Dimostrazione circuiti rcl

Circuiti RCL

Collego un condensatore, un induttore e una resistenza ad un generatore a corrente alternata. Per ricavare la legge che descrive la fem considero una spira che ruota in un campo magnetico: attraverso la spira avviene una variazione di flusso, quindi per la legge di Faraday-Neumann-Lenz si genera nella spira una forza elettromotrice.

Φ=BScosωt =fdΦ/dt = -BS(-sinωt)ω = BSωsinωt = f_0sinωt

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Legge della maglia

f_0sinωt-(q(t))/C-L (di(t))/dt-Ri(t)=0

Con C=capacità del condensatore, q(t)=carica sulle armature del condensatore in funzione del tempo, i(t)=corrente che scorre nel circuito in funzione del tempo, L=induttanza, R=resistenza.

i(t)=(dq(t))/dt

f_0sinωt-(q(t))/C - Ld/dt (dq(t))/dt - R(dq(t))/dt=0

In questa equazione compare la derivata seconda (dq(t))/(dt^2), quindi risolvo l’equazione considerando 3 circuiti separati, poiché a livello di liceo le equazioni differenziali di secondo ordine non vengono risolte.

Circuito ohmico

Considero solo la R (circuito ohmico):

f(t)=Ri(t)

f_0sinωt= Ri(t)

i(t)= f_0/Rsinωt

Circuito puramente induttivo

Considero solo l’induttanza (circuito puramente induttivo):

f_0sinωt- L (di(t))/dt=0

(di(t))/dt=f_0/Lsinωt integro

i(t)=-f_0/Lωcosωt archi associati

i(t)=-f_0/Lωsin(π/2-ωt)archi associati

i(t)=f_0/Lωsin(ωt-π/2) π/2ω=punto di max di f.

Nel circuito puramente induttivo, f raggiunge prima il punto di massimo rispetto a i.

Quando f è uguale a 0, la corrente è massima, perché la f indotta è pari a 0.

Lω si dice reattanza induttiva del circuito.

Circuito puramente capacitivo

Considero solo il condensatore (circuito puramente capacitivo):

f_0sinωt-(q(t))/C=0

q(t)= f_0Csinωt derivo rispetto a t

i(t)= f_0Cωcosωt archi associati

i(t)f_0/(1/Cω)sin(ωt+π/2) 1/Cω=reattanza capacitiva

Circuito RCL

Unisco le 3 relazioni considerando di nuovo il circuito RCL:

Ri(t)= f_0sinωt

x_L i(t)=f_0 sin(ωt-π/2) x_L=reattanza induttiva

x_C i(t)= f_0 sin(ωt+π/2) x_C=reattanza capacitiva

Considero i fasori (proiezione sull’asse y di un vettore che ruota con velocità ω e che ha intensità pari al valore alla sinistra dell’uguale).

Quando faccio la somma tra i vettori (vedi immagine) ottengo:

f_0=√(〖(i_0 R)〗^2+(〖(x_L-x_C)i_0)〗^2)

f_0=i_0 √(R^2+〖(Lω-1/Cω)〗^2) la radice qui presente è detta impedenza ed ha lo stesso ‘ruolo’ della resistenza.

Se Lω-1/Cω=0, allora si dice che il circuito è in risonanza, ovvero il circuito si comporta come se fosse ohmico (puramente resistivo).

|(f_0) ⃗ |=i_0 √(R^2+〖(Lω-1/Cω)〗^2) modulo del vettore

f=i_0 Zsin(ωt+arctan⁡((Lω-1/Cω)/R)) con Z=impedenza