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Spinta delle terre

Materiale didattico per il corso di Geotecnica del Prof. Johann Facciorusso, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: la spinta delle terre e la teoria di Rankine; il coefficiente di spinta attiva; Teoria di Coulomb; teoria di Caquot e Kérisel; la pressione interstiziale; incremento della spinta attiva dovuta a carichi applicati sul terrapieno; effetto del costipamento meccanico del terrapieno.

  • Per l'esame di Geotecnica del Prof. J. Facciorusso
  • Università: Firenze - Unifi
  • CdL: Corso di laurea magistrale in ingegneria civile
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  • 21-02-2012
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Spinta delle terre
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Anteprima Testo:
Capitolo 13
SPINTA DELLE TERRE
CAPITOLO 13 SPINTA DELLE TERRE La determinazione della spinta esercitata dal terreno contro un’opera di sostegno è un problema classico di ingegneria geotecnica che, ancora oggi, nonostante l’enorme ampliamento delle conoscenze, viene affrontato utilizzando due teorie “storiche”, opportunamente modificate e integrate alla luce del principio delle tensioni efficaci: la teoria di Rankine (1857) e la teoria di Coulomb (1776). Entrambi i metodi assumono superfici di scorrimento piane, ma per effetto dell’attrito fra la parete e il terreno, le reali superfici di scorrimento sono in parte curvilinee, ed risultati che si ottengono applicando i metodi classici, specie per le condizioni di spinta passiva (resistente) sono spesso non cautelativi. È pertanto opportuno riferirsi, almeno per il calcolo della spinta passiva, al metodo di Caquot e Kérisel (1948) che è il più noto e applicato metodo fra quelli che assumono superfici di scorrimento curvilinee.
13.1 Teoria di Rankine (1857) Si consideri un generico punto A alla profondità Z in un deposito di terreno incoerente (c’ = 0), omogeneo e asciutto (o coZ munque sopra falda), avente peσ’v0 = γ Z so di volume γ costante con la profondità, e delimitato σ’ = K σ’ h0 0 v0 superiormente da una superficie A piana e orizzontale (Figura 13.1). Per ragioni di simmetria lo stato tensionale (geostatico) è assialsimmetrico. La pressione inter- Figura 13.1 – Tensioni geostatiche in un deposito di terreno omogeneo, incoerente, delimitato da una superificie piana e stiziale è zero (terreno asciutto), orizzontale per cui le tensioni totali ed efficaci coincidono. Nel punto A: - la tensione verticale σ'v0 è staticamente determinata dalla condizione di equilibrio alla traslazione in direzione verticale, e vale: σ'v0 = γZ; - la tensione orizzontale σ'h0 è eguale in tutte le direzioni, non è staticamente determinata, e vale: σ'h0 = K0 σ'v0.
225 Dipartimento di Ingegneria Civile – Sezione Geotecnica, Università degli Studi di Firenze J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 2006)
Capitolo 13
SPINTA DELLE TERRE
Il coefficiente di spinta a riposo, K0, può essere misurato sperimentalmente o più spesso stimato con formule empiriche1. Poiché di norma K0 è minore di 1, la tensione verticale σ'v0 corrisponde alla tensione principale maggiore σ'1, mentre la tensione orizzontale σ'h0 corrisponde alla tensione principale minore σ'3. Per simmetria assiale la tensione principale intermedia σ'2 è eguale alla tensione principale minore σ'3. Sia la tensione verticale σ’v0 che la tensione orizzontale σ’h0 valgono zero in superficie (Z=0) e variano linearmente con la profondità Z, rispettivamente con gradiente γ e con gradiente K0 γ. Assumiamo che il terreno abbia resistenza al taglio definita dal criterio di rottura di MohrCoulomb: τ = σ'⋅ tan φ' (Eq. 13.1)
