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Tavole di contingenza

Le diapositive trattano l'analisi delle Tavole di Contingenza Bidimensionali. In particolare vengono riportati alcuni esempi, le Tavole di Contingenza (Modello Multinomiale Bivariato, Distribuzione di Probabilità Congiunta e vincoli del modello) e il modello di Indipendenza Stocastica(frequenze attese, Distribuzione di Chi-Quadro, gradi di libertà).

  • Per l'esame di Psicometria del Prof. L. Stefanutti
  • Università: Padova - Unipd
  • CdL: Corso di laurea in scienze psicologiche dello sviluppo e dell'educazione
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  • 2
  • 23-02-2012
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Tavole di contingenza
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Anteprima Testo:
Contenuti
Analisi di Tavole di Contingenza Bidimensionali 1
Alcuni Esempi
2
Tavole di Contingenza
3
Indipendenza Stocastica
Luca Stefanutti Università di Padova Dipartimento di Psicologia Applicata Via Venezia 8, 35131 Padova luca.stefanutti@unipd.it
L. Stefanutti (Università di Padova)
Tavole di Contingenza
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L. Stefanutti (Università di Padova)
Alcuni Esempi
Tavole di Contingenza
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Alcuni Esempi
Esempio 1
Esempio 2
Indagine condotta sull’atteggiamento nei due sessi nei confronti dell’aborto.
Uno studio della relazione tra disturbi cardiaci e personalità Personality
atteggiamento
A
309
191
472
483
477
960
other
1101
1121
2222
1598
3182
500
1100
Tavole di Contingenza
Exercise
femmina maschio
sesso
600
628
L. Stefanutti (Università di Padova)
281
regular
contrario
319
B
1584
favorevole
3 / 39
L. Stefanutti (Università di Padova)
Tavole di Contingenza
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Alcuni Esempi
Alcuni Esempi
Esempio 3
Esempio 4
Un’indagine sui trattamenti terapeutici effettuati con pazienti affetti da diverse forme di psicosi Trattamenti terapeutici
28
30
102
20
48
23
OR
75
19
80
SC
382
121
344
SE
141
18
Diagnosi Psichiatrica
TO
AL
L. Stefanutti (Università di Padova)
PS
AF
11
Nevrosi
5 / 39
Disturbo di personalità
Schizofrenia
45
25
21
18
Media
10
45
24
22
Alta
Tavole di Contingenza
Depressione
Bassa Classe Sociale
Gruppi
OP
Uno studio che incrocia la classe sociale con le diagnosi psichiatriche in un gruppo di pazienti
17
21
18
18
L. Stefanutti (Università di Padova)
Tavole di Contingenza
Tavole di Contingenza
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Tavole di Contingenza
Tavole di Contingenza Bidimensionali
Modello Multinomiale Bivariato Notazione
Forma generale di una tavola di contingenza bidimensionale: 1 2 . . .
1 n11 n21 . . .
2 n12 n22 . . .
··· ··· ···
j n1j n2j . . .
··· ··· ···
c n1c n2c . . .
n1. n2. . . .
i . . .
ni1 . . .
ni2 . . .
···
nij . . .
···
nic . . .
ni. . . .
r
nr 1 n.1
nr 2 n.2
··· ···
nrj n.j
··· ···
nrc n.c
per i ∈ R e j ∈ C indichiamo con
nr . N
nij la frequenza della coppia (i, j) di categorie nel campione (x, y) per i ∈ R indichiamo con c
ni. =
nij j=1
la frequenza della categoria i nel campione x per j ∈ C indichiamo con
Occasionalmente N è anche indicato con la notazione n..
r
n.j =
Indichiamo con R l’insieme delle categorie di riga e con C l’insieme delle categorie di colonna
nij i=1
la frequenza della categoria j nel campione y L. Stefanutti (Università di Padova)
Tavole di Contingenza
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L. Stefanutti (Università di Padova)
Tavole di Contingenza
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Tavole di Contingenza
Tavole di Contingenza
Esempio
Distribuzione di Probabilità Congiunta
1 2 . . .
maschi femmine
destrimani 934 1070 2004
mancini 113 92 205
ambidestri 20 8 28
··· ··· ···
j p1j p2j . . .
··· ··· ···
c p1c p2c . . .
p1. p2. . . .
pi1 . . .
pi2 . . .
···
pij . . .
