Capitalizzazione, montante e interesse

Che cos'è la capitalizzazione?

Definiamo innanzitutto cosa si intende per operazione finanziaria. È un’operazione in cui avviene uno scambio di somme di denaro in tempi diversi tra una banca, per esempio, e un cliente che investe un capitale ad un certo interesse in un arco di tempo più o meno lungo.

Si definiscono due termini molto importanti in matematica finanziaria, ovvero la parte di matematica che si occupa di operazioni finanziarie:

Capitalizzazione: determinazione del valore di un capitale in un periodo successivo a quello attuale. In questo caso il capitale finale viene chiamato montante.

Attualizzazione: determinazione di un capitale in un periodo antecedente. In questo caso si parla di valore attuale del capitale dato.

Le due situazioni si possono riassumere su una retta orientata temporale.

Abbiamo parlato di capitale, ovvero di una somma di denaro che interviene in un’operazione finanziaria, interesse e montante. L’interesse rappresenta il compenso da aggiungere al capitale iniziale alla fine di un’operazione finanziaria. Ad esempio, se il mio capitale in banca ha accumulato un certo interesse nel corso degli anni, sarò creditore verso la banca di una quantità di denaro, interesse, da aggiungere al mio capitale iniziale.

Il montante, invece, rappresenta il mio capitale finale, ovvero la somma del capitale iniziale (C) e dell’interesse (I).

M = C + I

Tasso di interesse

Molto spesso si parla di tasso di interesse (i). Esso rappresenta il rapporto tra interesse e capitale iniziale:

i = I/C

Quindi il tasso di interesse considera il rapporto tra l’interesse e il capitale iniziale. Pertanto, a parità di capitale iniziale, se una banca offre un tasso di interesse superiore ad un’altra banca, otterrò un interesse, e quindi un montante, finale maggiore.

Consideriamo un problema che potrebbe sorgere se si vuole depositare in banca un certo capitale e ricevere un interesse.

Problema tasso di interesse

Conviene depositare in banca 8000 € e ricevere dopo un anno un interesse di 1000 € o depositare 20 000 € e ricevere dopo un anno un interesse di 2000 €?

Nel secondo caso, ho un interesse maggiore, però se vado a calcolare il tasso di interesse di entrambi i depositi:

i = 1000/8000 = 0,125 i” = 2000/20 000 = 0,1

Avrò che il tasso di interesse nel primo caso è maggiore del secondo. Infatti, se deposito un euro, dopo un anno avrò un interesse di 0,125€.

Nella pratica quotidiana, invece del tasso unitario, si preferisce usare il tasso percentuale (r) che è l’interesse relativo a 100 unità monetarie, per esempio 100 euro.

r = i · 100

Per indicare il tasso percentuale di interesse si fa seguire al valore il simbolo % (percento).

Esempio

Investo 2000 € per un anno, ricevendo alla fine di tale periodo 2760 €. Qual è il tasso annuo di interesse che mi è stato applicato?

Calcoliamo prima l’interesse:

I = 2760 - 2000 = 760 €

Quindi il tasso di interesse:

i = 760/2000 = 0,38

Mentre il tasso di interesse percentuale è:

r = 0,38 · 100 = 38%

Sconto

Lo sconto (S) rappresenta la somma che deve essere sottratta ad un capitale finale se la si vuole ricevere ad una scadenza precedente a quella finale.

Se al mio capitale finale (C) sottraggo lo sconto (S) avrò una somma scontata, detta valore attuale ed indicata con V.

Pertanto vale la relazione:

V = C - S

Anche per lo sconto, si considera il tasso di sconto (s) e il tasso di sconto percentuale (d).

Quindi s = S/C mentre d = s · 100

Vediamo un esempio riferito al tasso di sconto.

Problema tasso di sconto

Decido di estinguere oggi un debito di 6000€ che avrei dovuto pagare tra un anno. Se mi viene concesso uno sconto di 350 €, qual è il tasso di sconto applicato?

Il tasso di sconto è il rapporto tra lo sconto applicato (S) e il capitale finale (C):

s = 350/6000 = 0,06

In percentuale:

d = s · 100 = 0,06 · 100 = 6%

Capitalizzazione semplice

Si parla di capitalizzazione semplice quando l’interesse (I) è proporzionale al capitale (C), al tasso di interesse (i) e al tempo di impiego del capitale (t).

Vale la relazione: I = C i t

Consideriamo un esempio semplificato in cui consideriamo un tempo intero, pari ad esempio a 3 anni; inoltre prendiamo come riferimento l’anno commerciale, ovvero della durata di 360 giorni.

Esempio: interesse capitalizzazione semplice

Consideriamo l’interesse semplice di un capitale di 2300€ impiegato per 3% annuo per 3 anni.

Trasformiamo il tasso percentuale in tasso unitario:

i = 3/100 = 0,03

Quindi l’interesse è: I = C i t = 2300 · 0,03 · 3 = 207 €

Montante in capitalizzazione semplice

Se consideriamo la capitalizzazione semplice, la formula del montante (M), che è uguale a M = C + I, diventa:

M = C + I = C + C i t = C (1 + i t) = C(1 + i t)

Il fattore (1 + i t) viene detto fattore di capitalizzazione semplice.

