Soluzioni seconda prova 2016 maturità: tecnico Elettronica ed elettrotecnica tutti gli indirizzi

Proposta di soluzione per la seconda prova di maturità 2016

Traccia: Elettrotecnica ed elettronica

A cura di Gianluca Gugliandolo

1) Schema a blocchi della catena di condizionamento del segnale

PIATTO - m - TRASDUTTORE DI INGRESSO - V_i(t) - f-V - V_o - ADC - V_u

i(t) = I₀ cos(2f_st)

COMPARATORE - V_M - V_REF - TRIGGER - SC - LED

• Piatto della bilancia: dove viene posizionato il campione da pesare.
• Trasduttore di ingresso: trasforma la variazione di peso sul piatto della bilancia nella variazione di frequenza di un segnale sinusoidale. In ingresso abbiamo la variabile m, ovvero la massa del campione, in uscita abbiamo un segnale V_T(t) = V_Mcos(2f_St) dove f_S è la frequenza risultante dalla misurazione tramite il sistema di trasduzione, e V_M è l'ampiezza della tensione sinusoidale.
• Convertitore frequenza tensione (f-V): è un blocco che genera in uscita una tensione (V₀) la cui ampiezza dipende dalla frequenza del segnale in ingresso (V_T(t)).
• Convertitore analogico-digitale (ADC): converte il segnale analogico in ingresso (V₀) in un segnale digitale (V_u), il quale può poi essere inviato ad un sistema di elaborazione programmabile. La conversione è abilitata tramite l'impulso di un trigger SC (Start Conversion) generato manualmente da un operatore.
• Trigger: genera l'impulso da inviare all'ADC per iniziare la conversione. La comparazione avviene fra un segnale di ingresso SE (Signal Enable) e una V_REF generata da un comparatore.
• Comparatore: confronta la tensione in ingresso con una opportuna tensione di riferimento, in modo da stabilire se ci si trova nel range di linearità del trasduttore di ingresso. Superata una certa soglia per la tensione in ingresso, l'uscita del comparatore diventa tale che il trigger non invia l'impulso all'ADC e accende un LED (segnalatore ottico), il quale segnala che ci troviamo fuori dal range di linearità della microbilancia, quindi la misurazione non ha luogo.

2) Progetto del trasduttore di ingresso e del convertitore ADC

• Trasduttore di ingresso:

  PIATTO — V_cc — R_m — R — V_IN — VCO — V_T(t) — comparatore — V_REF — V_REFIN

  Il trasduttore di ingresso potrebbe essere realizzato collegando il piatto della bilancia al regolatore di un resistore variabile (R_m), il quale fa variare la tensione in ingresso ad un VCO (Voltage Controlled Oscillator), cioè la V_IN. Il VCO genera una tensione in uscita (V_T(t)) la cui frequenza varia in funzione della tensione in ingresso. La V_IN viene inoltre inviata in ingresso al blocco comparatore, il quale fa in modo che, superata una certa soglia di tensione (V_REFIN), la sua uscita V_REF (che poi è la tensione di riferimento per il trigger) sia tale da inibire la conversione analogico-digitale e accendere il LED per segnalare la non linearità.

• Convertitore ADC:

  V_o — FILTRO A.A. — V_o — CAMPIONATORE — V_c — QUANTIZZATORE — V_q — CODIFICATORE — V

  Il convertitore ADC consta di 4 elementi fondamentali:

  • Filtro A.A. (Anti Aliasing): serve a limitare la banda del segnale in ingresso al campionatore e ad evitare il fenomeno dell'aliasing. Si tratta di un filtro passa-basso, la cui frequenza di taglio dipende dal contenuto in frequenza del segnale in ingresso, in questo caso abbiamo un segnale in continua, quindi la banda sarà prossima allo zero.

