Concetti Chiave
- Il parametro proporzione, indicato con π, rappresenta la frazione di individui con una caratteristica specifica rispetto al totale, utile per variabili dicotomiche.
- Per stimare la proporzione, si seleziona un campione casuale, si conta il numero di soggetti con la caratteristica e si divide per la numerosità del campione, ottenendo p.
- La distribuzione campionaria delle stime mostra la variabilità di p e i valori più probabili che può assumere, essendo P lo stimatore proporzione campionaria.
- Lo stimatore proporzione campionaria è considerato corretto se il suo valore atteso coincide con π, rappresentando in media il parametro vero.
- Un esempio pratico: se in una popolazione la proporzione di donne è 0,48, la media delle proporzioni campionarie estratte sarà anch'essa 0,48, dimostrando la correttezza dello stimatore.
Il parametro che si esamina dopo la media è generalmente definito in ambito matematico e economico come la proporzione, in questo secondo caso non ci interessa sapere in media quanti individui hanno una specifica caratteristica ma ci interessa sapere quanti individui la possiedono rispetto al totale (ad esempio: persone con diagnosi di ipercolesterolemia rispetto al totale). Dunque, quando la variabile X non è numerica ma è dicotomica -la caratteristica è presente o assente- si utilizza la proporzione (non mi interessa fare una media).
Stima della proporzione
Il parametro proporzione generalmente si indica con π. Se si vuole fare inferenza su una proporzione, la prima cosa da fare è in maniera piuttosto semplice e scontata stimarla e per farlo si utilizza il principio della stima naturale. Se vogliamo sapere qual è la prevalenza di ipercolesterolemia nella popolazione noi possiamo fare un passaggio che può sembrare ad alcuni scontato ma in effetti non è proprio un passaggio logico:
scegliamo un campione a caso,
contiamo i soggetti con ipercolesterolemia;
dividiamo per la numerosità del campione;
otteniamo p, che è la stima puntuale del parametro π.
Esattamente come μ aveva in m la sua stima, π ha in p la sua stima.
Distribuzione campionaria
Anche nel caso della proporzione, per poter fare inferenza abbiamo bisogno di conoscere le caratteristiche del modello che ha generato la stima: il modello che ha generato p è lo stimatore proporzione campionaria P, il quale è lo strumento che ci consente di descrivere il processo che ha portato un singolo campione a quel particolare valore di stima; ci mostra quali sono i possibili valori di p osservabili avendo idealmente a disposizione infiniti campioni, qual è la variabilità degli infiniti valori che può assumere p (quali sono i valori di p più probabili e quali i meno probabili), su quale valore sono centrati. Avremmo dunque un numero variabile di stime, alcune più probabili ed altre meno probabili; dunque si può parlare di distribuzione campionaria delle stime. In particolare, essendo una variabile casuale, devo studiare la funzione di densità, il suo valore atteso e la sua varianza.
Correttezza dello stimatore
Lo stimatore proporzione campionaria, come lo stimatore media campionaria, è uno stimatore corretto come si dice in gergo.
Dire che lo stimatore proporzione campionaria è corretto significa dire che in media riproduce il parametro: se idealmente si potesse calcolare il suo valore atteso, estraendo idealmente infiniti campioni e calcolando poi la media di tutte le infinite proporzioni campionarie p, troveremmo che esso coincide con π: E(P) = π.
Immaginando di considerare un’aula numerosa come popolazione, con una proporzione di donne uguale a 0,48 (π = 0,48), se idealmente estraessimo dalla popolazione infiniti campioni e calcolassimo la media di tutte le infinite proporzioni campionarie, quest’ultima sarebbe uguale a 0,48 perché lo stimatore proporzione campionaria è corretto.
Domande da interrogazione
- Qual è la differenza tra media e proporzione in ambito statistico?
- Come si stima la proporzione in una popolazione?
- Cosa rappresenta la distribuzione campionaria delle stime?
- Perché lo stimatore proporzione campionaria è considerato corretto?
La media si concentra su valori numerici, mentre la proporzione si riferisce alla quantità di individui con una caratteristica specifica rispetto al totale, come nel caso di persone con diagnosi di ipercolesterolemia (testo).
Per stimare la proporzione π, si seleziona un campione casuale, si contano i soggetti con la caratteristica di interesse e si divide per la numerosità del campione, ottenendo p, la stima puntuale (testo).
La distribuzione campionaria delle stime mostra i possibili valori di p osservabili da infiniti campioni, evidenziando la variabilità e i valori più probabili, e richiede lo studio della funzione di densità, valore atteso e varianza (testo).
Lo stimatore proporzione campionaria è corretto perché, in media, riproduce il parametro π; se si calcolassero infiniti campioni, la media delle proporzioni campionarie p coinciderebbe con π (testo).
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