Appunti: Teoria di Matematica Generale

Formula di Taylor

Una funzione f(x) si può approssimare nel punto x₀ mediante un polinomio così definito

P_n(x) = f(x₀) + ¹/_1! f'¹(x₀)(x-x₀) + ¹/_2! f''²(x₀)(x-x₀)² + ¹/_3! f'''³(x₀)(x-x₀)³ + ... + ¹/_k! f^k(x₀)(x-x₀)^k

Formula di McLaurin

Con il caso in cui il punto x₀ coincide con l'origine: Formula di McLaurin

f(x) = f(0) + ¹/_1! f'¹(0).x + ¹/_2! f''(0).x² + ¹/_3! f'''(0).x³ + ... + ¹/_k! f^k(0).x^k

Massimo e minimo di un insieme

Dato un insieme X⊆ℝ un numero reale M si dice:

Massimo di X

Massimo di X → M=max X

se M ∈ X∀ x∈X

Minimo di X

Minimo di X → M=min X

se M ∈ Xx ≥ M ∀ x∈X

Maggiorante e minorante

Dato un insieme X⊆ℝ, un numero reale K si dice:

Maggiorante di X

Maggiorante di X

K ≥ x ∀ x∈X

Minorante di X

Minorante di X

K ≤ x ∀ x∈X

Insieme limitati

Un insieme X⊆ℝ, non vuoto si dice

• Limitato superiormente se ammette almeno un maggiorante.
• Limitato inferiormente se ammette almeno un minorante.
• Limitato se risulta sia superiormente che inferiormente limitato.
• Illimitato se non è limitato.

Estremo superiore e estremo inferiore

Dato un insieme X⊆ℝ, non vuoto, un numero reale

S si dice estremo superiore S=sup X se è il minimo dei maggioranti

se X e' illimitato si pone S= +∞

s si dice estremo inferiore s=inf X se e' il massimo dei minoranti

se X e' illimitato inferiormente si pone s=-∞

Teorema

X⊆ℝ

Se X è superiormente limitato allora ammette estremo superiore

Se X è inferiormente {" "} " {" "} " inferiore

Formula di Taylor

Una funzione f(x) si può approssimare nel punto x₀ mediante un polinomio così definito

P_n(x) = β(x₀) + 1/1! β'(x₀)(x-x₀) + 1/2! β''(x₀)(x-x₀)² + 1/3! β'''(x₀)(x-x₀)³ + ... + 1/k! β^k(x₀)(x-x₀)^k

Formula di Maclaurin

Col caso in cui il punto x₀ coincida con l'origine: Formula di Maclaurin

β(x) ≍ β(0) + 1/1! β'(0).x + 1/2! β''(0).x² + 1/3! β'''(0).x³ + ... + 1/k! β^k(0).x^k

Massimo e minimo di un insieme

Dato un insieme X⊆ℝ un numero reale M si dice:

Massimo di X

Massimo di X M=max X

se M∈X

M≥x ∀x∈X

Minimo di X

Minimo di X M=min X

se M∈X

x≥M ∀x∈X

Maggiore e minore

Dato un insieme X⊆ℝ, un numero reale K si dice:

Maggiore di X

Maggiore di X

K≥x ∀x∈X

Minore di X

Minore di X

K≤x ∀x∈X

Insiemi limitati

Un insieme X⊆ℝ, non vuoto si dice

• Limitato superiormente se ammette almeno un maggiore
• Limitato inferiormente se ammette almeno un minore
• Limitato, se risulta sia superiormente che inferiormente limitato
• Illimitato se non è limitato

Estremo superiore e estremo inferiore

Dato un insieme X⊆ℝ, non vuoto, un numero reale

S si dice estremo superiore S=sup X se è il minimo dei maggioranti

se X non è illimitato si pone S=+∞

s si dice estremo inferiore s=inf X se è il massimo dei minori

se X non è illimitato inferiormente si pone s=-∞

Teorema

X⊆ℝ

Se X è superiormente limitato allora ammette estremo superiore

Se X è inferiormente limitato allora ammette estremo inferiore

Intorno di un numero reale

Dato un numero reale x₀, si definisce intorno circolare x₀ di raggio δ, con δ>0 l'intervallo aperto, indicato con I_δ(x₀) di estremi x₀-δ e x₀+δ

I_δ(x₀) = (x₀-δ, x₀+δ)

Intorno sinistro di x₀ di raggio δ, δ∈ℝ, indicato con I_δ^-(x₀), l'intervallo aperto a sinistro e chiuso a destra di estremi x₀-δ e x₀

I_δ^-(x₀) = (x₀-δ, x₀]

Intorno destro di x₀ di raggio δ, indicato con I