···
pic . . .
pi. . . .
r
1067 1170 2237
2 p12 p22 . . .
i . . .
Una tavola di contingenza 2 × 3
1 p11 p21 . . .
pr 1 p.1
pr 2 p.2
··· ···
prj p.j
··· ···
prc p.c
pr . 1
Chiamiamo pi. probabilità marginale della categoria i, p.j probabilità marginale della categoria j e pij probabilità congiunta delle due categorie i e j. L. Stefanutti (Università di Padova)
Tavole di Contingenza
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L. Stefanutti (Università di Padova)
Tavole di Contingenza
Tavole di Contingenza
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Tavole di Contingenza
Vincoli del Modello
Vincoli del Modello
Vincolo globale: c
r
pij = 1
Oltre al vincolo globale e ai vincoli marginali di riga e di colonna:
i=1 j=1
r
Vincolo marginale di riga:
pij = pi. ,
i = 1, 2, . . . , r
pij = p.j ,
r
j = 1, 2, . . . , c
j=1
pi. = 1
e
i=1
r
Vincolo marginale di colonna: i=1 c
p.j = 1 j=1
L. Stefanutti (Università di Padova)
Tavole di Contingenza
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L. Stefanutti (Università di Padova)
Tavole di Contingenza
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Indipendenza Stocastica
Indipendenza Stocastica
Modello di Indipendenza Stocastica
Indipendenza Stocastica in una Tavola di Contingenza
Una qualunque categoria i ∈ R e una qualunque categoria j ∈ C sono tra loro stocasticamente indipendenti se vale l’uguaglianza pij = pi. p.j Se la suddetta uguaglianza vale per tutte le coppie (i, j) ∈ R × C si dice che le due variabili X e Y sono tra loro (stocasticamente) indipendenti. Chiamiamo ipotesi di indipendenza un’ipotesi che afferma l’indipendenza (stocastica) tra due variabili casuali X e Y nel modo sopra descritto.
L. Stefanutti (Università di Padova)
Tavole di Contingenza
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1 2 . . .
1 p1. p.1 p2. p.1 . . .
2 p1. p.2 p2. p.2 . . .
··· ··· ···
j p1. p.j p2. p.j . . .
··· ··· ···
c p1. p.c p2. p.c . . .
p1. p2. . . .
i . . .
pi. p.1 . . .
pi. p.2 . . .
···
pi. p.j . . .
···
pi. p.c . . .
pi. . . .
r
pr . p.1 p.1
pr . p.2 p.2
··· ···
pr . p.j p.j
··· ···
pr . p.c p.c
pr . 1
Ogni cella (i, j) della tavola rispetta il vincolo di indipendenza pij = pi. p.j
L. SteEspandi »fanutti (Università di Padova)
Indipendenza Stocastica
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Indipendenza Stocastica
Frequenze Attese
Stima di Frequenze Attese
Quale sarebbe il valore atteso delle frequenze nij se l’ipotesi di indipendenza stocastica fosse vera?
Essendo, per l’ipotesi di indipendenza Fij = Npi. p.j
Fij = Npij = Npi. p.j
una stima (per massima verosimiglianza) di Fij può essere ottenuta sostituendo, nella precedente equazione, le quantità pi. e p.j con le loro stime, ottenendo:
Le due quantità pi. e p.j non sono note. Tuttavia esse possono essere stimate dal campione. Costituiscono stime per massima verosimiglianza di pi. e p.j le due quantità n.j ni. ˆ ˆ pi. = e p.j = N N
L. Stefanutti (Università di Padova)
Tavole di Contingenza
Tavole di Contingenza
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ˆ ˆ ˆ eij = Fij = N pi. p.j = N
L. Stefanutti (Università di Padova)
Tavole di Contingenza
ni. n.j ni. n.j = N N N
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Indipendenza Stocastica
Indipendenza Stocastica
Stima di Frequenze Attese: Esempio
Il Modello di Indipendenza: Esempio Stima delle frequenze attese:
Allo scopo di studiare la relazione tra sesso e mancinismo (Freedman, Pisani e Purves, 1998) è stato estratto un campione di N = 2237 soggetti. maschi femmine
destrimani 934 1070 2004
mancini 113 92 205
ambidestri 20 8 28
femmine 1067 1170 2237
Tavole di Contingenza
mancini 205 × 1067 2237
ambidestri 28 × 1067 2237
1067
2004 × 1170 2237 2004
205 × 1170 2237 205
28 × 1170 2237 28
1170 2237
da cui:
Stimare le frequenze attese agli incroci secondo il modello di indipendenza stocastica.
