Matematica delle elezioni

La matematica delle elezioni di paradosso in 1

paradosso: il Consiglio Comunale dei Ragazzi

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Antonio Bernardo, Marcello Pedone

Il percorso didattico che presentiamo è pensato per ragazzi della scuo-

la secondaria di primo grado; prende spunto dal Consiglio Comunale

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dei Ragazzi per analizzare alcuni aspetti matematici dei sistemi

elettorali. In particolare, propone riflessioni su rappresentatività e

democrazia nelle scelte, con particolare riferimento ai sistemi eletto-

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rali di tipo proporzionale puro e proporzionale corretto.

Premessa.

In molti comuni italiani gli alunni della scuola secondaria di primo

grado eleggono i propri rappresentanti al Consiglio Comunale dei Ra-

2 , il cui scopo è quello di dare la possibilità agli alunni di parte-

gazzi

cipare a una esperienza diretta di vita democratica, affiancando il Con-

siglio Comunale vero e proprio.

L’insegnamento della matematica, d’altra parte, «deve contribuire, in-

sieme con tutte le altre discipline, alla formazione culturale del cittadi-

no, in modo da consentirgli di partecipare alla vita sociale con consa-

5 Ebbene, l’elezione del Consiglio

pevolezza e capacità critica».

Comunale dei Ragazzi è una buona occasione per mettere in gioco

1 Parte di questo lavoro è stato pubblicato su “Periodico di matematiche”, 2005 (vol.

5, serie VIII) pp. 87-99.

2 antoniobernardo@matematicamente.it; marcellopedone@matematicamente.it

3 Il Consiglio Comunale dei Ragazzi è promosso dall’UNICEF, con il fine di rendere

fruibili i diritti sanciti dalla Convenzione Internazionale sui Diritti dell’Infanzia e

dell’Adolescenza.

4 L’argomento può contribuire a rafforzare le nozioni di rapporto e di proporzione.

5 Commissione UMI, “Ciclo secondario: la matematica del cittadino”, Progetto Ali-

ce, Roma, Ed. Pagine , Vol. IV n. 10 (2003), 5-36. Anche in:

http://www.matmedia.it/Didattica/Discussione%20in%20atto/Proposte%20per%20la

%20matematica/Aggregazione%20disciplinare%20matematica/aggregazione_disci-

plinare_matematica.htm

http://www.dm.unibo.it/umi/italiano/Matematica2003/matematica2003.html 1

alcune delle competenze matematiche del cittadino: esprimere ade-

guatamente informazioni, risolvere e porsi problemi, progettare e co-

struire modelli di situazioni reali, operare scelte in condizioni di in-

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certezza.

Il percorso didattico che proponiamo muove proprio in questa direzio-

ne. Trascureremo gli aspetti legati alla rappresentazione grafica dei

dati e alla loro analisi statistica, aspetti che da soli rivestono un ruolo

importante nel curricolo formativo dell’allievo-cittadino, per adden-

trarci in un tema più delicato che è quello dell’analisi in termini mate-

matici del senso comune di rappresentatività e democrazia nelle scelte.

Il senso comune richiede che vinca le elezioni chi ha riportato più vo-

ti. Nelle elezioni presidenziali negli Stati Uniti del 2000, invece, ha

vinto Bush sebbene il suo avversario Gore avesse ottenuto complessi-

vamente più voti. Il senso comune richiede che l’aumento del numero

dei seggi produca un aumento, o almeno una conservazione, dei rap-

presentanti che quella lista esprimerà nelle sedi decisionali. In termini

matematici, la funzione di assegnazione dei seggi deve essere una

funzione debolmente crescente (isotona) rispetto al numero dei seggi

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disponibili. Si vedrà che ciò non è semplice da realizzare e che un

esame matematico del problema può mettere a nudo contraddizioni e

situazioni paradossali. L’allievo potrà rendersi conto in questo modo

dei motivi che sottendono il complesso meccanismo delle leggi elet-

torali in Italia e in molte altre nazioni.

Dal punto di vista didattico, procedere per paradossi può catturare l’at-

tenzione dei ragazzi, incuriosirli più di quanto non possa fare un per-

corso ‘normale’ e soprattutto far loro apprezzare come la matematica

possa scoprire le incongruenze dell’uso del senso comune in semplici

fatti della vita di tutti i giorni. Tuttavia, l’insegnante dovrà assicurarsi

che i propri allievi abbiano percepito l’aspetto ‘normale’ dei procedi-

menti descritti per l’attribuzione dei seggi, cosa che, da un punto di vi-

sta del calcolo, richiede solo il saper fare le divisioni con il resto e sa-

6 Ivi, p. 6.

7 Nel 1880 il parlamento degli Stati Uniti d’America decise di innalzare il numero

dei deputati da 299 a 300. Lo Stato dell’Alabama - che aveva 8 rappresentanti quan-

do i deputati erano 299 - passò da 8 a 7 quando il totale fu portato a 300. Questa si-

tuazione è nota con il nome “Paradosso dell’Alabama”. 2

per operare con i numeri decimali ma ha anche evidenti relazioni con

le nozioni di frazione, rapporto e proporzione.

