Complementi di costruzione di strade ferrovie ed aeroporti - Teoria

Sommario

• 1. Introduzione - cenni e richiami di calcolo della probabilità 9
• Esempio 1 - osservazione della caduta di un grave 9
• Esempio 2 - lancio di una moneta 9
• 1.0.1 Esperimento composto 9
• 1.0.2 Eventi 9
• 1.1 Spazio campione - punto campione 9
• 1.1.0 Numero discreto 10
• 1.1.1 Esempio_ spazio campione finito 11
• 1.1.2 Esempio_ spazio campione infinito numerabile (tarato sulle nostre applicazioni) 11
• 1.1.3 Esempio_ spazio campione infinito non numerabile 11
• 1.1.4 Spazio campione discreto 11
• 1.1.5 Spazio campione continuo 11
• 1.2 Eventi elementari 12
• 1.2.1 Eventi complessi 12
• 1.2.2 Esempio classico di evento complesso 12
• 1.3 Eventi mutuamente esclusivi 13
• 1.4 Spazio probabilistico 13
• 1.4.1 Definizione di probabilità 13
• 1.5 Interpretazione frequentista della probabilità 13
• 1.6 La frequenza 14
• 1.7 Legge dei grandi numeri 14
• 1.8 Probabilità empirica 14
• 1.8.1 Assiomi di Kolmogorov 15
• 1.8.2 Interpretazione assiomi 15
• 1.9 Misura di probabilità 16
• 1.9.1 Definire una variabile aleatoria 16
• 1.10 Spazio campione finito 16
• 1.10.1 Esempio 18
• 1.10.2 Esercizio N°2 19
• 1.11 Prove bernoulliane e multinomiali 20
• 1.11.1 Utilizzo modello di rappresentazione del deflusso veicolare 21
• 1.12 Probabilità condizionata 22
• 1.12.1 Probabilità condizionata 24
• 1.13 Spazio campione 24
• 1.14 Probabilità condizionata 26
• 1.14.1 Eventi congiunti 26
• 1.14.2 Casi speciali di probabilità condizionata 27
• 1.15 Leggi della probabilità 29
• 1.15.1 Formula di Bayes 32
• 1.15.2 Indipendenza e correlazione 34
• Esempio_ 1 - indipendenza 34
• Esempio_ 2 34
• Esempio_ 3 35
• Domanda_ Due eventi disgiunti sono statisticamente indipendenti? 35
• 1.15.3 Correlazione positiva 35
• 1.15.4 Correlazione negativa 36
• Esercizio_ 1 - Lancio di due dadi 36
• Esercizio_ 2 38
• 1.16 Variabile aleatoria 39
• Esempio_ 1: Lancio di due monete 40
• Esempio_ 2 41
• 1.16.1 Coefficiente binomiale 41
• 1.16.2 Funzione di distribuzione della probabilità 43
• 1.16.3 Valore atteso o media 43
• 1.16.4 Speranza matematica 43
• Esempio: Lancio di un dado 44
• 1.16.5 Variabili aleatorie 45
• 1.17 Grandezze o parametri descrittivi sintetici di una variabile aleatoria 45
• 1.18 Valore atteso o speranza matematica 45
• 1.18.1 Proprietà del valore atteso o speranza matematica 45
• 1.18.2 Varianza 47
• 1.18.3 Es. variabili aleatorie discrete – punteggio prodotto da un lancio di un dado 47
• 1.19 Proprietà della varianza 48
• Esempio_ 1 48
• Esempio_ 2 49
• Esercizio_1 49
• Esercizio_ 2 50
• 1.20 Esperimento bernoulliano 51
• Esercizio 56
• Esercizio 57
• 1.21 Variabile aleatoria geometrica 58
• 1.22 La variabile aleatoria di Poisson con parametro λ 59
• 1.23 Legge degli arrivi (o dei conteggi) 61
• Esempio_1 62
• Esercizio_ 1 63
• Esercizio_2 63
• Esercizio_3 64
• Esempio_2: Test patente 64
• 1.24 Coppie di variabili aleatorie 66
• 1.25 Distribuzione/funzione di probabilità congiunta 66
• 1.25.1 Probabilità marginale 67
• 1.26 Variabili aleatorie indipendenti 69
• 1.27 Covarianza di 2 variabili aleatorie discrete 71
• 1.28 Covarianza di una variabile con sé stessa 72
• 1.28.1 Covarianza di due variabili aleatorie 72
• 1.28.2 Coefficiente di correlazione 72
• Esercizio_ 1 73
• Esercizio_ 2 73
• 1.29 Variabili aleatorie continue 76
• 1.29.1 Probabilità cumulata 76
• 1.29.2 Funzione densità di probabilità 77
• 1.29.3 Variabile aleatoria uniforme 79
• 1.29.4 Generazione causale 80
• 1.29.5 Variabile aleatoria esponenziale 80
• 1.29.6 Distanziamento temporale 82
• 1.29.7 Variabile aleatoria normale o gaussiana 82
• 1.29.8 Teorema del limite centrale 83
• 1.29.9 Distribuzione binomiale 84
• Esercizio_1 86
• Esercizio_ 2 87
• Esercizio_ 3 89
• 2 Misura e modellazione del deflusso veicolare 92
• 2.1 Flusso interrotto 92
• 2.2 Misure 92
• 2.2.1 Capacità 95
• 2.3 Variabilità stagionale 96
• 2.3.1 Oscillazione di carattere stagionale 97