• Campionatore: serve a raccogliere campioni del valore del segnale in ingresso ad una certa frequenza. Solitamente la frequenza di campionamento è almeno il doppio della banda del segnale.
• Quantizzatore: una volta campionato, il segnale va quantizzato, cioè bisogna assegnare ad ogni campione il più vicino valore di quantizzazione, preso in un insieme finito di valori prestabiliti. Dal numero e dal tipo di quantizzazione dipende l'errore di quantizzazione, che nel nostro specifico caso si traduce in errore di misura.
• Codificatore: una volta convertito il segnale in digitale, ad ogni livello di tensione si associa una codifica interpretabile dai sistemi programmati ai quali va in ingresso. Tramite questi sistemi la misura viene riportata a chi la compie, ad esempio attraverso un display.

3) Risoluzione dell'ADC

Tutti gli ADC hanno dinamica di ingresso 0-5 V. Il che significa che il convertitore f-V convertirà il segnale in ingresso in una tensione compresa fra 0 e 5 V, in base alla frequenza del segnale in ingresso, la quale oscilla fra f₀ e una f_sMAX in corrispondenza rispettivamente a 0 g e 2 g. Per scegliere la risoluzione bisogna tenere conto del massimo errore di misura di 5 mg, che corrisponde ad un errore percentuale rispetto al fondo scala dello 0.25%:

e_MAX% = ^e_MAX/_fS * 100 = 0.25%

Dal momento che il segnale di ingresso è un segnale di tensione costante da 0 a 5 V, il fondo scala e quindi il valore picco-picco (V_PP) della tensione corrisponde a 5 V. L'errore massimo di quantizzazione è allora:

e_MAX = ^e_MAX%/₁₀₀ * V_PP = 0.0125 V

Se supponiamo quantizzazione uniforme, possiamo calcolare l'intervallo di quantizzazione I_Q (distanza fra un valore di quantizzazione e l'altro) come l'intero intervallo da quantizzare V_PP (valore picco-picco della tensione in ingresso), cioè 5 V, fratto il numero di valori di quantizzazione l:

I_Q = ^V_PP/_l dove l = 2ⁿ

n è il numero di bit del convertitore. Per la quantizzazione uniforme l'errore massimo di quantizzazione è dato dalla metà dell'intervallo di quantizzazione, sarà quindi sufficiente imporre che l'errore massimo sia inferiore o al più uguale a 0.0125 e ricavare, tramite formula inversa l_min:

e_MAX = ^I_Q/₂ = ^V_PP/_2l <= 0.0125 -> l >= ^V_PP/_{2 * 0.0125} = 200 -> n >= log₂(l)

Per soddisfare l'ultima relazione è necessario scegliere un ADC con risoluzione di almeno 8 bit. Scelgo quindi l'ADC con risoluzione a 8 bit.

4) Relazione fra tensione e massa

Per ricavare la relazione fra la tensione in ingresso all'ADC, cioè V_o, e la massa m, parto dalle relazioni ingresso uscita del convertitore frequenza tensione e del trasduttore:

V_o = ^{G * f_s}/_Rs (1)

f₀ - f_s = k * f₀² * ^m/_s -> f_s = f₀ - k * f₀² * ^m/_s (2)

Sostituendo la (2) nella (1) si ottiene:

V_o = G * (f₀ - k * f₀²) * m / (R_s * S)

Quesito 2

1) Schema a blocchi della catena di condizionamento del segnale

PIATTO → m → TRASDUTTORE DI INGRESSO → V_T(t) → f-V → V_o → ADC → V_u

i(t) = I₀ e₀(2f_st)

