Concetti Chiave
- La crisi del formalismo è segnata dai teoremi di incompletezza di Gôdel, che dimostrano l'indecidibilità di alcuni enunciati all'interno dei sistemi formali.
- La classe R rappresenta gli insiemi che non contengono se stessi come elemento, e porta a una contraddizione quando si chiede se R appartenga a se stessa.
- L'antinomia del barbiere di Russell illustra una contraddizione logica attraverso la figura di un barbiere che rade solo gli uomini che non si radono da soli.
- I teoremi di Gôdel evidenziano l'impossibilità di fondare la coerenza dei sistemi formali, minando le basi del formalismo hilbertiano.
- Le contraddizioni emerse da R e dall'antinomia di Russell sono esempi significativi dei limiti della logica e della matematica formale.
Qual è la crisi del formalismo?
Anche il formalismo, tuttavia, conosce una crisi clamorosa, allorché nel 1931 il matematico dei sistemi austriaco Kurt Gôdel (1906-78) dimostra due «teoremi di incompletezza», secondo i quali un enunciato relativo alla non contraddittorietà sistema formale logico o matematico - per esempio l'aritmetica o la geometria - è in realtà, all'interno del sistema stesso, un enunciato indecidibile: esso non può venire dimostrato né come vero, né come falso, attraverso il riferimento alle proposizioni del sistema. In tal modo, la fondazione dei sistemi formali, ossia la dimostrazione della loro coerenza, obiettivo del formalismo hilbertiano, risultava impossibile. Gôdel dimostrava così che non è possibile fondare sul "più semplice" (la teoria degli insiemi, l'aritmetica) il "più complesso" (la matematica nel suo insieme); ciò non escludeva tuttavia altre forme di giustificazione, che in effetti furono trovate dopo Gôdel.
La classe R e le sue contraddizioni
Si consideri una proprietà come "non essere elemento di se stesso". A essa, come a ogni proprietà, corri-sponde una classe, R, cui appartengono tutti gli insiemi che non contengono se stessi come elemento. Per esempio, una squadra di calcio vi appartiene, perché è un insieme che non contiene se stesso come elemento: i suoi elementi sono, infatti, i giocatori. Ci chiediamo: la classe R appartiene a se stessa? Supponiamo che R appartenga a se stessa: allora dovrà godere della proprietà che la definisce, cioè non deve appartenere a se stessa. Ciò è ovviamente contraddittorio. Supponiamo allora che R non appartenga a se stessa: allora, godendo della proprietà di non appartenere a se stessa,dovrà appartenere a R, cioè a se stessa. II che è ancora una volta contraddittorio.
L'antinomia del barbiere di Russell
Russell espresse l'antinomia anche in modo intuitivo: «Un certo villaggio ha tra i suoi abitanti un solo barbiere. Egli è un uomo ben sbarbato, che rade tutti e solamente gli uomini del villaggio che non si radono da soli. Ora: chi rade il barbiere? È plausibile sostene-re che egli si faccia la barba da solo. Se così fosse, tuttavia, sarebbe violata la premessa secondo cui il barbiere rade tutti coloro che non si radono da soli. Però, se non si rade da solo, dovrà essere rasato dal barbiere, cioè si raderà da se stesso: il che è ancora contraddittorio».
Domande da interrogazione
- Qual è la principale scoperta di Kurt Gôdel riguardo ai sistemi formali?
- Cosa rappresenta la classe R e quale contraddizione ne deriva?
- Come viene illustrata l'antinomia del barbiere di Russell?
Gôdel dimostrò che esistono enunciati indecidibili all'interno di un sistema formale, rendendo impossibile la dimostrazione della loro coerenza, contrariamente all'obiettivo del formalismo hilbertiano.
La classe R comprende tutti gli insiemi che non contengono se stessi come elemento. La contraddizione sorge quando si chiede se R appartenga a se stessa, portando a un paradosso logico.
Russell descrive un barbiere che rade solo gli uomini che non si radono da soli, creando un paradosso: se il barbiere si rade da solo, contraddice la sua definizione, mentre se non si rade da solo, deve essere rasato da lui stesso, generando un ulteriore paradosso.
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