In una giornata di inverno lasciamo all’aperto una bottiglia.... (termologia)

_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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Erectus
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Scopri come applicare la legge dei gas perfetti attraverso esercizi pratici di termologia. Calcola l'energia cinetica media delle molecole d'aria e determina la temperatura all'interno di una bottiglia lasciata all'aperto in inverno.

Concetti Chiave

  • La bottiglia contiene 1,50 L di aria a una pressione di 103 kPa, con un numero totale di molecole pari a 4,22 x 10^22.
  • L'energia cinetica media delle molecole d'aria è calcolata usando la formula k_m = (3pV)/(2N), risultando in 5,49 x 10^-21 J.
  • Per calcolare la temperatura dell'aria, si utilizza l'equazione di stato dei gas perfetti, ottenendo T = 2,65 x 10^2 K.
  • Le unità di misura devono essere convertite: pressione da kPa a Pa e volume da litri a metri cubi, per applicare correttamente le formule.
  • La costante di Boltzmann, utilizzata nel calcolo della temperatura, è k_B = 1,38 x 10^-23 J/K.

In una giornata di inverno lasciamo allaperto una bottiglia da 1,50 L, chiusa, che contiene aria alla pressione di 103 kPa. La bottiglia contiene

[math]4,22 \cdot 10^22[/math]
molecole daria e il sistema formato da queste molecole pu essere considerato un gas perfetto.
  • Calcola lenergia cinetica media delle molecole daria dovuta al loro spostamento nella bottiglia.
  • Calcola la temperatura dellaria contenuta nella bottiglia.

Risoluzione quesito 1

Considerando la teoria cinetica dei gas, abbiamo la seguente formula:

[math] pV = 2/3 N k_m [/math]

Da questa formula possiamo ricavare lenergia cinetica media delle molecole:

[math] 3pV = 2N k_m o k_m = frac(3pV)(2N)[/math]

Prima di sostituire i valori numerici dobbiamo convertire i valori nelle giuste unit di misura:

[math] p = 103 kPa = 103 \cdot 10^3 Pa [/math]

[math] V = 1,50 L = 1,50 dm^3 = 1,50 \cdot 10^3 m^{-3} [/math]

Si ha quindi:

[math]k_m = frac(3 \cdot 103 \cdot 10^3 Pa \cdot 1,50 \cdot 10^3 m^{-3})(2 \cdot 4,22 \cdot 10^22) = 5,49 \cdot 10^{-21} J [/math]

Risoluzione quesito 2

Per calcolare la temperatura dellaria allinterno della bottiglia, consideriamo lequazione di stato dei gas perfetti:

[math] pV = nRT[/math]

dove n il numero di moli.

Poich noi abbiamo il numero di molecole contenute nella bottiglia possiamo sfruttare la formula

[math] n = frac(N)(N_A)[/math]

Sostituiamo questa formula allequazione di stato dei gas perfetti:

[math] pV = frac(N)(N_A) \cdot RT[/math]

Notiamo che la formula pu essere scritta anche in questo modo:

[math] pV = N frac(R)(N_A) \cdot T[/math]

Abbiamo quindi un quoziente fra due costanti,

[math]frac(R)(N_A)[/math]
che corrisponde alla costante di Boltzmann (
[math]k_B = 1,38 \cdot 10^{-23} J/K[/math]
).

Quindi abbiamo:

[math] pV = N k_B T[/math]

Possiamo ora ricavare la temperatura:

[math] T = frac(pV)(Nk_B) = frac(103 \cdot 10^3 Pa \cdot 1,50 \cdot 10^3 m^{-3})(4,22 \cdot 10^22 \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} J/K) = 2,65 \cdot 10^2 K [/math]

Domande da interrogazione

  1. Qual è l'energia cinetica media delle molecole d'aria nella bottiglia?

    2. L'energia cinetica media delle molecole d'aria è di \(5,49 \cdot 10^{-21} J\), calcolata utilizzando la formula derivata dalla teoria cinetica dei gas.

  2. Come si calcola la temperatura dell'aria contenuta nella bottiglia?

    3. La temperatura dell'aria è calcolata utilizzando l'equazione di stato dei gas perfetti, risultando in \(2,65 \cdot 10^2 K\), attraverso la relazione \(T = \frac{pV}{Nk_B}\).

  3. Quali sono le unità di misura utilizzate per i valori di pressione e volume?

    4. La pressione è espressa in Pascal (Pa) e il volume in metri cubi (m³), con la pressione inizialmente convertita da kPa e il volume da litri.

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