Economia aziendale - Serie di Fourier

Serie di Fourier: motivazioni, costruzione, applicazioni

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Serie di Fourier – p. 1/5

Motivazioni

Problema: Scrivere una funzione come sviluppo in serie quando:

• f non è regolare (per fare lo sviluppo in serie di Taylor abbiamo bisogno che la funzione sia derivabile infinite volte).
• f T > 0, x ∈ R è periodica (ovvero esiste tale che per ogni f (x + T) = f (x) si abbia).

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Esempio

Vediamo con un disegno dell’approssimazione della funzione cos x = 1 − x²/2 + x⁴/4! + · · · in serie di Taylor.

cos x = 1

cosx = 1−x²+x⁴

Serie di Fourier – p. 3/5

Funzioni seno e coseno

sin nx, cos nx sono funzioni 2π-periodiche (per ogni n ∈ N). Osservazione: Le funzioni sono 2π-periodiche, pertanto per ogni a, b ∈ R la funzione:

a cos nx + b sin nx

sarà 2π-periodica, quindi anche la funzione:

s_N (x) = a₀ + X_n=1^N (a_n cos nx + b_n sin nx)

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y = sen (x)

y = sen (2 x)

y = sen (3 x)

y = sen (4 x)

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Il nostro scopo è dunque quello di cercare di scrivere una funzione generale utilizzando le funzioni periodiche seno e coseno come elementi di una “base dello spazio di funzioni” come abbiamo utilizzato i polinomi come elementi di “base” per scrivere una funzione generica attraverso la serie di Taylor.

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Ricordo-premessa serie di Fourier

Dovete ricordare che:

∫_−π^π cos mx cos nx dx = 0 se m ≠ n

∫_−π^π cos mx cos nx dx = π se m = n

e analogamente:

∫_−π^π sin mx sin nx dx = 0 se m ≠ n

∫_−π^π sin mx sin nx dx = π se m = n ≠ 0

Inoltre:

∫_−π^π sin mx cos nx dx = 0, ∀n, m

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Coefficienti di Fourier

Consideriamo dunque:

s_N (x) = a₀ + X_n=1^N (a_n cos nx + b_n sin nx)

Supponiamo che s_N (x) → f (x), ovvero che la somma della serie sia una funzione:

f (x) = a₀ + X_n=1^+∞ (a_n cos nx + b_n sin nx)

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Legame tra f, a_n, b_n

Moltiplicando la f per cos mx (con m = 0, 1, . . .) e supponendo che si possa integrare termine a termine su di un periodo (per esempio quest’è possibile se c’è convergenza uniforme su un periodo [0, 2π]), otteniamo:

∫_−π^π f (x) cos mx dx = a₀ ∫_−π^π cos mx dx + X_n=1^+∞ ∫_−π^π (a_n cos nx cos mx + b_n sin nx cos mx) dx

Tenendo conto delle relazioni precedentemente ricordate si ha che:

a_n = 1/π ∫_−π^π f (x) cos nx dx, per n = 0, 1, 2, . . .

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Ed in modo analogo moltiplicando per sin mx:

∫_−π^π f (x) sin mx dx = a₀ ∫_−π^π sin mx dx + X_n=1^+∞ ∫_−π^π (a_n cos nx sin mx + b_n sin nx sin mx) dx

e quindi:

b_n = 1/π ∫_−π^π f (x) sin nx dx, per n = 1, 2, . . .

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Abbiamo che, data una f ∈ R((−π, π)) e 2π-periodica, i coefficienti a_n e b_n definiti prima, si chiamano coefficienti di Fourier associati a f e l’espressione:

a₀ + X_n=1^+∞ (a_n cos nx + b_n sin nx)

si chiama serie di Fourier associata ad f.

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N.b.

• 1. Per poter scrivere i coefficienti a_n con la stessa formula ∀ n ∈ N (e quindi anche nel caso in cui n = 0) definiamo:

a₀ = 1/π ∫_−π^π f (x) dx

Invece si avrebbe (caso n = m = 0):

∫_−π^π f (x) dx = 2πa₀

e quindi facciamo iniziare la serie di Fourier con il termine a₀/1.

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• 2. Ricordiamo che una funzione è detta pari se e solo se f (x) = f (−x); mentre è detta dispari se e solo se f (x) = −f (−x).
• 3. Ogni funzione f (x) può essere scritta come somma di una funzione pari e di una funzione dispari secondo la formula:

f (x) = f_p (x) + f_d (x) = [f (x) + f (−x)] + [f (x) − f (−x)]