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Matematica economica

Materiale didattico per il corso di Economia Politica della Prof.ssa Simona Pergolesi riguardante i concetti basilari della matemataticautilizzati in campo economico ed in particolare: il concetto ed il grafico di una funzione, le funzioni lineari, la variabile marginale e la variabile media, l'elasticitàdi una funzione, le funzioni iperboliche, i sistemi di equazioni.

  • Per l'esame di Economia politica del Prof. S. Pergolesi
  • Università: La Sapienza - Uniroma1
  • CdL: Corso di laurea in scienze politiche e relazioni internazionali (POMEZIA, ROMA)
  • SSD:
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Voto: 5 verificato da Skuola.net

  • 3
  • 23-07-2011
1di 58 pagine totali
 
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Matematica economica
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Parte I - Lezione I - pag. 1
PARTE I LEZIONE I LA MATEMATICA CHE SERVE In questa Lezione I della Parte I vengono forniti gli strumenti di calcolo imprescindibili per la comprensione degli argomenti sviluppati nelle Parti II e III. L’esposizione è elementare e intuitiva. Perciò paga il costo di alcune imprecisioni. Sono presentate le funzioni e la loro rappresentazione grafica, il coefficiente angolare di una funzione lineare e la pendenza di una non lineare, la variabile marginale e la variabile media, le funzioni concave e convesse, l’elasticità in un arco e l’elasticità in un punto, le funzioni paraboliche e iperboliche, le serie geometriche e i sistemi di equazioni.
I.1. Introduzione.................................................................................................................................... 2 I.2. Concetto di funzione....................................................................................................................... 3 I.3. Il grafico di una funzione............................................................................................................... 7 I.4. Modi di dire .................................................................................................................................... 9 I.5. Funzioni crescenti e funzioni decrescenti ................................................................................... 10 I.6. La traslazione ............................................................................................................................... 11 I.7. Le funzioni lineari ........................................................................................................................ 14 I.7.1. Il significato dei parametri .....................................................................................................14 I.7.2. Il grafico.................................................................................................................................16 I.7.2.1. L’incontro con gli assi...................................................................................................17 I.7.2.2. Una scorciatoia..............................................................................................................17 I.7.2.3. Ulteriori significati del parametro b ..............................................................................18 I.7.3. Le costanti..............................................................................................................................19 I.8. La variabile marginale................................................................................................................. 20 I.8.1. Il caso delle funzioni lineari...................................................................................................20 I.8.2. Il caso delle funzioni non lineari............................................................................................22 I.9. La variabile marginale come funzione ....................................................................................... 23 I.9.1. Il grafico.................................................................................................................................23 I.9.2. L’equazione definitoria ..........................................................................................................25 I.10. Funzioni concave e funzioni convesse ....................................................................................... 28 I.11. La variabile media...................................................................................................................... 28 I.12. Variabile media versus marginale ............................................................................................. 30 I.13. Il prodotto x ⋅ y e l’elasticità .................................................................................................... 35 I.13.1. L’elasticità in un arco...........................................................................................................36 I.13.1.1. L’elasticità destra ........................................................................................................36 I.13.1.2. L’elasticità sinistra ......................................................................................................38 I.13.2. L’elasticità in un punto ........................................................................................................40 I.14. L’elasticità delle funzioni lineari............................................................................................... 