• 2.3.2 Oscillazione di tipo giornaliero 98
• 2.4 Flussi monodirezionali 100
• 3 Misure e modellazione del deflusso veicolare 102
• 3.1 Portata 102
• 3.1.1 Portata oraria 104
• 3.1.2 Fattore ora di punta 106
• 3.2 Distribuzione direzionale 106
• 3.3 Trend pluriennale 108
• 3.4 Velocità 111
• 3.4.1 Velocità media 114
• Esempio 115
• 3.5 Densità 117
• Esercizio numerico 118
• Esercizio 119
• 3.6 Stazionarietà del deflusso veicolare 119
• 3.7 Modelli di deflusso deterministici 120
• 3.8 Modellazione del deflusso veicolare_ flusso interrotto 127
• 3.8.1 Legge di arrivo_ flusso interrotto 130
• 3.8.2 Tempo di permanenza nel sistema - tempo di attesa in coda 131
• 3.9 Modelli utilizzati per la rappresentazione probabilistica la legge degli arrivi 132
• 3.9.1 Modello binomiale 133
• 3.9.1.1 Media e varianza campionaria 134
• 3.9.1.2 Condizioni di deflusso rado 135
• 3.9.1.3 Modello di Poisson generalizzato 136
• 3.9.2 Binomiale negativa 138
• 3.9.2.1 Nomogramma di Haight 139
• Esercizio_ 1 141
• Test di conformità (bontà di adattamento) 145
• 3.10 Test di conformità 146
• 3.10.1 Misura di discordanza 146
• 3.10.2 Test di conformità 146
• Esempio 148
• 3.10.3 Test di conformità χ _ Pt.2 148
• 3.11 Leggi di arrivo 150
• 3.11.0 Esponenziale negativa 151
• 3.11.1 Difetti di questo modello applicato al D t 152
• 3.11.2 Calibrazione 154
• 3.11.3 Modello di Erlang 154
• 3.11.4 Modelli utilizzati per descrivere il distanziamento temporale 156
• 3.11.4.1 Esempio di utilizzo del modello: esponenziale negativo 156
• 3.11.4.2 Funzione di probabilità cumulata F(τ) 157
• 3.11.5 Analisi di funzioni di densità di probabilità descritta in precedenza 158
• 3.11.6 Criteri su cui basarsi per la scelta del modello 160
• 4 Modelli dicotomici 161
• 4.1 Modello iper-esponenziale 161
• 4.2 Legame matematico tra leggi di arrivo e distanziamenti temporali 162
• 4.3 Modelli microscopici di deflusso 163
• 4.4 Modello dell’inseguitore (car-following) 165
• 4.5 Modello lineare 166
• 4.5.1 Modello lineare semplice asimmetrico 171
• 4.6 Cenni su alcune applicazioni dei modelli microscopici 175
• 5 Capacità e fenomeni di attesa nelle intersezioni 177
• 5.0.1 Due correnti di traffico 177
• 5.0.2 Teoria di accettazione del gap 180
• 5.1 Qual è il problema nell’immaginare quest’intervallo critico? 181
• 5.1.1 Meccanismo di servizio 183
• 5.2 Vari metodi usati per misurare gli intervalli critici (sperimentalmente) 184
• 5.3 Metodo di Raff 185
• 5.3.1 Distribuzioni cumulate 186
• 5.4 Modello Drew-Dawson 187
• 5.5 Modello a gradini 187
• 6 Valutazione della capacità per una specifica manovra 189
• 6.0.1 Modello a gradini 189
• 6.0.2 Formula di Harders 190
• 6.0.3 Formula di Tanner 193
• 6.0.4 Gerarchizzazione correnti di traffico_ Pt.1 193
• 6.0.4.1 Portata da smaltire < capacità 194
• 6.1 Ritardo e lunghezza media della coda 195
• 6.1.1 Per piazzali autostradali 195
• 6.1.2 Numero di caselli ottimale 198
• 6.1.3 Caso di 1 casello 200
• 6.1.4 Caso di più caselli 205
• 6.2 Esercizio - dimensionamento piazzale autostradale 207
• 6.3 2 caselli 212
• 6.3.2 Caso 2 212
• 7 Probabilità marginale 216
• 7.1 Procedura HCM per intersezioni a raso non semaforizzate 220
• 7.2 Ipotesi alla base della procedura 221
• 7.3 Procedura 222
• 7.4 Intervalli di definizione del livello di servizio 223
• 7.5 Gerarchizzazione delle manovre 223
• 7.6 Sezione a T 224
• 7.7 Portata di conflitto 225
• 7.7.1 Portata di conflitto 4 228
• 7.7.2 Portata di conflitto 9 229
• 7.7.3 Manovre 8 e 11 229
• 7.7.4 Manovre 7 e 11 229
• 7.8 Valutazione dell’intervallo critico T c 230
• 7.8.1 Valore di T cb 231
• 7.9 Tempo di sequenza 231
• 7.10 Valutazione della capacità 232
• 7.11 Intersezione a T con STOP 234
• 7.11.1 Movimenti a priorità 3 e coeff. di impedenza 234
• 7.11.2 Intersezione a 4 bracci_ coeff. di impedenza 236
• 7.12 Corsie condivise nella strada secondaria 238
• 7.12.1 Tasso di saturazione della corsia condivisa 239
• 7.13 Corsia condivisa nella strada principale 239