V_N → COMPARATORE → V_REF → TRIGGER → ADC

SE → TRIGGER

TRIGGER → LED

• Piatto della bilancia: dove viene posizionato il campione da pesare.
• Trasduttore di ingresso: trasforma la variazione di peso sul piatto della bilancia nella variazione di frequenza di un segnale sinusoidale. In ingresso abbiamo la variabile m, ovvero la massa del campione, in uscita abbiamo un segnale V_T(t) = V_Mcos(2f_st) dove f_s è la frequenza risultante dalla misurazione tramite il sistema di trasduzione, e V_M è l'ampiezza della tensione sinusoidale.
• Convertitore frequenza tensione (f-V): è un blocco che genera in uscita una tensione (V_o) la cui ampiezza dipende dalla frequenza del segnale in ingresso (V_T(t)).
• Convertitore analogico-digitale (ADC): converte il segnale analogico in ingresso (V_o) in un segnale digitale (V_u), il quale può poi essere inviato ad un sistema di elaborazione programmabile. La conversione è abilitata tramite l'impulso di un trigger SC (Start Conversion) generato manualmente da un operatore.
• Trigger: genera l'impulso da inviare all'ADC per iniziare la conversione. La comparazione avviene fra un segnale di ingresso SE (Signal Enable) e una V_REF generata da un comparatore.
• Comparatore: confronta la tensione in ingresso con una opportuna tensione di riferimento, in modo da stabilire se ci si trova nel range di linearità del trasduttore di ingresso. Superata una certa soglia per la tensione in ingresso, l'uscita del comparatore diventa tale che il trigger non invia l'impulso all'ADC e accende un LED (segnalatore ottico), il quale segnala che ci troviamo fuori dal range di linearità della microbilancia, quindi la misurazione non ha luogo.

2) Progetto del trasduttore di ingresso e del convertitore ADC

• Trasduttore di ingresso:

PIATTO

V_CC R_m R V_IN VCO V_T(t) comparatore V_REF V_REFIN

Il trasduttore di ingresso potrebbe essere realizzato collegando il piatto della bilancia al regolatore di un resistore variabile (R_m), il quale fa variare la tensione in ingresso ad un VCO (Voltage Controlled Oscillator), cioè la V_IN. Il VCO genera una tensione in uscita (V_T(t)) la cui frequenza varia in funzione della tensione in ingresso. La V_IN viene inoltre inviata in ingresso al blocco comparatore, il quale fa in modo che, superata una certa soglia di tensione (V_REFIN), la sua uscita V_REF (che poi è la tensione di riferimento per il trigger) sia tale da inibire la conversione analogico-digitale e accendere il LED per segnalare la non linearità.

• Convertitore ADC:

V_o FILTRO A.A. V_o CAMPIONATORE V_c QUANTIZZATORE V_d CODIFICATORE V_m

Il convertitore ADC consta di 4 elementi fondamentali:

• Filtro A.A. (Anti Aliasing): serve a limitare la banda del segnale in ingresso al campionatore e ad evitare il fenomeno dell'aliasing. Si tratta di un filtro passa-basso, la cui frequenza di taglio dipende dal contenuto in frequenza del segnale in ingresso, in questo caso abbiamo un segnale in continua, quindi la banda sarà prossima allo zero.

• Campionatore: serve a raccogliere campioni del valore del segnale in ingresso ad una certa frequenza. Solitamente la frequenza di campionamento è almeno il doppio della banda del segnale.
• Quantizzatore: una volta campionato, il segnale va quantizzato, cioè bisogna assegnare ad ogni campione il più vicino valore di quantizzazione, preso in un insieme finito di valori prestabiliti. Dal numero e dal tipo di quantizzazione dipende l'errore di quantizzazione, che nel nostro specifico caso si traduce in errore di misura.
• Codificatore: una volta convertito il segnale in digitale, ad ogni livello di tensione si associa una codifica interpretabile dai sistemi programmati ai quali va in ingresso. Tramite questi sistemi la misura viene riportata a chi la compie, ad esempio attraverso un display.

