Appunti di Statistica I

Indice

Indice…………………………………………………………............1. Introduzione Pag. 12. Elementi di base della statistica descrittiva .….………..………………… Pag. 3……………………………..………………...…………..3. I rapporti statistici Pag. 10…………………………….…………………………….……4. Le frequenze Pag. 14….……………………………………………..…….5. Le medie di posizione Pag. 24…..….………………………………………………...6. Le medie algebriche Pag. 407. Altre tipologie di medie ...…………………………………………………... Pag. 48………………….…………………………………….............8. La variabilità Pag. 519. La concentrazione ...…………..…………….………..……………..……… Pag. 61………...……………………………..…...……...…..10. La statistica bivariata Pag. 68……………………….…………………………….…........11. La connessione Pag. 72…………………………………………..……......12. La dipendenza in media Pag. 79…………………….………………………..………………..13. Interpolazione Pag. 82….…..……………………………………………….….…..14. Interdipendenza Pag. 92

Introduzione alla statistica

Concetto generale e ruolo della statistica

> Insieme di dati relativi a fenomeni.

Significato di Statistica nel linguaggio comune: sociali ed economici.

La parola statistica si ritrova anche riferita a degli istituti che raccolgono i dati statistici (Esempi: Istat, EuroStat).

Statistica: disciplina che studia i fenomeni collettivi presenti in natura; è delle metodologie finalizzate alla raccolta e dei dati di una popolazione o collettivo.

Fenomeno collettivo: fenomeno che la mente umana non è in grado di conoscere tramite una sola osservazione ma che apprende tramite la sintesi di fenomeni più semplici chiamati fenomeni individuali > Somma di fenomeni individuali.

Esempio: Nati > Natalità.

Fenomeni collettivi

Esistono 2 tipi di fenomeni collettivi:

• Fenomeni collettivi perché riferiti ad una collettività, ad una popolazione di casi singoli (Esempi: Peso di una squadra di atleti, reddito percepito dagli impiegati di > Più utilizzati dalla statistica.
• Fenomeni collettivi perché relativi ad un singolo caso, per la cui conoscenza è necessaria una collettività di misure (Esempi: Distanza tra le cime di 2 montagne, altezza di una montagna).

Caratteristiche della statistica

Ha come scopo la conoscenza quantitativa dei fenomeni collettivi riferiti ad una popolazione e la loro descrizione;

È una scienza empirica: scienza che descrive i fatti del mondo reale attraverso delle leggi, che devono essere avallate da prove empiriche (= Esperimenti.)

Matematica, Logica e Filosofia > Scienze che ricavano leggi da (Scienze deduttive = assiomi che si ritengono veri).

I campi di applicazione della statistica

Scienze che hanno per oggetto una collettività di enti dei quali si studia un fenomeno (Esempi: Sociologia, Economia politica, Demografia).

Scienze sperimentali che usano la statistica per raccogliere dati che servono per fare delle misure precise.

Quindi, la statistica può essere utilizzata:

• Ricerca applicata: i metodi statistici servono per delle attività operative (Esempio: Ricerche di mercato).
• Per la ricerca pura o di base: ricerca scientifica che ha come scopo la conoscenza di certi fenomeni naturali (Esempi: Fisica, Chimica, Biologia).

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Come opera la statistica

La statistica studia i fenomeni collettivi attraverso fasi distinte che descrivono il processo di studio della statistica:

1. Schematizzazione:

• Definizione del fenomeno collettivo;
• Individuazione della popolazione per cui si vuole studiare il fenomeno e la scelta di alcuni caratteri che si vogliono studiare.

Esempio: Popolazione residente nella provincia di Milano, di cui si vuole studiare le caratteristiche relative al reddito > Raccolgo informazioni generali.

A questo punto bisogna effettuare una scelta tra:

A. Osservazione di tutta la popolazione;

B. Osservazione di una parte della popolazione.

Osservazione di tutta la popolazione

2. Fase di osservazione

• Raccolta dei dati e delle informazioni che si ritengono utili per lo studio della popolazione si ordinano i dati e si classificano secondo le modalità del carattere che stiamo studiando (Esempio: Sesso, Età, Titolo di studio);
• Classificazione:

3. Fase di descrizione: si utilizzano i dati per descrivere, secondo le caratteristiche individuate, la popolazione e come si manifesta il fenomeno che siamo interessati a conoscere in essa.

In questo modo si sostituisce ad una collettività di individui un insieme di enti astratti (Esempio: Percentuali o numeri) sui quali si può operare con metodi propri della matematica.

Osservazione di una parte della popolazione

B. Osservazione di una parte della popolazione.

È necessario scegliere un modello che renda possibile solo di una parte della popolazione dalla quale si possa poi conoscere tutta la popolazione.

2. Fase di osservazione.

3. Fase di descrizione.

! Le 2 fasi sono uguali a quelle descritte sopra.

A questo punto è necessario espandere le informazioni ricavate a tutta la popolazione.