• 7.14 Manovra di attraversamento 241
• 8 Procedura HCM per intersezioni a raso non semaforizzate 244
• 9 Rotatorie 247
• 9.1 Progettazione geometrica e funzionale delle rotatorie 248
• 9.2 Principali elementi geometrici che costituiscono una rotatoria 248
• 9.3 Esempi di rotatorie 249
• 9.4 Criteri generali di progettazione 251
• 9.4.1 Traiettorie di deflessione 253
• A) 9.5 Dimensionamento diametro circonferenza iscritta 256
• 9.6 Dimensionamento larghezza ramo d’ingresso 257
• 9.7 Dimensionamento della larghezza anello 257
• 9.7.1 Rotatorie a singola corsia 258
• 9.7.2 Rotatorie a doppia corsia 258
• 9.8 Dimensionamento dell’isola centrale 258
• 9.9 Dimensionamento delle curve delle immissioni 259
• 9.9.1 Distanze di visibilità 260
• 9.9.2 By-pass 262
• 9.9.2.1 Progettazione by-pass 263
• 9.9.3 Progettazione rotatorie a 2 corsie 264
• 9.9.4 Rotatorie in ambito extra-urbano 265
• 9.9.5 Progettazione geometria e funzionale delle rotatorie 266
• 9.9.6 Caratteristiche geometriche, principali di una rotatoria 268
• 9.9.7 2 formulazioni di capacità 269
• 9.9.8 Progettazione geometrica e funzionale rotatorie - formula di Brilon 272
• 9.10 Formulazione francese 274
• 9.10.1 Progettazione funzionale rotatorie: capacità (Setra) 275
• 9.10.2 Progettazione funzionale rotatorie: capacità - modello svizzero 277
• 9.10.3 Progettazione funzionale rotatorie: capacità - HCM 2010 (USA) 277
• 10. Rotatorie Pt.2 280
• 10.1 Valutazione dei parametri prestazionali di tipo globale che si differenziano da quelli di tipo locale 280
• 10.2 Capacità semplice 280
• 10.3 Capacità totale 281
• 11. Intersezioni semaforizzate 284
• 11.1 Progettazione di un impianto a ciclo fisso 285
• 12. Ciclo semaforico 289
• 12.1 Lo schema B è composto di 3 fasi 292
• 12.2 Schema C 292
• 12.3 Piano di fasatura con solo 2 fasi 294
• 12.3.1 Parametri per la progettazione della fasatura 294
• 12.3.2 Indice di carico critico 296
• 12.3.3 Calcolo del ciclo minimo 298
• 12.3.4 Calcolo del tempo di interverde (o di sicurezza) 298
• 12.3.5 Calcolo del ciclo ottimo 301
• 12.3.6 Fasi pedonali 302
• 12.3.7 Calcolo del flusso di saturazione 304
• 12.3.8 Coefficiente correttivo: per la larghezza della corsia; per veicoli pesanti 305
• 12.3.9 Coefficiente correttivo per la pendenza longitudinale 306
• 12.3.10 Coefficiente correttivo per le attività di parcheggio 306
• 12.3.11 Coefficiente correttivo per le fermate degli autobus 306
• 12.3.12 Coefficiente correttivo per il tipo di area 307
• 12.3.13 Coefficiente correttivo per la pendenza longitudinale 308
• 12.3.14 Coefficiente correttivo per la pendenza longitudinale 308
• 13. Coefficiente correttivo per le svolte a sinistra 309
• 13.1 Coefficiente correttivo per le svolte a destra 310
• 13.2 Coefficienti correttivi per pedoni e ciclisti 310
• 13.2.1 Ritardi medi di controllo 312
• 13.3 Valutazione livello di servizio (intersez. a raso non semaforizz.) - eser.1 314
• 14. Zone di scambio e rampe 320
• 14.1 Quadrifoglio potenziato 321
• 14.2 Criterio con cui si individua la lunghezza della zona di scambio 324
• 14.3 Procedura 326
• 14.4 Rampe 330
• 14.5 Dimensionamento corsia di accelerazione 332
• 14.6 Stima intervallo critico T C 333
• 14.6.1 Analisi dimensioni di deflusso, in autostrada, per una rampa di immissione 338
• 14.7 Caso 1 rampe in ingresso 343
• 14.8 Calcolo della portata V 12, rampe di immissione 344
• 14.9 Verifica capacità 345
• 14.10 Caso 2 rampe in uscita 348
• 14.11 Verifica capacità 350
• 15. Dimensionamento delle pavimentazioni 352
• 15.1 Il catalogo delle pavimentazioni 353
• 15.2 Calcoli empirici per le pavimentazioni 354
• 15.2.1 AASHTO 354
• 15.3 Prova CBR (California Bearing Ratio) 364
• 15.4 Correlazione tra i parametri di portanza 364
• 15.5 Valori di CBR e stabilità Marshall 364
• 15.6 Modelli reologici 365
• 15.7 Calcolo del modulo complesso 372
• 15.8 Nomogramma di Van Der Poel 374
• 15.9 Criterio additività del danno di Miner 376

