Derivate direzionali, parziali e differenziabilità
Data una fuc f: A ⊂ Rn → R, A aperto, x0 ∈ A.
Def. (Derivata direzionale)
Se v ∈ Rn con |v|=1, allora si fa molta direzione attraverso v in x0 se ∃ finito e unico ∈ [lim (t→0) [f(x0+tv)-f(x0)/t] = ∂f/∂x (x0)v.
Angolo Dvf(x0)=f'(x0) n=2.
Detto incrementi delle posizioni.
Def. (Derivata parziale)
f è punto derivabile in x0 se ∃ le derivate associate di f in x0 lungo le n cuiuscioni della base canonico di Rn, ei, e2,... en. Tali derivate essere chiamato parziali.
∂f(x0)/∂ei = ∂f(x0)/∂xi.
Esempio
f(x,y) = x ey.
∂f(x0, y0) / ∂x = lim (t→0) [f(x0 + t, y0) - f(x0, y0)] / t = ey0.
v = (1,0).
Facciamo tutti i passi.
lim (t→0) [(x0 + t) ey0 - x0 ey0]/t = ey0 lim (t→0) [(x0+t-x0)/t = ey0].
Derivate direzionali, parziali e differenziabilità
Data una funzione f: A ⊂ Rn → R, A aperto, x0 ε A.
Def. (Derivata direz.)
Se v ε Rn con ||v|| = 1, chiamiamo direzione derivabile secondo v in x0 se ∃ finito e limitato limt → 0 [(f(x0+tv) - f(x0))/t] = fx0.
Pendio incrementi nelle direz.
Def(fx0) n = 2.
Grafico di f.
Grafico delle restrizioni.
Def. (Derivata parziale)
f è direzione derivabile in x0 se ∃ le derivate direzionali di f in x0 lungo le n direzioni della base canonica di Rn. Tali derivate sono chiamate parziali.
(∂f/∂ei)(x0) = (∂f/∂xi)(x0).
Esempio
f(x,y) = xey.
∂f/∂x (x0,y0) = limt → 0, t ≠ 0 [f (x0+t, y0) - f (x0,y0)]/t = ey0.
v = (1,0).
Facciamo tutti i conti.
limt → 0 [(x0+t) ey0 - x0ey0]/t = ey02.
f(x0,y0)dydx = (0,1) → calcoliamo che la derivata...
f(t) = (x0 + tv2) ((y+tv2)).
fr(t) = v1 − e + v0 + (tx1v) v2 ...io calcolerei un (t−0...uguale (t−0) anche un v.
f(0) = uμe2 + x0vμe.
Esempio 2
f(x,y) = −xy⁄x2+y2 se (x,y) ≠ (q,q)= 0 se (x,y) = (0,0) → prendiamo v = (v1,v2) ≠ (0,0).
limt−0 f(t(v1,t,v2)−f(0,0),(0,0) ≡≡ limt−0 [t2v1v2⁄t(v2+v2)−0]/t = LL = ±∞ se v1,v2 > 0.
L = −∞ se v1,v2 < 0.
L = 0 se v1=v2 = 0 → anche x o anche yrarr; ∃ ∂f⁄∂x(0,0), ∋∂f⁄∂y (0,0).
Δ la derivata non &exa;∋&cha; la continuità.
Def. (Differenziabilità)
∇f(x0) = ∂f(x0)/∂xi, ∂g(x0)/∂xi.
Si dice che f è differenziabile in x0 se ∃ L ∈ ℝn tale che:
f(x) = f(x0) + L · (x - x0) vec affine = costante che rappresenta no sottospazio per il punto (x0, f(x0)).
TH. f è differenziabile ⇒ f è derivabile in x0 e L = ∇f(x0).
Dim. Consideriamo il punto x = x0 + tei dove ei è il i-esimo vettore della base canonica di ℝn e dalla differenziabilità di f in x0 segue che f(x0 + tei) - f(x0) = t < L, ei > + o(t|ei|).
∀ xΘ ⟨∇f(x0), v⟩ = ∃Θ(t) → ⟨∇f(x0), v⟩ = Dv f(x0) \(\ominus\)✄
Se f(x, y) = \(\frac{1}{xy}\) calcoliamo Dvf(x, y).
[2pt]∂f ÷∂x (x, y) = \(\frac{-1}{x2y}\).
∂f ÷∂y (x, y) = \(\frac{-1}{xy2}\).
∇f(x, y) = \left(\frac{-1}{x2y}, \frac{-1}{xy2}\right) → Dv f(x, y) = ⟨\left(\frac{-1}{x2}, \frac{-1}{xy2}\right),(v1,v2)⟩ = -v1 - v2.
Criterio per la differenziabilità
⇔ f è derivabile in x0.
⇔ limx → x0 \(\frac{f(x) - f(x0) - ⟨\nabla f(x0),(x-x0) ⟩}{|x-x0|}\) = 0 → ε è un o piccolo.
OSS. se f è differenziabile in x0 → f è continua in x0.
OSSS (th. dei gradienti) se f è insieme derivato parziali continui in un intorno di x0 → è differenziabile in x0.
Schifta riepilogativo
- F.u. derivabili
- F.u. differenziabili
- Fui in C1
- F.u. continue
f(x,y) = xy/√(x2+y2) se (x,y) ≠ (0,0).
0 se (x,y) = (0,0).
Simmetrica e differenziabile su (0,0).
La fne è continua.
∂f/∂x (0,0) = lim t→0 (f(t,0) - f(0,0))/t = lim t→0 0/t = 0.
∇ = (1,0).
∂f/∂y (0,0) = 0.
Rimane ora il criterio per la diff.
lim (x,y)→(0,0) (f(x,0)-0-0)/√(x2+y2).
Poiché ∇f(x0)=(0,0).
lim (x,y)→(0,0) xy/x2+y2 ma esiste perché dipende dalla direzione.
f è continua e derivabile parzialmente ma non differenziabile.
Riepilogo
f diff. in xo se ∃ q.m Df(xo) = ⟨∇f(xo), v⟩ ∀ v ∈ ℝⁿ ∀ ε of diff. in xo.
⇔ si definisce (l'applichiamo a) ℝⁿ per n = 2.
Ex
f(x,y) = e-x+y.
(xo, yo) = (0,0).
Calcoliamo il piano tangente.
f(0,0) = e-1.
∂f (x,y) = e-1 x+y.
∂f (0,0) = -1.
∂f (x,y) = e-x+y.
∂f (0,0) = 1 => z = 1 + x-xo + y-yo = 1 + x + y piano tg al grafico ai f, nel p.t. (0,0,1).
Schema delle coordinate di un piano
Piano TG in Po.
Il vettore No = (
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