4. Fase di inferenza o di induzione: dalla descrizione di una parte della popolazione si inferisce informazioni su tutta la popolazione.

(Sorta di verifica delle ipotesi che si sono fatte durante la scelta del modello).

La statistica si divide in 2 grandi parti:

• Statistica descrittiva: Statistica che raccoglie informazioni su tutta la popolazione.
• Statistica inferenziale: Statistica che raccoglie informazioni solo su una parte della popolazione, per poi generalizzarle su tutta la popolazione.

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Elementi di base della statistica descrittiva

Statistica che raccoglie informazioni su tutta la popolazione.

Statistica descrittiva: → Scopo essenziale della statistica descrittiva: poter conoscere le caratteristiche di un fenomeno che interessa la popolazione: le caratteristiche vengono raccolte attraverso l’osservazione, poi sintetizzate e, attraverso questi dati di sintesi, si possono descrivere i fenomeni che si vogliono studiare rispetto alla popolazione di interesse.

Fasi dei procedimenti utilizzati dalla statistica descrittiva

→ Formazione dei dati statistici

1. Indagine statistica;

2. Trattamento matematico dei dati.

La formazione dei dati statistici

Premessa.

Il dato statistico non è costruito perché esiste in sé, è una costruzione che viene fatta attraverso la statistica.

Esempi:

• Altezza: il dato viene formato nel momento in cui utilizzo il metro per misurare una caratteristica del mio corpo.
• Opinione: sollecito attraverso una domanda una riflessione nella persona per inquadrare il problema e dare un giudizio.

Vi sono 2 elementi caratterizzanti fondamentali:

1. Unità statistica: entità reale che si vuole esaminare, soggetto delle osservazioni (Fenomeno individuale).

Esempi: individuo di una popolazione, un nato, un immigrato, un esercizio industriale etc…

2. Popolazione di riferimento o popolazione obiettivo: insieme delle unità statistiche di interesse.

→ Essi sono strettamente collegati!

L’esatta individuazione delle unità statistiche e quindi della popolazione di riferimento è fondamentale per la buona riuscita di una ricerca.

La formazione dei dati statistici passa attraverso 4 fasi:

1. Formazione dei casi statistici.

2. Raccolta dei casi statistici o rilevazione;

3. Spoglio dei casi rilevati o classificazione;

4. Preparazione dei dati + Costruzione e messa in tabelle dei dati o rappresentazione dei dati.

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1. Formazione dei casi statistici

Individuata l’unità statistica e la popolazione di riferimento, bisogna definire le caratteristiche che si vogliono conoscere e scegliere un carattere che sia presente in ogni unità statistica secondo una certa modalità (= Come si manifesta nell’Unità statistica).

I casi statistici non si identificano con delle entità reali ma sono definiti dai caratteri e dalle modalità dell’entità.

Una volta individuata la modalità bisogna fare una lista, la quale deve essere esaustiva (= Devono essere presenti tutte le modalità di un determinato carattere, ovvero, ogni unità statistica deve essere classificata in una modalità della lista. Se non si conoscono o non si voglia mettere tutte le modalità si mette Altre (Specificare)) e le modalità presenti nella lista devono essere incompatibili. (Ogni unità statistica ha la possibilità di essere classificata in una sola modalità).

Esempio: per l’A.A.

1. Studenti iscritti all’UniMib 2019-2020.

Unità statistica: singolo studente.

Caratteri dell’Unità statistica: Età, stato civile, luogo di nascita, luogo di residenza, tipologia di diploma superiore, corso di laurea a cui è iscritto, reddito etc…

Scelta di un carattere: Regione di residenza.

Lista (Esaustiva):

• Nord Ovest oppure Lombardia + Altre regioni del Nord-Ovest;
• Nord-Est;
• Centro;
• Sud;
• Isole.

→ I caratteri

I caratteri si suddividono in 2 categorie:

• Caratteri quantitativi (X,Y,Z) → Le modalità del carattere sono espresse numericamente e derivano da operazioni di conteggio o misurazione (Esempi: Quantità di grano prodotto, ore di sciopero, reddito di una famiglia, peso di una persona, altezza, distanza percorsa da un aereo);
• Caratteri qualitativi (A,B,C) → Le modalità sono indicate con dei vocaboli o espressioni verbali (Esempi: Settore di attività economica, colore dei capelli, livello d’istruzione).

Essi possono essere:

• Discreti o enumerabili → Hanno modalità che assumono solo un numero finito di valori (Esempi: Numero di vani di un appartamento, numero di figli di una famiglia).
• Continui → Hanno modalità che assumono tutti i valori compresi in un intervallo (Esempi: Peso di una persona, il reddito).

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→ Le scale

Scala di misurazione: lista delle modalità di un carattere (Specificazione delle modalità nelle quali un carattere si può manifestare).

! La scala non fa parte del carattere stesso, che è qualcosa di reale che caratterizza l’unità, mentre la scala è la modalità con cui si misura il carattere.