Lezione 1_05-03-2019_ intera

1. Introduzione - cenni e richiami di calcolo della probabilità

Esperimento aleatorio: processo per il quale viene effettuata l’osservazione di un fenomeno fisico.

Un esperimento è detto aleatorio perché gli esiti dell’osservazione non possono essere conosciuti in anticipo e si ha la possibilità di ripeterlo un numero infinito di volte.

Un esperimento aleatorio è funzionale quando: effettuo un’osservazione, compio l’esperimento aleatorio e i risultati dell’esecuzione dell’esperimento non dovranno, in nessun modo, condizionare i risultati degli esperimenti successivi.

I fenomeni osservabili possono essere di natura deterministica o aleatoria.

Sono di natura deterministica quando, note le condizioni iniziali del fenomeno, effettuiamo l’esperimento e il risultato che possiamo ottenere da esso è un risultato già conosciuto.

Esempio 1 - osservazione della caduta di un grave

Quando lasciamo cadere un oggetto, se conosciamo l’accelerazione di gravità, l’attrito che l’oggetto esercita quando attraversa il fluido (aria in questo caso), etc., possiamo modellizzare il fenomeno: risolvere le equazioni del fenomeno, ricavare la velocità con la quale l’oggetto impatta il suolo, il tempo che ci mette e così via.

Esempio 2 - lancio di una moneta

Può dare come risultato testa o croce: non ne conosciamo, mai, in anticipo il risultato.

