Concetti Chiave
- La proporzione è un parametro utile in statistica per confrontare il numero di individui che possiedono una caratteristica rispetto al totale, come nel caso dell'ipercolesterolemia.
- Per stimare una proporzione, si seleziona un campione casuale, si conta il numero di soggetti con la caratteristica e si divide per il totale del campione, ottenendo p come stima puntuale.
- La distribuzione campionaria delle stime di proporzione descrive la variabilità di p e i possibili valori che può assumere, richiedendo l'analisi della funzione di densità e della varianza.
- Lo stimatore proporzione campionaria è considerato corretto in quanto, estraendo infiniti campioni, la media delle proporzioni campionarie p coincide con il valore reale π.
- La stima della proporzione è fondamentale per l'inferenza statistica, permettendo di comprendere meglio le caratteristiche di una popolazione a partire da un campione.
Il parametro che si esamina dopo la media è generalmente definito in ambito matematico e economico come la proporzione, in questo secondo caso non ci interessa sapere in media quanti individui hanno una specifica caratteristica ma ci interessa sapere quanti individui la possiedono rispetto al totale (ad esempio: persone con diagnosi di ipercolesterolemia rispetto al totale). Dunque, quando la variabile X non è numerica ma è dicotomica -la caratteristica è presente o assente- si utilizza la proporzione (non mi interessa fare una media).
Stima della proporzione
Il parametro proporzione generalmente si indica con π. Se si vuole fare inferenza su una proporzione, la prima cosa da fare è in maniera piuttosto semplice e scontata stimarla e per farlo si utilizza il principio della stima naturale. Se vogliamo sapere qual è la prevalenza di ipercolesterolemia nella popolazione noi possiamo fare un passaggio che può sembrare ad alcuni scontato ma in effetti non è proprio un passaggio logico:
scegliamo un campione a caso,
contiamo i soggetti con ipercolesterolemia;
dividiamo per la numerosità del campione;
otteniamo p, che è la stima puntuale del parametro π.
Esattamente come μ aveva in m la sua stima, π ha in p la sua stima.
Distribuzione campionaria
Anche nel caso della proporzione, per poter fare inferenza abbiamo bisogno di conoscere le caratteristiche del modello che ha generato la stima: il modello che ha generato p è lo stimatore proporzione campionaria P, il quale è lo strumento che ci consente di descrivere il processo che ha portato un singolo campione a quel particolare valore di stima; ci mostra quali sono i possibili valori di p osservabili avendo idealmente a disposizione infiniti campioni, qual è la variabilità degli infiniti valori che può assumere p (quali sono i valori di p più probabili e quali i meno probabili), su quale valore sono centrati. Avremmo dunque un numero variabile di stime, alcune più probabili ed altre meno probabili; dunque si può parlare di distribuzione campionaria delle stime. In particolare, essendo una variabile casuale, devo studiare la funzione di densità, il suo valore atteso e la sua varianza.
Correttezza dello stimatore
Lo stimatore proporzione campionaria, come lo stimatore media campionaria, è uno stimatore corretto come si dice in gergo.
Dire che lo stimatore proporzione campionaria è corretto significa dire che in media riproduce il parametro: se idealmente si potesse calcolare il suo valore atteso, estraendo idealmente infiniti campioni e calcolando poi la media di tutte le infinite proporzioni campionarie p, troveremmo che esso coincide con π: E(P) = π.
Immaginando di considerare un’aula numerosa come popolazione, con una proporzione di donne uguale a 0,48 (π = 0,48), se idealmente estraessimo dalla popolazione infiniti campioni e calcolassimo la media di tutte le infinite proporzioni campionarie, quest’ultima sarebbe uguale a 0,48 perché lo stimatore proporzione campionaria è corretto.
Domande da interrogazione
- Qual è l'importanza della stima della proporzione in ambito statistico?
- Come si definisce la distribuzione campionaria della proporzione?
- Cosa significa che lo stimatore proporzione campionaria è corretto?
- Qual è un esempio pratico di applicazione della stima della proporzione?
La stima della proporzione è fondamentale per comprendere la prevalenza di una caratteristica in una popolazione, come ad esempio l'ipercolesterolemia, e si ottiene attraverso un campione casuale, calcolando il rapporto tra i soggetti con la caratteristica e la numerosità del campione (p).
La distribuzione campionaria della proporzione descrive il processo che genera la stima p, mostrando la variabilità dei valori che p può assumere in infiniti campioni e identificando quali stime sono più o meno probabili.
Significa che, in media, lo stimatore proporzione campionaria riproduce il parametro π; se si calcolassero infiniti campioni, la media delle proporzioni campionarie p coinciderebbe con π (E(P) = π).
Un esempio pratico è considerare un’aula come popolazione, con una proporzione di donne pari a 0,48; estraendo infiniti campioni e calcolando la media delle proporzioni campionarie, si otterrebbe un valore uguale a 0,48, dimostrando la correttezza dello stimatore.
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