In alcuni casi la definizione delle modalità non è semplice. (Esempio Professione, malattie), mentre vi sono altri in cui la definizione è consolidata, suggerita dall’esperienza del linguaggio comune, oppure, è una scala naturale.

Classificazione delle scale

→ Caratteri quantitativi.

Entrambe utilizzano numeri cardinali ed è possibile effettuare delle operazioni matematiche tra le unità.

!(Il rapporto ha senso solamente per le variabili quantitative misurate su scale di rapporti.)

• Scale di intervalli → non esiste uno zero assoluto, ovvero lo 0 non rappresenta assenza di fenomeno.

Esempio: Scala Celsius (Gradi centigradi) perché lo 0 sulla scala Celsius è convenzionale. → ! Giornata 1: 20°, Giornata 2: 40° non posso dire che nella giornata 2 la temperatura era il doppio della giornata 1.

• Scale di rapporti → Esiste uno zero assoluto, ovvero lo 0 rappresenta assenza di fenomeno.

Esempio: Peso, reddito, età.

→ Caratteri qualitativi.

• Scale nominali o sconnesse → Fra le modalità del carattere non è possibile istituire un ordinamento: non si può dire se un’unità è più grande o più piccola dell’altra ma è possibile affermare se sono uguali o meno, ovvero se sono caratterizzate dalla stessa modalità e quindi classificate nella stessa classe.

Esempi: Colore dei capelli, stato civile.

! Possono avere delle unità numeriche ma queste non permettono di effettuare delle operazioni (Esempio: Ruolo dei giocatori nelle squadre di calcio).

• Scale ordinale → Fra le modalità del carattere è possibile istituire un ordine, ovvero è possibile istituire le relazioni >, <, =.

Esempio: Livello di istruzione.

Queste scale non forniscono informazioni sulle grandezze delle varie modalità (non so di quanto un’unità è maggiore di un’altra).

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! Possono avere delle unità numeriche ma queste non permettono di effettuare delle operazioni.

La gerarchia fra scale

• Una scala ordinale possiede tutte le caratteristiche della scala nominale e in più possiede le caratteristiche di essere ordinale;
• Una scala ad intervalli possiede tutte le caratteristiche delle scale ordinali e nominali in più possiede le caratteristiche proprie, ovvero ha un’unità di misure;
• Una scala di rapporto possiede tutte le caratteristiche delle scale di intervalli, ordinali e nominali ed in più possiede le caratteristiche relative al fatto che ha uno zero assoluto.

Questa gerarchia permettere di estendere metodi specifici delle scale inferiori alle scale superiori ma non viceversa.

2. Raccolta dei casi statistici o rilevazione

Dopo aver definito la popolazione d’interesse e le unità che la compongono, il fenomeno che si vuole studiare, quali caratteri si vogliono conoscere, le modalità con cui si presentano i caratteri si passa alla rilevazione.

Rilevazione: osservare, per tutte le unità della popolazione, l’assenza o la presenza dei vari caratteri che si è interessati a conoscere e le rispettive modalità.

Normalmente la rilevazione avviene tramite Questionario.

! La modalità di rilevazione dipende da come si presenta il fenomeno osservato.

Esempio: in Università, alcune informazioni possono essere ricavate tramite questionario o intervista diretta, mentre, altre, possono essere ricavate analizzando gli archivi amministrativi già presenti.

3. Spoglio dei casi rilevati o classificazione

I casi statistici rilevati e riportati su schede, registri, file devono essere riuniti e classificati, ovvero si deve effettuare uno spoglio di questi dati.

Spoglio dei dati: riunire e classificare i casi statistici rilevati per carattere e per modalità al fine di poterli utilizzare e analizzare più facilmente.

! È possibile che rilevazione spoglio diventino una fase unica.

Tipologie di spoglio

• Distribuzione statistica semplice → Distribuzione per unità o distribuzione disaggregate.

Esempio1: Rilevazione età degli studenti in un file → Creazione di un elenco in cui per ogni studente riporto l’età (20,21,21,24,21,21,20,20,21);

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• Distribuzione per modalità o distribuzione aggregata → Costruzione di una tabella in cui vengono presentati i dati rilevati.

Esempio2.

! L’età è un carattere quantitativo e, in questo caso, discreto perché considero l’età compiuta.

! Vi sono situazioni nelle quali non è conveniente fare delle distribuzioni per modalità. Esempio: Età della popolazione della Lombardia o dell’età.

• Distribuzione per classi → Definizione di classi e assegnazione di ogni unità ad una classe che corrisponde all’intensità del carattere rilevato.

La classificazione deve essere:

• Esaustiva → Il sistema delle classi d’intensità deve assicurare che ogni unità sia classificabile in una classe;
• Mutua escludibilità → Il sistema delle classi d’intensità deve assicurare che ogni unità sia classificabile in una sola classe.

Esempio → 2 classi contigue 15-20 e 20-30.

Ho un’unità che ha intensità 20 – Dove la metto?

Bisogna attuare una chiusura delle classi: → Presentare le classi con intervalli semichiusi.

1. Classi o intervalli semichiusi a sinistr