Esplorazione delle definizioni di probabilità e loro applicazioni

La probabilità è un concetto primitivo, perché innato e sempre presente nelle regole di comportamento dell’essere umano; ma dall’altra parte la probabilità è una misura, perché associa al concetto primitivo una valutazione numerica. Ragionare in termini probabilistici vuol dire assegnare un valore numerico che sia indicativo della possibilità con cui un evento, elementare o composto che sia, possa presentarsi.

Definizioni operative di probabilità

Le definizioni operative di probabilità, ossia la possibilità di assegnare a quest’ultima un termine numerico, sono diverse, perché man mano che la scienza progrediva ci si rendeva conto che le definizioni iniziali fossero insufficienti per essere applicate in contesti scientifici sempre più moderni.
Dato un esperimento ed un evento E (sia esso elementare o composto), la probabilità di E P(E) è il rapporto tra il numero di esiti favorevoli e il numero di esiti possibili, posto che tutti i risultati siano ugualmente possibili.

Dato il lancio di un dado, la possibilità che esca un numero pari è data dal rapporto degli eventi elementari favorevoli (2, 4, 6) sul totale degli eventi elementari possibili, ossia sulla cardinalità dello spazio campionario. La probabilità quindi sarà ½.

Nel momento in cui però proviamo a trasportare il linguaggio probabilistico, un linguaggio molto potente in grado di gestire in termini formali questa dimensione dell’incertezza, in scienze che sono più sofisticate della semplice roulette e delle carte, purtroppo questa definizione è piuttosto inadatta, perché se domandassi quale sarebbe la probabilità che un individuo nel corso della sua vita possa ammalarsi di morbo di Crohn, applicando in modo pedissequo questa definizione, il risultato sarebbe banalmente ½. Questa risposta sarebbe irragionevole perché in realtà nella definizione classica è stata aggiunta una postilla che recita che questa definizione è valida nel momento in cui considero che gli eventi elementari dell’esperimento che sto considerando sono tutti egualmente possibili. Questa postilla è ottima nel gioco d’azzardo, ossia in tutte situazioni dove gli eventi elementari sono equiprobabili, ma se provo a trasferire questa teoria a contesti scientifici questa condizione di equipossibilità decade. In più vi è un problema logico perché dire che gli eventi sono egualmente possibili vale a dire che sono egualmente probabili.

Definizione frequentista e applicazioni

La definizione frequentista è quella più utilizzata. Se voglio valutare la probabilità che un evento si manifesti, devo immaginare di realizzare l’esperimento da cui quell’evento può essere generato un numero N di volte e alla fine la probabilità sarebbe la frequenza relativa con cui quell’evento, in una ripetizione infinita di esperimenti, si osserva. Quindi la probabilità è una frequenza relativa per un numero di esperimenti che tende ad infinito, impossibile quindi da un punto di vista operativo, perché anche l’evento più semplice come il lancio di una moneta non è ripetibile all’infinito.

Se un frequentista dovesse rispondere alla domanda “qual è la probabilità di ammalarsi di Crohn nel corso della propria vita?”, idealmente dovrebbe considerare un individuo fin dalla nascita e verificare se la malattia compaia. Ovviamente dovrà ripetere l’analisi un numero infinito di volte, quindi avere a disposizione infiniti individui e valutare quanti di questi manifestino il Crohn.

Conclusioni sulla probabilità frequentista

Questa frequenza relativa è la probabilità che il Crohn si manifesti nella vita di un individuo. Nonostante sia difficile l’applicazione di questa teoria, vi è una teoria di supporto secondo cui basti un numero di esperimenti abbastanza elevato per ottenere non il valore reale della probabilità, ma un valore che si avvicini ad essa. È anche chiaro che alcune situazioni consentono l’utilizzo di entrambe le definizioni e, dove possibile, si può dimostrare che giungano alla stessa conclusione.

Il valore associato alla definizione frequentista non è deducibile da un singolo esperimento, ma da un numero infinito di esperimenti condotti; ad esempio, se una patologia ha una probabilità del 15%, allora in una popolazione di infiniti individui il 15% presenterà quella patologia.