τ
In Figura 13.2 è rappresentato nel piano di Mohr il cerchio corrisponφ’ dente allo stato tensionale geostatico nel punto A e la retta inviluppo a Cerchio O rottura. Supponiamo ora di inserire, a sinistra e a destra del punto A, due pareσ’ ti verticali ideali, cioè tali da non σ’ σ’ v0 h0 modificare lo stato tensionale nel terreno (Figura 13.3). Alla generica profondità z, sui due lati di ciascuna Figura 13.2 – Stato tensionale geostatico nel punto A parete, si esercita la tensione orizzontale efficace σ'h0 = K0 γ z. La spinta orizzontale S0 (risultante delle tensioni orizzontali efficaci) presente sui due lati di ciascuna parete, dal piano di campagna fino ad una generica profondità H, vale: H 1 ' S0 = ∫ σ h 0 ⋅ dz = ⋅ γ ⋅ H 2 ⋅ K 0 (Eq. 13.2) 2 0 1
Per la stima del coefficiente di spinta a riposo, K0, sono state proposte diverse equazioni empiriche, come già visto nel Capitolo 3, le più note e utilizzate delle quali sono: per terreni NC: K 0 ( NC) ≅ (1 − senφ')
K 0 (OC) ≅ K 0 ( NC) ⋅ OCR 0,5 Per avere un’idea anche quantitativa dei valori di K0 si consideri che per φ’=30°, applicando le equazioni sopra scritte si stima: per OCR = 1 (terreno normalmente consolidato) K0 ≈ 0,50 per OCR = 2 (terreno debolmente sovraconsolidato) K0 ≈ 0,71 per OCR = 4 (terreno mediamente sovraconsolidato) K0 ≈ 1,00 per OCR = 10 (terreno fortemente sovraconsolidato) K0 ≈ 1,58 ovvero, in un terreno NC la tensione geostatica orizzontale σ’h0 è circa la metà di quella verticale, per OCR = 4 lo stato tensionale geostatico è isotropo, mentre per OCR > 4 la tensione geostatica orizzontale σ’h0 diviene tensione principale maggiore.
e per terreni OC:
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Capitolo 13
SPINTA DELLE TERRE
La profondità Z0 della retta di applicazione di S0, vale: H
∫σ
' h0
⋅ z ⋅ dz
(Eq. 13.3) 2 ⋅H S0 3 che corrisponde alla profondità del baricentro dell’area triangolare del diagramma di pressione orizzontale di altezza H e base K0 γ H.Espandi » Supponiamo ora di allontanare gradualmente le due pareti (Figura 13.4). Nel punto A permangono condizioni di simmetria, per cui le tensioni verticale ed orizzontali sono ancora principali. La tensione verticale σ’v0 = γZ non varia, mentre la tensione orizzontale efficace si riduce progressivamente. Z0 =
=
0
σ’ h0
σ’ h0
Z 0 = 2/3 H
σ’v0
A
σ’ha
H
A
S0
K 0γ H
K 0γ H
Figura 13.3 – Spinta a riposo
Figura 13.4 – Condizione di spinta attiva
Il cerchio di Mohr, rappresentativo dello stato tensionale in A, si modifica di conseguenza: la tensione principale maggiore σ’1 = σ’v0 rimane costante, mentre la tensione principale minore σ’3 si riduce progressivamente dal valore iniziale σ’h0 al valore minimo compatibile con l’equilibrio, σ’ha, detta tensione limite attiva, che corrisponde alla tensione principale minore del cerchio di Mohr tangente alla retta di inviluppo a rottura (Figura 13.5). Il raggio del cerchio di Mohr dello π/4+ϕ’/2 stato di tensione limite attiva è R = ½ τ (σ’v0-σ’ha), ed il centro è ad una diφ’ stanza dall’origine OC = ½ (σ’v0+σ’ha). Cerchio A Considerando il triangolo rettangolo τ Cerchio O F f OFC (Figura 13.5), si ha: R
R = FC = OC ⋅ senφ '
(
)
(
)
1 1 ' ' ' ' ⋅ σ v 0 − σ ha = ⋅ σ v 0 + σ ha ⋅ senφ ' 2 2
