Termologia: Un gas perfetto contiene 10,35 * 10^23 molecole.... (esercizi termodinamica)

_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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Erectus
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Scopri gli esercizi di termodinamica applicando la legge dei gas perfetti e la legge di Boyle. Impara a calcolare temperature e volumi in trasformazioni isoterme, utilizzando l'equazione di stato e la costante di Boltzmann per analizzare i gas.

Concetti Chiave

  • Il gas perfetto è soggetto a una trasformazione ciclica composta da due isoterme e due isobare, con specifici valori di volume e pressione per gli stati B e D.
  • Le temperature delle trasformazioni isoterme sono calcolate usando l'equazione di stato dei gas perfetti, che implica la relazione tra pressione, volume e temperatura.
  • La temperatura nel tratto isoterma BC è risultata essere 72,6 K, mentre nel tratto DA è 11,1 K.
  • Per calcolare i volumi negli stati A e C, si utilizza la legge di Boyle, considerando che le trasformazioni BC e AD avvengono a temperatura costante.
  • I volumi calcolati sono 6,83 · 10^-3 m^3 per lo stato C e 6,32 · 10^-4 m^3 per lo stato A.
Un gas perfetto contiene
[math]10,35 \cdot 10^23[/math]
molecole ed è sottoposto a un trasformazione ciclica composta da due isoterme (BC e DA) e da due isobare (AB e CD) come nella figura.

I valori del volume e della pressione negli stati B e D sono:

[math]V_B = 4,15 dm^3 , V_D = 1,04 dm^3 [/math]

[math]p_B = 2,50 \cdot 10^5 Pa , p_D = 1,52 \cdot 10^5 Pa [/math]

  • Calcola il valore delle temperature
    [math]T_1[/math]
    e
    [math]T_2[/math]
    a cui avvengono le due trasformazioni isoterme.
  • Calcola il valore del volume negli stati A e C della trasformazione.

Quesito 1

Per prima cosa, trasformiamo i valori del volume nella giusta unità di misura:

[math]V_B = 4,15 dm^3 = 4,15 \cdot 10^{-3} m^3[/math]

[math] V_D = 1,04 dm^3 = 1,04 \cdot 10^{-3} m^3[/math]

Per calcolare la temperatura nei tratti in cui avviene la trasformazione isoterma consideriamo l'equazione di stato dei gas perfetti:

[math]pV = nRT[/math]

dove n è il numero di moli.

Poiché noi abbiamo il numero di molecole possiamo sfruttare la formula

[math] n = frac(N)(N_A) [/math]

dove

[math]N_A[/math]
è il numero di Avogadro.

Sostituiamo questa formula all'equazione di stato dei gas perfetti:

[math]pV = frac(N)(N_A) RT[/math]

Notiamo che la formula può essere scritta anche in questo modo:

[math]pV = N frac(R)(N_A) T[/math]

Abbiamo quindi un quoziente fra due costanti:

[math]frac(R)(N_A)[/math]
che corrisponde alla costante di Boltzmann (
[math]k_B = 1,38 \cdot 10^{-23} J/K [/math]
):

[math]pV = N k_B T[/math]

Sostituiamo la pressione e il volume nel punto B per calcolare la temperatura a cui avviene la trasformazione nel tratto BC:

[math]p_B V_B = N k_B T_(BC) \to T_(BC) = frac(p_B V_B)(N k_B)[/math]

Quindi abbiamo:

[math]T_(BC) = frac(2,50 \cdot 10^5 Pa \cdot 4,15 \cdot 10^{-3} m^3 )(10,35 \cdot 10^23 \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} J/K) = 72,6 K[/math]

Allo stesso modo calcoliamo la temperature nel tratto DA:

[math]p_D V_D = N k_B T_(DA) \to T_(DA) = frac(p_D V_D)(N k_B)[/math]

[math]T_(BC) = frac(1,52 \cdot 10^5 Pa \cdot 1,04 \cdot 10^{-3} m^3 )(10,35 \cdot 10^23 \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} J/K) = 11,1 K[/math]

Quesito 2

Per calcolare il volume negli stati A e C consideriamo che le trasformazioni nei tratti BC e AD sono isoterme, cioè a temperatura costante. Possiamo quindi utilizzare la legge di Boyle:

[math]p_0 V_0 = pV \to V = frac(p_0 V_0)(p)[/math]

Quindi:

[math] V_C = frac(p_B V_B)(p_C)[/math]

Poiché nel tratto CD la pressione è costante, la pressione nello stato c è uguale a quella nello stato D.

[math] V_C = frac(2,50 \cdot 10^5 Pa \cdot 4,15 \cdot 10^{-3} m^3)(1,52 \cdot 10^5 Pa) = 6,83 \cdot 10^{-3} m^3[/math]

Allo stesso modo calcoliamo il volume nello stato A, tenendo presente che la pressione in quello stato è uguale a quella nel punto B:

[math] V_A = frac(p_D V_D)(p_A)[/math]

[math] V_A = frac(1,52 \cdot 10^5 Pa \cdot 1,04 \cdot 10^{-3} m^3)(2,50 \cdot 10^5 Pa) = 6,32 \cdot 10^{-4} m^3[/math]
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Domande da interrogazione

  1. Qual è il valore della temperatura durante la trasformazione isoterma nel tratto BC?

    2. La temperatura nel tratto BC è di 72,6 K, calcolata utilizzando l'equazione di stato dei gas perfetti e i valori di pressione e volume nel punto B.

  2. Qual è il valore della temperatura durante la trasformazione isoterma nel tratto DA?

    3. La temperatura nel tratto DA è di 11,1 K, ottenuta applicando la stessa formula utilizzata per il tratto BC, ma con i valori di pressione e volume nel punto D.

  3. Come si calcola il volume nello stato C della trasformazione?

    4. Il volume nello stato C è calcolato utilizzando la legge di Boyle, risultando in un valore di 6,83 × 10⁻³ m³, considerando la pressione costante nel tratto CD.

  4. Qual è il volume nello stato A della trasformazione?

    5. Il volume nello stato A è di 6,32 × 10⁻⁴ m³, calcolato utilizzando la pressione nel punto D e la legge di Boyle per determinare il volume a quella pressione.

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