Elaborato metodi quantitativi per il Marketing Mercatorum

1) Date le funzioni f(x) = 1 - ln(x+2) e g(x) = e^x

a) Determinare l'insieme di definizione

Essendo f(x) una funzione logaritmica è definita solo se il suo argomento è strettamente maggiore di 0.

f(x) = 1 - ln(x+2)

x+2 > 0

x > -2

CE (-2, +∞)

Essendo g(x) una funzione esponenziale è definita solo se la base è positiva e diversa da 1.

L'esponente inoltre è definito per x ≠ 0

g(x) = e^1/x

Base > 0

Base ≠ 1

x ≠ 0

CE: ogni valore reale ≠ 0

Trattando del numero di Neper so che 2

b) Costruire l'espressione analitica delle funzioni composte f○g(x) e g○f(x) e determinare i relativi insiemi di definizione

f○g(x) = f(gx) =1 - ln(e^1/x + 2)

[e^1/x + 2 > 0

x ≠ 0]

[e^1/x > -2

x ≠ 0]

x ≠ 0]

R (-∞, 0) U (0, +∞)

L'espressione f○g(x) è una funzione positiva quindi sempre maggiore di un numero negativo però dobbiamo tenere conto anche dell'insieme di definizione dell'esponente che è x ≠ 0.

La funzione sarà quindi definita per ogni R-{0}

g○f(x) = g(fx) =e^{1/(1 - ln(x+2))}

1 - ln(x+2) ≠ 0

-ln(x+2) ≠ -1

x+2 ≠ e

x ≠ -2

1) Date le funzioni f(x) = 1-ln(x+2) e g(x) = e^x

a) Determinare l'insieme di definizione

Essendo f(x) una funzione logaritmica è definita solo se il suo argomento è strettamente maggiore di 0.

f(x) = 1-ln(x+2)

x + 2 > 0

x > -2

CE (-2, +∞)

Essendo g(x) una funzione esponenziale è definita solo se la base è positiva e diversa da 1. L'esponente inoltre è definito per x ≠ 0.

g(x) = e^x

Base > 0

Base ≠ 1

x ≠ 0

CE: ogni valore reale ≠ 0

Trattando del numero di Nepero so che 2 < e < 3

b) Costruire l'espressione analitica delle funzioni composte f∘g(x) e g∘f(x) e determinarne i relativi insiemi di definizione

f∘g(x) = f(gx) =1-ln(e^x + 2)

e^x + 2 > 0

x ≠ 0

e^x ≠ -2

x ≠ 0

R

x ≠ 0

(-∞, 0) U (0, +∞)

L'espressione f∘g(x) è una funzione positiva quindi sempre maggiore di un numero negativo però dobbiamo tenere conto anche dell'insieme di definizione dell'esponente che è x ≠ 0.

La funzione sarà quindi definita per ogni R-{0}

g∘f(x) = g(f(x)) =e^{1⁄_1-ln(x+2)}

1-ln(x+2) ≠ 0

1-ln(x+2) ≠ -1

ln(x+2) ≠ 1 →

x > -2

Der Def. il logaritmo di 2 è l'esponente da dare alla base per ottenere l'argomento quindi:

x+2 ∈ℛ₁   x ≠ -2

L'insieme di def. di g∘f(x) è (-2, ∈-2) ∪ (∈-2, +∞)

2) Determinare il massimo e il minimo assoluti per x appartenente all'intervallo [-1,2] della funzione f(x) = ln(x₂ +1)

Dominio: x₂ +1 > 0

x₂ -1 > 0   ∀ℝ per x ∈ [-1,2]

La funzione è definita per ogni x ∈ℝ perchè l'argomento del logaritmo è una somma di due quadratic è dunque è sempre positivo

Per trovare i massimi e minimi si studia il segno della derivata prima, cioè si determinano gli intervalli in cui la funzione è crescente o decrescente (c(x) è una funzione composta del tipo y=ln[f(x)], la sua derivata è:)

f^'(x) = ^(2x)/_(x2+1)

f^'(x) >0   x>0

^(2x)/_(x2+1) >0   x>0

Dove la derivata è negativa la funzione decresce. Dove la derivata è positiva la funzione cresce. Per determinare il massimo assoluto nell'intervallo [-1,2] calcolo f(-1) e f(2)

f(-1) = ln (1+1) ≅ 0,69

f(2) = ln (2+1) = ln (3) ≅ 1,10

f(2) = ln (4+1) = ln (5) ≅ 1,60

Il punto di massimo assoluto nell'intervallo [-1,2] sarà' l'as'in corrispondenza del punto x=2. Il punto di minimo assoluto sarà' invece x=0 perchè' f(x) è crescente per x>0 e decrescente per x 0

Studio della derivata prima e punti relativi

x² + x - 6 > 0

−3 2

+−+

f(x) > 0 per x 2

f(x) dove la derivata prima è positiva f è crescente, dove è negativa f è decrescente gli eventuali massimi e minimi relativi

x= -3 x= 2

F(-3) = -9 + ⁹/₂ + 18 + 8 = 17 + ⁹/₂ = ⁴³/₂ (−3,⁴³/₂)

F(2) = ⁸/₃ + 2 − 12 + 8 = −2 + ⁸/₃ = ²/₃ (2,²/₃)

Per trovare l'ordinata del punto ho sostituito l'ascissa nella funzione

A questo punto posso dire che (−3,⁴³/₂) è un punto di massimo relativo, mentre (2, ²/₃) è un punto di minimo relativo.