41 I.14.1. Le interpretazioni geometriche dell’elasticità puntuale .......................................................41 I.14.2. Evoluzione dell’elasticità puntuale e del prodotto xy ..........................................................44 I.14.3. Il prodotto xy come funzione di x ........................................................................Espandi »................44 I.14.4. Le variabili marginale e media della funzione prodotto.......................................................45 I.15. Le funzioni iperboliche .............................................................................................................. 47 I.16. Le serie geometriche................................................................................................................... 49 I.17. I sistemi di equazioni.................................................................................................................. 51 I.17.1. Sistemi chiusi .......................................................................................................................51 I.17.2. Uso dei sistemi chiusi ..........................................................................................................53 I.17.3. Sistemi aperti .......................................................................................................................54 I.17.4. Uso dei sistemi aperti...........................................................................................................56
Parte I - Lezione I - pag. 2
I.1. Introduzione L’Economia è una disciplina quantitativa, almeno nel senso indiscutibile che i suoi oggetti sono quantità. V’erano, quindi, motivi per aspettarsi che essa dovesse usare la matematica. La domanda è: quanta Alcuni anni fa, gli economisti italiani si prodigarono in un appassionato dibattito sull’argomento, senza peraltro raggiungere conclusioni unanimi. Taluni sostennero che ‘troppa matematica’ rischia di far prevalere il mezzo sul fine. Tal’altri che ‘troppo poca’ rischia di limitare la ‘potenza’ dell’analisi economica. Il tema non è affatto nuovo. Sono famosi i ‘cinque comandamenti’ che l’economista britannico Alfred Marshall (1842 -1924) raccomandò al collega Arthur Lyon Bowley in una lettera, molto citata, del 27 febbraio 1906: “Primo, cerca di usare la matematica come un linguaggio stenografico piuttosto che come uno strumento di A. Marshall ricerca; secondo, usala finché raggiungi il risultato; terzo, traduci il risultato in buon inglese; quarto, illustralo con esempi che ne facciano comprendere la reale rilevanza; quinto, brucia la matematica che ti è servita; sesto, se non riesci ad assolvere al quarto comandamento, brucia il risultato. Con un poco d’auto-ironia, Marshall aggiunse:”Questo è ciò che ho fatto tante volte”1. Il dilemma della ‘giusta quantità’ di matematica si pone, soprattutto, all’economista come ricercatore. Tuttavia, non c’è dubbio che riguardi anche l’economista come docente, specie quando la sua didattica è rivolta a studenti principianti. Con quale grado di formalizzazione è giusto somministrare loro i primi rudimenti Un grado elevato consente di esporre in modo elegante, rigoroso e conciso, ma rischia di occultare i concetti economici sotto una coperta di equazioni. Un grado basso costringe ad usare faticosi ragionamenti, accettare qualche approssimazione e spendere più pagine del necessario. Tuttavia, costringe anche a sviscerare ogni passaggio logico, senza mai poter abdicare al “linguaggio stenografico” di cui parla la lettera di Marshall. Queste Lezioni hanno fatto la scelta ambiziosa di rinunciare del tutto allo ‘strumento matematico’ ma, al tempo stesso, di usare a piene mani il ‘ragionamento matematico’. Sarebbe dispendioso, per chi legge e per chi scrive, esplicitare tutti gli aspetti di questo concetto. Uno dei significati è che la matematica e l’economia sono insegnate come fossero un ‘corpo unico’. In verità, bisogna perfino dubitare del titolo della lezione. La ‘matematica che serve’ non è propriamente quella (per quanto povera) che un matematico si aspetterebbe. In verità, è una cassetta di attrezzi logico-quantitativi, forgiati nell’esatta forma in cui, nelle successive lezioni, essi sono ‘incorporati’ nel ragionamento economico. Il malcapitato matematico, che dovesse incappare nella lettura di queste pagine, potrà certamente riconoscere gli attrezzi come somiglianti a quelli che gli sono congeniali. Se avrà la curiosità di leggere anche le lezioni successive, comprenderà, e forse apprezzerà, le ragioni delle differenze. In ogni caso, gli è fatta umile richiesta 1
J.K Whitaker (a cura di) The Correspondence of Alfred Marshall, Economist, Cambridge University Press, Cambridge (UK), 1996, p. 130.
Parte I - Lezione I - pag. 3
d’essere ‘benevolo lettore’, lo stesso che gli autori di una volta mai dimenticavano di implorare nelle loro prefazioni. Allo studente si raccomanda di investire nell’accurata lettura di questa lezione. Chi avrà la pazienza di farlo, potrà dimezzare le successive fatiche. I.2. Concetto di funzione Premesso che il nostro interesse è unicamente rivolto alle funzioni dotate di cosiddetta ‘rappresentazione analitica’, esordiremo con la intuitiva nozione di variabili ‘interdipendenti’, ‘chiamate’ (dalla loro stessa natura) a soddisfare un’equazione. Alcuni esempi serviranno a i « Comprimi
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