Curve parametriche

Carlo Elce Curve parametriche con Mathcad www.matematicamente.it

Curve parametriche

Come probabilmente saprete, l'equazione

2 2 2

x y c c. La domanda è: come tracciare una

definisce una circonferenza con centro in (0, 0) e raggio y.

circonferenza? Un modo è quello di risolvere l'equazione rispetto ad

Scriviamo l’equazione:

2 2 2

x y c

che ha soluzioni

2 2

c x

y 2 2

c x

Disegnare una Circonferenza

Questa formulazione richiede di tracciare due curve: una per la radice positiva e una per la radice

negativa. Questo è però un modo poco elegante di tracciare una circonferenza. Comunque, se si passa

alle coordinate polari, l'espressione per la circonferenza diventa molto semplice.

θ

r c per ogni valore di

Possiamo rappresentare l'equazione della curva direttamente usando l'equazione in coordinate polari.

Ma è interessante vedere come possiamo rappresentare la nostra circonferenza mediante un diagramma

cartesiano x-y. Questo ci porta all'idea di rappresentazione della circonferenza:

parametrica

.

x c cos t

.

y c sin t

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Queste due equazioni ci danno le coordinate x e y dei punti della circonferenza in funzione del

t,

parametro che varia da 0 a 360 gradi. Ecco come tracciamo la figura:

c 5

t 1 .. 360

. .

x c cos t deg

t . .

y c sin t deg

t 5

5 0 5

5

Circonferenza

L'esempio della circonferenza, per quanto istruttivo, non dà origine a una curva molto interessante.

Comunque, curve generate parametricamente possono essere molto più complesse. Ecco alcuni esempi.

Tracciare Curve Complesse

Queste due equazioni parametriche definiscono la (sono presenti due

cubica di Tschirnhausen

t a):

parametri, ed 2

. .

x a , t 3 a t 3

2

. .

y a , t a t t 3

t 4.4 , 4.3 .

. 4.4

dove

Se assegniamo ad i valori da .2 a 2.1 otteniamo una famiglia di curve.

a

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i 1 .. 10

2 . i .1

a

i 10 Cubica di Tschirnhausen con a variabile da .1 a 2

Un'altra curva interessante è l' , studiata dal filosofo greco Proclo. Essa è definita dalle

Hippopede

equazioni: 2 2

. . . .

x 2 cos t sin t

a b b

2 2

. . . .

y 2 sin t sin t

a b b

Questa curva varia tra un aspetto simile a un 8 da una parte e a un bilanciere dall'altra, in dipendenza

a b. t a

dai valori di e Il parametro varia da -180 a 180 gradi. Nell'esempio in basso, assume 5 valori

b è costante uguale a 20. Si ha un insieme