Quando i ragazzi avranno acquisito sicurezza di calcolo in situazioni

‘normali’, il docente potrà guidarli a esplorare situazioni che generano

paradossi e a cercare metodi più ‘equi’.

OBIETTIVO: Presentazione della situazione problematica e

coinvolgimento del gruppo classe.

Il Consiglio Comunale dei Ragazzi. Nella città immaginaria di Mate-

matopoli il regolamento per l’elezione del Consiglio Comunale dei

Ragazzi prevede:

Art. 1) Il Consiglio comunale dei Ragazzi è eletto a suffragio uni-

a

versale dagli iscritti alla Scuola dell'obbligo, dalla classe 4 ele-

a

mentare alla 3 media, e dura in carica due anni.

Art. 2) Il Sindaco viene eletto a maggioranza assoluta dal C.C.R.,

con votazione segreta, tra i componenti stessi ed è rieleggibile.

Art. 3) Il Consiglio è costituito da 13 membri.

Art. 4) I Consiglieri sono eletti con sistema proporzionale su li-

ste presentate da ragazzi iscritti alla Scuola dell'obbligo. In sede

di scrutinio si attribuiscono prima i seggi a ciascuna lista, e suc-

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cessivamente si individuano i candidati eletti.

Quest’anno si sono presentate tre liste (Ambiente, Benessere, Cultu-

ra), i voti validi sono stati 780, ciascuna lista ha preso i seguenti voti:

Ambiente 395 Benessere 283 Cultura 102

OBIETTIVO. Rendere omogenee le conoscenze della classe su al

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cuni concetti dei sistemi elettorali: suffragio universale, maggioranza

assoluta, maggioranza relativa, attribuzione dei seggi; acquisire i

meccanismi di base dell’attribuzione dei seggi con il cosiddetto meto

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do proporzionale puro.

Una giornata dal mobiliere. Al fine di individuare un modo per valu

-

tare l’equità dell’attribuzione dei seggi, consideriamo una situazione

problematica più vicina all’esperienza comune, nella quale i seggi

consiliari – a cui si ha diritto in conseguenza dei voti ricevuti –

vengono sostituiti da un altro tipo di “seggi”: delle poltrone che tre

8 Questo regolamento per il Consiglio Comunale dei Ragazzi è stato effettivamente

approvato nel comune di Jesolo (VE), con deliberazione consiliare n.108 del 30 set-

tembre 2003. http://www.jesolo.it/content.asp?Subc=1534&idMen=159 3

amici acquisteranno, avendo ciascuno a disposizione una quantità di

euro pari ai voti che i tre raggruppamenti consiliari hanno

rispettivamente ottenuto.

Si propone preliminarmente la seguente situazione: Antonio, Domeni-

co e Marcello hanno a disposizione rispettivamente 395€, 283€ e 102€

per comprare delle poltrone. Sperando di spuntare un buon prezzo, of-

frono in blocco il totale dei loro 780€ a un mobiliere, che ha 13 poltro-

ne uguali, rimaste a lungo invendute. Il mobiliere accetta l’offerta dei

tre amici, i quali ora devono dividersi le poltrone in modo equo rispet

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to agli euro che ciascuno ha messo a disposizione

Primo metodo. Si calcola il prezzo di ogni poltrona, che è dato da

780€:13=60€. Perciò Antonio, che ha 395€, riceve 6 poltrone e gli

avanzano 35€. Domenico, che ha 283€, riceve 4 poltrone e gli avan-

zano 43€. Marcello, che ha 102€, ne riceve una e gli avanzano 42 €.

Finora i tre amici si sono distribuite 11 poltrone. Le 2 poltrone rima-

nenti vanno a Domenico e Marcello, perché hanno ancora da utiliz-

zare delle somme maggiori rispetto ad Antonio.

Ci si può chiedere ora quanto ciascuno dei tre amici ha pagato media-

mente per una poltrona. Antonio ha pagato 65,83€, Domenico ha pa-

gato 56,60€, Marcello ha pagato 51€. Antonio, quindi, ha pagato, per

lo stesso tipo di poltrona, molto di pi&ugra