3) Risoluzione dell'ADC

Tutti gli ADC hanno dinamica di ingresso 0-5 V. Il che significa che il convertitore f-V convertirà il segnale in ingresso in una tensione compresa fra 0 e 5 V, in base alla frequenza del segnale in ingresso, la quale oscilla fra f₀ e una f_sMAX in corrispondenza rispettivamente a 0 g e 2 g. Per scegliere la risoluzione bisogna tenere conto del massimo errore di misura di 5 mg, che corrisponde ad un errore percentuale rispetto al fondo scala dello 0.25%:

e_MAX% = ^e_MAX/_fS * 100 = 0.25%

Dal momento che il segnale di ingresso è un segnale di tensione costante da 0 a 5 V, il fondo scala e quindi il valore picco-picco (V_PP) della tensione corrisponde a 5 V. L'errore massimo di quantizzazione è allora:

e_MAX = ^e_MAX%/₁₀₀ * V_PP = 0.0125 V

Se supponiamo quantizzazione uniforme, possiamo calcolare l'intervallo di quantizzazione I_Q (distanza fra un valore di quantizzazione e l'altro) come l'intero intervallo da quantizzare V_PP (valore picco-picco della tensione in ingresso), cioè 5 V, fratto il numero di valori di quantizzazione l:

I_Q = ^V_PP/_l dove l = 2ⁿ

n è il numero di bit del convertitore. Per la quantizzazione uniforme l'errore massimo di quantizzazione è dato dalla metà dell'intervallo di quantizzazione, sarà quindi sufficiente imporre che l'errore massimo sia inferiore o al più uguale a 0.0125 e ricavare, tramite formula inversa l_min:

e_MAX = ^I_Q/₂ = ^V_PP/_2l <= 0.0125 -> l >= ^V_PP/_{2 * 0.0125} = 200 -> n >= log₂(l)

Per soddisfare l'ultima relazione è necessario scegliere un ADC con risoluzione di almeno 8 bit. Scelgo quindi l'ADC con risoluzione a 8 bit.

4) Relazione fra tensione e massa

Per ricavare la relazione fra la tensione in ingresso all'ADC, cioè V_o, e la massa m, parto dalle relazioni ingresso uscita del convertitore frequenza tensione e del trasduttore:

V_o = ^{G * f_S}/_RS (1)

f₀ - f_S = k * f₀² * ^m/_s -> f_S = f₀ - k * f₀² * ^m/_s (2)

Sostituendo la (2) nella (1) si ottiene:

V_o = [G * (f₀ - k * f₀²) * m] / (R_S * S)

Quesito n. 2

L'armonica 1 si trova a 1 = 8000 rad/s, la seconda si trova invece a 2 = 64000 rad/s. Per ottenere le prestazioni richieste si può usare un filtro passa basso, il quale ha una funzione di trasferimento di questo tipo:

G(s) = G₀ * 1 / (1 + s / _p)

Bisogna determinare G₀, ovvero il guadagno in continua e _p ovvero la pulsazione del polo. Bisogna avere un guadagno di 18 dB fino alla pulsazione 1, quindi per pulsazioni che vanno da 0 a 1. Allora si può fare in modo che il guadagno in continua sia pari a 18 dB:

G₀ = 18dB = 10^18/20 = 7.94

Inserire un polo significa che a partire dalla frequenza corrispondente al polo il guadagno scende di 20 dB ogni decade. Il guadagno deve rimanere costante fino a 1, quindi se ponessi _p = 1 a partire da 8000 rad/s il guadagno del filtro scenderebbe di 20 dB per decade. Per verificare che alla pulsazione 2 il guadagno è di -5 dB è sufficiente calcolare il modulo in corrispondenza della pulsazione 2:

|G(j)| = G₀ * 1 / sqrt(1 + (64000² / 8000²)) = 7.94 * 1 / sqrt(1 + 64000² / 8000²) = 0.98 = -0.13dB

Non siamo ancora a -5 dB in corrispondenza di 2. Per fare in modo che il guadagno sia quello desiderato, inserisco un altro polo. L'ordine del filtro è dunque il secondo. Verifico che il modulo sia quello desiderato:

|G(j)| = 7.94 * 1 / (1 + 64000² / 8000²) = 0.12 = -18dB

La specifica sul guadagno è stata soddisfatta.

G(s) = 7.94 * 1 / (1 + s / 8000)²

Dal momento che si tratta di un filtro attivo del secondo ordine è possibile realizzarlo tramite circuito ad operazionale.