meccaniche sui dipoli elettrici posti in un campo elettrico esterno. .............. 28

1.9 Energia di un campo elettrostatico. ........................................................................... 30

1.10 Dimostrazione elementare della formula del lavoro elettrico. ................................ 32

1.11 Flusso del vettore campo elettrico attraverso una superficie chiusa (Teorema di Gauss) .............................................................................................................................. 34

1.12 Spostamento delle cariche elettriche in un campo elettrico o in un conduttore ...... 37

1.13 Superfici equipotenziali del campo elettrico ........................................................... 38

1.14 Alcune considerazioni sul significato di gradiente ................................................. 41

1.15 Campo elettrico e potenziale di un conduttore in equilibrio elettrostatico.............. 42

1.16 Potenziale e campo elettrico di una sfera elettrizzata.............................................. 43

1.17 Campo elettrico generato da un distribuzione superficiale di cariche..................... 45

1.18 Gli integrali nel calcolo dell’intensità dei campi elettrici ....................................... 47

1.19 Teorema di Coulomb ............................................................................................... 50

1.20 Pressione elettrostatica ............................................................................................ 51

1.21 Potere dispersivo delle punte ................................................................................. 53

1.22 Capacità elettrica di un conduttore isolato .............................................................. 54

Capacità di una sfera isolata.............................................................................................. 55

1.23 Elementi da cui dipende la capacità di un conduttore ............................................. 55

1.24 L’elettroscopio come elettrometro .......................................................................... 59

1.25 Condensatori elettrici .............................................................................................. 61

1.26 Elettroscopio condensatore di Volta ....................................................................... 63

1.27 Energia di un condensatore ..................................................................................... 64

1.28 Energia di un condensatore; II° metodo. ................................................................. 65

1.29 Elettrometri .............................................................................................................. 67

1.30 Procedimento elementare per la determinazione dei potenziali .............................. 71

1.31 Scarica di un condensatore attraverso una resistenza. ............................................. 72

1.32 Carica di un condensatore attraverso una resistenza. .............................................. 73

Corrente continua ............................................. Errore. Il segnalibro non è definito.

1.33 Energia di una corrente continua ed effetto Joule ................................................... 74

Potenza di una corrente continua ...................................................................................... 74

1.34 Legge di Ohm per un circuito chiuso ..................................................................... 75

1.35 Leggi di Kirchhoff .................................................................................................. 76

Applicazione .................................................................................................................... 78

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Capitolo 2: Magnetismo

2.1 Campo magnetico di una calamita o di un circuito elettrico ..................................... 80

2.2 Vettore induzione magnetica B ............................................................................. 81

2.3 Azioni meccaniche esercitate da un campo magnetico su una spira percorsa da corrente ......................................................................................................................................... 83

2.4 Forza di Lorentz ........................................................................................................ 85

2.5 Legge di Biot e Savart ............................................................................................... 87

2.6 Prima formula di Laplace .......................................................................................... 88

2.7 Campo magnetico nel centro di una spira ................................................................. 90

2.8 Campo magnetico sull’asse di una spira ................................................................... 91

2.9 Campo magnetico in un punto interno ad un solenoide ............................................ 92

2.10 Sulla proprietà fondamentale del campo di induzione magnetica ........................... 94

2.11 Elettrodinamometro assoluto ................................................................................... 95

2.12 Circuitazione di un vettore ...................................................................................... 96

2.13 Teorema della circuitazione di Ampère (prima parte) .......................................... 98

2.14 Teorema della circuitazione di Ampère (seconda parte) ........................................ 99

Linea chiusa non concatenata ......................................................................................... 100

2.15 Espressione differenziale del teorema della circuitazione di Ampère .................. 101

2.16 Il campo di induzione magnetica entro un solenoide ............................................ 102

2.17 Momento magnetico di un magnete ...................................................................... 104

2.18 Campo magnetico di un dipolo ............................................................................. 105

2.19 Teorema dell’equivalenza di Ampère ................................................................... 106

2.20 Correnti indotte: leggi di Faraday e di Lenz ......................................................... 108

2.21 Induzione elettromagnetica e legge di Faraday-Neumann. ................................... 110

2.22 Corrente indotta e principio di conservazione dell’energia. ................................. 114

2.23 Forma differenziale della legge di Faraday-Neumann-Lenz ................................. 116

2.24 Autoinduzione ....................................................................................................... 117

2.25 Dinamo e alternatore ............................................................................................. 119

Alternatore monofase ...................................................................................................... 119

Corrente alternata ............................................................................................................ 120

2.26 La corrente elettrica in un circuito oscillante RLC .............................................. 123

2.27 Oscillazioni forzate in un circuito RLC ................................................................ 125

2.28 Potenza di una corrente alternata........................................................................... 129

2.29 Energia del campo magnetico generato da una corrente ....................................... 129

2.30 Energia del campo magnetico generato da una corrente elettrica (altra dimostrazione) ....................................................................................................................................... 131

Capitolo 3: Il galvanometro balistico

3.1 Elementi costruttivi di un galvanometro balistico ................................................... 135

3.2 Moto dell’equipaggio di un galvanometro .............................................................. 137

3.3 Uso del galvanometro balistico nella misura della corrente di scarica di un condensatore. ....................................................................................................................................... 144

3.4 Misura della costante dielettrica del vuoto per mezzo dell’elettrometro assoluto151

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Capitolo 1: Elettricità

1.1 Legge di Coulomb

Due cariche elettriche Q, q praticamente puntiformi si attraggono o si respingono con una forza che è direttamente proporzionale alle cariche e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza; cioè

(1) F = k ^Qq/^r2

Si ha repulsione se le due cariche hanno lo stesso segno, si ha attrazione in caso contrario.