Possiamo ricavare il capitale come formula inversa, ovvero:

C = M/(1 + i t)

Consideriamo due esempi di risoluzione del montante e del capitale in capitalizzazione semplice.

Esempio 1

Determiniamo il montante a interesse semplice di 8000€ investiti al tasso annuo del 4% per 8 mesi.

M = C(1 + i t) = 8000 (1 + 0,04 · 8/12) = 8426,66€

Quindi il montante, ovvero il capitale ottenuto dopo otto mesi, è 8426,66€. La frazione 8/12 indica che abbiamo considerato una frazione di anno e quindi 8 mesi su 12 mesi annuali.

Esempio 2

Quale capitale devo investire a interesse semplice del 3% annuo e per 2 anni, per poter ritirare 10000€?

Calcoliamo il capitale con la formula inversa trovata:

C = M/(1 + i t) = 10 000/(1 + 0,03 · 2) = 9433,96€

Pertanto devo utilizzare un capitale di 9433,96€.

Capitalizzazione frazionata

Il periodo di capitalizzazione può anche essere una frazione di anni, ovvero il tasso di interesse è riferito non ad un anno ma ad un semestre, quadrimestre, trimestre…

In questo caso, la formula del calcolo del montante rimane la stessa, però nel fattore tempo bisogna considerare di quanto si è scelto di frazionare un anno.

Osserviamo l’esempio seguente.

Esempio tasso di interesse semestrale

Calcoliamo il montante in capitalizzazione semplice di 7000€ investiti per 4 anni al tasso semestrale del 2%.

Poiché in 4 anni abbiamo 4 · 2 = 8 semestri:

M = 7000 (1 + 0,02 · 8) = 8120€

Quindi dopo 4 anni il montante sarà di 8120€ a fronte di un utilizzo di capitale di 7000€.

Rappresentazione grafica del montante e dell’interesse

Consideriamo la relazione I = C i t. Se il capitale C = 1 e si considera costante il tasso di interesse, l’interesse I e il tempo sono direttamente proporzionali e la loro relazione è lineare. Pertanto graficamente avremo una retta di equazione y = mx con x = t ed y = I. La m rappresenta il coefficiente angolare della retta e nel nostro caso è uguale al tasso di interesse i (figura a).

Come si osserva nella figura b, all’aumentare del tasso di interesse aumenta la pendenza della retta e quindi anche l’interesse.

Consideriamo ora la formula del montante M = C(1 + i t). Se consideriamo nuovamente il capitale C uguale ad 1, abbiamo una relazione lineare espressa dalla retta di equazione y = mx + q. Il grafico è uguale a quello precedente, aggiungendo ad ogni ordinata il valore di 1 del capitale iniziale. I grafici dell’interesse e del montante sono due rette parallele.

Inflazione e tasso di interesse reale

In una situazione reale, il capitale investito nel corso degli anni è soggetto anche alla presenza dell’inflazione. L’inflazione rappresenta l’aumento dei prezzi dovuto a vari fattori esterni e che genera una riduzione del potere d’acquisto della moneta. Pertanto il valore attuale di un capitale, dopo 10 anni, per esempio, avrà un potere di acquisto ridotto rispetto al valore dei prezzi tra 10 anni. Si definisce pertanto anche un tasso di interesse reale (k) che permette di quantificare il fenomeno di erosione monetaria.

Definiamo con i il tasso di interesse corrente, con j il tasso di inflazione annuo.

Dalla relazione M = 1 + i t, se consideriamo un interesse annuo e teniamo conto dell’inflazione j e del tasso di interesse reale, abbiamo:

1 + i = (1 + k)(1 + j)

Se ricaviamo, esprimiamo l’equazione in termini di k, otteniamo la relazione seguente:

k = (i - j)/(1 + j)

Vediamo due esempi in cui si utilizza la relazione del tasso di interesse reale.

Esempio 1

Se il tasso di inflazione è del 2% e se il tasso di interesse offerto per un investimento è del 3%, qual è il tasso di interesse reale?

Abbiamo che i = 3% = 0,03, j = 2% = 0,02; quindi, sostituendo nella relazione precedente:

k = (i - j)/(1 + j) = (0,03 - 0,02)/(1 + 0,02) = 0,0098 = 0,98%

Come si vede dall’esempio, il tasso reale k è minore della differenza fra il tasso corrente e il tasso di inflazione.

Esempio 2

Qual è il tasso di interesse reale in presenza di un tasso di inflazione del 2,35% e con un rendimento del 4%?

Per rendimento intendiamo l’interesse corrente i. Pertanto abbiamo che i = 4% = 0,040, j = 2,35% = 0,0235.

Quindi k = (i - j)/(1 + j) = (0,040 - 0,0235)/(1 + 0,0235) = 0,0161 = 1,61%

Il tasso di interesse reale è del 1,61%.

Come si nota in entrambi gli esempi, nella formula del tasso di interesse reale, al numeratore abbiamo una differenza. Per avere un tasso di interesse reale positivo, si deve sempre verificare che i sia maggiore di j, il tasso di interesse reale sia maggiore del tasso di inflazione.