O
σ’ ha
σ’
h0
C
σ’ v0
σ’
Figura 13.5 – Stato tensionale attivo (limite inferiore)
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Capitolo 13
SPINTA DELLE TERRE
' ' σ ha ⋅ (1 + senφ ' ) = σ v 0 ⋅ (1 − senφ ' )
1 − senφ ' ' ⎛ π φ' ⎞ ' ⋅ σ v 0 = tan 2 ⎜ − ⎟ ⋅ σ v 0 1 + senφ ' ⎝4 2⎠ Il rapporto: 1 − senφ' ⎛ π φ' ⎞ = tan 2 ⎜ − ⎟ KA = 1 + senφ' ⎝4 2⎠ è detto coefficiente di spinta attiva. Dunque si può scrivere: ' σ ha =
(Eq. 13.4)
σ'ha = K A ⋅ σ'vo
(Eq. 13.5)
La tensione tangenziale critica, il cui valore τf è l’ordinata del punto F di tangenza del cerchio di Mohr con la retta di inviluppo a rottura, agisce su un piano che forma un ango⎛ π φ' ⎞ lo di ⎜ + ⎟ con la direzione orizzontale (Figura 13.5).In condizioni di rottura per rag⎝4 2⎠ giungimento dello stato di equilibrio limite inferiore (spinta attiva), il terreno inizia a scorrere lungo questi piani (Figura 13.6). σ’v0
π/4+φ’/2
π/4+φ’/2
A
τf
A
Z σ’ha
σ’ f
Figura 13.6 – Piani di scorrimento nella condizione di spinta attiva
La spinta orizzontale SA presente sui lati interni di ciascuna parete ideale, dal piano di campagna fino ad una generica profondità H (Figura 13.7), vale: H
SA = ∫ σ 0
' hA
1 ⋅ dz = ⋅ γ ⋅ H 2 ⋅ K A 2
σ’ ha
A
(Eq. 13.6)
Z A 2/3 H = H
SA
Poiché anche in questo caso il diagramma di pressione orizzontale è KAγ H triangolare, la profondità ZA della retta Figura 13.7 –Diagramma delle tensioni efficaci orizdi applicazione di SA vale: zontali in condizione di spinta attiva 228 Dipartimento di Ingegneria Civile – Sezione Geotecnica, Università degli Studi di Firenze J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 2006)
Capitolo 13
SPINTA DELLE TERRE
2 ⋅ H = Z0 3
ZA =
(Eq. 13.7)
Se si suppone ora di avvicinare le due pareti verticali ideali, alla destra ed alla sinistra del punto A, la tensione verticale efficace non subisce variazioni mentre quella orizzontale progressivamente cresce fino al valore massimo compatibile con il criterio di rottura di Mohr-Coulomb (Figura 13.8). In tali condizioni la tensione verticale efficace, corrisponde alla tensione principale minore, σ’v0 = σ’3, e quella orizzontale, detta tensione limite passiva, σ’hp, alla tensione principale maggiore, σ’hp = σ’1 (Figura 13.9).
σ’hp
σ’v0 A
Procedendo in modo analogo a quanto già fatto per la condizione di spinta atFigura 13.8 – Condizione di spinta passiva tiva, si ottiene: σ 'hp =
1 + senφ' ' ⋅ σ v 0 = K P ⋅ σ 'vo 1 − senφ'
(Eq. 13.8)
Il rapporto: è detto coefficiente di spinta passiva. 1 + senφ' ⎛ π φ' ⎞ 1 KP = = tan 2 ⎜ + ⎟ = 1 − senφ' ⎝ 4 2 ⎠ KA
(Eq. 13.9)
Le tensioni tangenziali critiche agi- τ scono su piani che formano un ango⎛π ⎝4
lo di ⎜ −
φ' ⎞ ⎟ con la direzione oriz2⎠
π/4-φ’/2 τf
φ’ F
Cerchio P
R
Cerchio O zontale (Figura 13.9). In condizioni di rottura per raggiungimento dello stato di equilibrio limite superiore O C C σ’ σ’ σ’ σ’ h0 v0 hp (spinta passiva), il terreno inizia a Figura 13.9 – Stato tensionale passivo (limite superioscorrere lungo questi piani (Figura re) 13.10). La spinta orizzontale SP presente sui lati interni di ciascuna parete ideale dal piano di campagna fino ad una generica profondità H (Figura 13.11), vale:
H

S P = σ 'hP ⋅ dZ = 0
1 ⋅ γ ⋅ H2 ⋅ KP 2
(Eq. 13.10) 229
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Capitolo 13
SPINTA DELLE TERRE
σ’v0 π/4 - φ’/2
π/4 - φ’/2
A
τf
σ’hp
Z
σ’ f
A
Figura 13.10 – Piani di scorrimento nella condizione di s « Comprimi
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