L. Stefanutti (Università di Padova)
maschi
destrimani 2004 × 1067 2237
maschi femmine
17 / 39
destrimani 955.8 1048.2 2004.0
L. Stefanutti (Università di Padova)
Indipendenza Stocastica
mancini 97.8 107.2 205.0
ambidestri 13.4 14.6 28.0
Tavole di Contingenza
1067 1170 2237
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Indipendenza Stocastica
Distribuzione di Chi-Quadro
Distribuzione di Chi-Quadro
Sia Y una variabile casuale distribuita normalmente con: valore atteso E(Y ) = µ; varianza var (Y ) = σ 2 ;
In particolare la variabile casuale Z 2 tale che
Si consideri la variabile casuale Z tale che Z =
Y − E(Y )
Y −µ = σ var (Y )
Z2 =
[Y − E(Y )]2 (Y − µ)2 = var (Y ) σ2
ha una distribuzione di chi-quadro (χ2 ).
Z è distribuita normalmente con valore atteso E(Z ) = 0; varianza var (Z ) = 1.
(Distribuzione normale standard.)
L. Stefanutti (Università di Padova)
Tavole di Contingenza
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L. Stefanutti (Università di Padova)
Tavole di Contingenza
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Indipendenza Stocastica
Indipendenza Stocastica
Proprietà della Distribuzione di Chi-Quadro
Famiglia di Distribuzioni di Chi-Quadro
Date due v.c. Z1 e Z2 entrambe distribuite secondo la distribuzione normale standard, la somma 2 Z1
+
Chi-quadro è una famiglia di distribuzioni di probabilità continue f (χ2 , ν),
2 Z2
è distribuita secondo Chi-quadro.
ognuna delle quali è univocamente determinata dal parametro ν (gradi di libertà).
In generale, date Z1 , Z2 , . . . , Zk , aventi tutte distribuzione normale standard, la somma
La quantità χ2 è una variabile casuale somma di variabili casuali:
k
k
Zi2
χ2 =
i=1
i=1
è distribuita secondo chi-quadro.
Il parametro ν = k − 1 dipende dal numero di addendi impiegati nel calcolo del valore di χ2 .
La quantità ν = k − 1 è chiamata gradi di libertà (gdl) della distribuzione. L. Stefanutti (Università di Padova)
Zi2
Tavole di Contingenza
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L. Stefanutti (Università di Padova)
Indipendenza Stocastica
Tavole di Contingenza
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Indipendenza Stocastica
Gradi di Libertà
Gradi di Libertà
Si consideri l’equazione 2 2 χ2 = z1 + z2
(1)
In generale, data l’equazione
χ2
in cui il valore di è noto (es. fissato a priori), mentre z1 e z2 sono incognite. l’equazione (1) ammette infinite soluzioni (tante quante sono le possibili scelte dei valori z1 e z2 che la soddisfano). Tuttavia, scelto un determinato valore per z1 , esiste un unico valore di z2 che soddisfa (1): z2 =
χ2

2 2 2 χ2 = z1 + z2 + . . . + zk ,
se χ2 è noto, allora è possibile scegliere un valore arbirario per k − 1 addendi, essendo uno soltanto di essi (ad es. zk ) vincolato dall’equazione (2): zk =
2 z1 .
Tavole di Contingenza
2 2 2 χ2 − z1 − z2 − . . . − zk −1 .
L’equazione (2) ha dunque ν = k − 1 gradi di libertà.
Delle due incognite z1 e z2 , una soltanto può essere scelta arbitrariamente. L’equazione (1) ha, pertanto, un unico grado di libertà. L. Stefanutti (Università di Padova)
(2)
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L. Stefanutti (Università di Padova)
Tavole di Contingenza
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Indipendenza Stocastica
Indipendenza Stocastica
Distribuzione di Chi-Quadro
(
f χ 2 ,ν
Gradi di Libertà (gdl)
) I dati di un campione contengono complessivamente una certa quantità di informazione
(
P χν2 < X
Parte di questa informazione è impiegata per stimare i parametri di un modello
)
(
P χν2 ≥ X
)
X
L. Stefanutti (Università di Padova)
Tavole di Contingenza
La quantità di informazione residua è chiamata gradi di li « Comprimi
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