Quindi, in un certo senso, il termine aleatorio deve intendersi, in questa sede, non conosciuto. Ma, una volta che l’esperimento è stato eseguito, il valore è automaticamente definito, perché: una variabile aleatoria (cioè un ente matematico che si definisce o si associa ad un esperimento aleatorio) può assumere diversi valori nel momento in cui l’esperimento viene eseguito, diventando non più una variabile aleatoria ma un numero (uno scalare ben definito).

1.0.1 Esperimento composto

Molto spesso, la modalità con cui viene elaborato un esperimento composto è semplicemente quello di ripetere, un certo numero di volte, un esperimento aleatorio (di tipo semplice) o di combinare, in maniera diversa, un certo numero di esperimenti aleatori differenti l’un l’altro.

L’esperimento composto prevede di avere esperimenti aleatori semplici indipendenti l’uno dall’altro, cioè: i risultati di un esperimento non devono, in nessun modo, condizionare i risultati di un altro esperimento con cui si compongono.

Esperimenti composti possono essere definiti come unione o ripetizione di un certo numero di esperimenti semplici.

1.0.2 Eventi

Un esperimento aleatorio produce un certo numero di possibili risultati che vengono chiamati eventi. In particolare, si parla di eventi elementari cui può dar luogo un esperimento aleatorio.

1.1 Spazio campione - punto campione

L’insieme che in qualche modo unisce tutti i possibili eventi elementari viene chiamato spazio campione e gli eventi semplici vengono chiamati punto campione.

Caso classico è il lancio del dado. Tutti i possibili eventi elementari cui può dar luogo il lancio di un dado sono 6. Quindi, i numeri da 1 a 6 rappresentano dei punti campione (E 1, E 2, E 3, E 4, E 5, E 6) e lo spazio campione (Ω) è sostanzialmente l’unione di tutti i possibili eventi elementari (E con i= 1, 2, …,6), associati al lancio del dado. Fig.1

Generalizzando il concetto, l’estrazione di una carta da un mazzo di carte francesi può essere vista come esperimento aleatorio e tutti i possibili risultati costituiscono uno spazio campione (Ω) formato, fondamentalmente, da tutte le possibili carte che possono uscire dall’estrazione, quindi una combinazione di 52 possibili eventi semplici (punto campione). Questa rappresentazione dello spazio campione può essere descritta, in maniera più raffinata da un punto di vista matematico, come un prodotto vettoriale (o prodotto cartesiano) tra due vettori:

Ω= {1, 2, …,13} x {C, Q, F, P}

Un vettore costituito da 13 elementi che rappresentano le 13 carte del mazzo francese (dall’Asso fino al Re) e l’altro vettore rappresentato dai semi (i 4 semi che individuano le carte francesi). Quindi, questa locuzione definisce tutte le possibili combinazioni delle carte di un mazzo francese per il rispettivo seme.

1.1.0 Numero discreto

Abbiamo parlato di spazi campione costituiti da un numero discreto di eventi semplici o elementari, possiamo immaginare degli esperimenti aleatori che producono degli spazi campione un po’ più complessi, ad esempio: l’esperimento aleatorio che misura il pH su una linea di produzione. In questo caso il risultato cui può dar luogo questo esperimento aleatorio è un numero compreso tra 0 e 14 di uno yogurt. Qui, lo spazio campione (che risulta W= [0.14]) è molto diverso dal precedente poiché non è più costituito da un numero discreto di possibili eventi elementari ma da un numero infinito di eventi elementari.

In più, la connotazione di spazio campione infinito si arricchisce del concetto di continuità. Quindi, questo spazio campione non solo è costituito da un numero infinito di possibili esiti, ma è anche continuo: infinità di tipo non numerabile.

Quindi, lo spazio campione riprendendo i classici concetti di insiemistica è un insieme continuo e chiuso – in termini matematici.

Tutte le possibili tipologie di spazi campione per esperimenti aleatori sono 3:

• Finito: quando tutti i possibili eventi elementari sono impersonati da un numero finito di eventi elementari (3, 5, 10, 100, etc.).
• Infinito numerabile: ad ogni evento elementare, di questo spazio campione, posso associare un numero naturale.
• Infinito non numerabile: in cui si ha il concetto di continuità.

1.1.1 Esempio_ spazio campione finito 1