Per il principio di azione e reazione, se F è la forza che Q esercita su q, F è la forza che la carica q esercita su Q (fig. 1-1)

Supponiamo che la carica Q sia positiva e sia fissa in un punto O e sia una semiretta orientata di origine O. Indichiamo con u il versore della semiretta e poniamo in un punto P di essa una carica q. Allora su di essa agisce la forza (fig. 1-2)

(2) F = k ^Qq/^r2 vers r, ove r = OP

Geometricamente si vede che questa forza è repulsiva se q > 0, è attrattiva se q < 0; pertanto la (2) ci dà la forma vettoriale della legge di Coulomb.

La componente della forza F sull’asse r, cioè la grandezza della forza in valore e segno, è data dalla relazione:

(3) F = k ^Qq/^r2, ove

F > 0 se Q e q sono concordi (forza repulsiva),

F < 0 se Q e q sono discordi (forza repulsiva).

La verifica sperimentale della legge di Coulomb è molto difficile; la sua validità è confermata soprattutto da molte leggi fisiche che scaturiscono da essa e che sono verificabili sperimentalmente.

Nella legge di Coulomb figura una costante k e una nuova grandezza fisica, cioè la carica elettrica, per la quale dobbiamo stabilire una unità di misura.

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Nel sistema di misure MKSQ si fissa in maniera arbitraria, ma opportuna, l’unità di carica elettrica, detta Coulomb (C), e quindi si determina in maniera univoca la costante k in dimensioni e in valore.

Precisamente, si dice (internazionale) quella carica che passando in un voltametro a nitrato d’argento (AgNO₃) separa, qualunque sia il tempo impiegato, mg 1,118 di argento metallico sul catodo.

Fissata in tal modo l’unità di carica elettrica, dalla (1) si ricava l’unità di misura della costante k e da altre esperienze si ricava il valore numerico che compete a questa costante. Precisamente si ha:

k = 9 · 10⁹, oppure, meglio, k = 8,98742 · 10⁹

[k] = Newton · m² / Coulomb²

con l’unità di misura MKSQ.

Una volta trovato il valore della costante k, la legge di Coulomb diventa

F = 9 · 10^{9 Qq}/^r2

e possiamo dare un’altra definizione dell’unità di carica nel sistema di misure MKSQ. Infatti, ponendo Q = q = 1 C ed r = 1 m si trova

F = 9 · 10⁹ Newton; quindi

Si dice coulomb quella carica che attrae o respinge con la forza di Newton una carica uguale, posta nel vuoto ad 1 m di distanza da essa.

Poiché questa forza è enorme, questa seconda definizione è puramente teorica.

Nel sistema es (CGS) - C:G:S: elettrostatico-, invece, si considera k come un numero puro, cioè senza dimensioni, di valore 1 e quindi si definisce l’unità di misura della carica elettrica, che si chiama Franklin.

Infatti, se nella (3) si pone k = 1, Q = q = 1 Fr ed r = 1 cm, si ottiene

F = 1 dina

e si ha la definizione:

Si dice franklin (Fr) quella carica che, posta nel vuoto ad 1 cm di distanza da una carica uguale, la attrae o la respinge con la forza di 1 dina.

Quando si considerano due cariche poste nel vuoto, la legge di Coulomb nel sistema MKSQ si scrive comunemente nella forma:

F = ¹/_4πε0 ^Qq/^r2

ove ε₀ si dice costante dielettrica del vuoto. Possiamo ricavare facilmente il valore di ε₀ e la sua unità di misura. Poiché si ha

¹/_4πε0 = 9 · 10⁹

ε₀ = 8,859 · 10⁻¹², da cui (5)

Per l’unità di misura della costante dielettrica del vuoto si ha:

[ε₀] = ^Coulomb2/_{Newton · metro²} = Farad / metro, ove il Farad è l’unità di capacità di un conduttore.

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1.2 Concetto di campo elettrico

La legge di Coulomb permette di calcolare la forza che si esercita fra due cariche elettriche puntiformi poste in un dielettrico qualsiasi ad una distanza r una dall’altra. Essa, però, non ci dà nessuna informazione sulla natura di tale forza e sul meccanismo con il quale essa si trasmette nello spazio.

In ogni caso questa forza non va interpretata come un’azione a distanza, esercitata in maniera diretta da una carica sull’altra. Dobbiamo invece pensare che nell’istante in cui forniamo, per esempio, ad una sferetta una carica elettrica Q, questa modifichi lo spazio circostante e generi un nuovo stato di cose che si dice campo elettrico. In altre parole, lo spazio geometrico si trasforma in uno spazio fisico il quale ha particolari proprietà che non possiede lo spazio geometrico.

Proprio per mezzo di questo campo la carica elettrica Q esercita la sua forza di attrazione o di repulsione su un’altra carica q - detta carica esploratrice - che rappresenta l’ente spia a mezzo del quale è possibile rivelare l’esistenza del campo elettrico. In altre parole, quando noi introduciamo la carica esploratrice q in un punto P dello spazio sufficientemente vicino alla carica Q, il campo elettrico già esiste, ma esso viene rivelato dalla forza che agisce sulla carica esploratrice q.

Naturalmente la forza F dipende dal valore della carica esploratrice e dal particolare valore del campo elettrico nel punto considerato.